已知一點的應(yīng)力狀態(tài)MPa

1、 第一章 # #1-1020已知一點的應(yīng)力狀態(tài)=5-15ij00.10MPa,試求該應(yīng)力空間中-10丿 # ABC1二,m二，n=A2+B2+C2A2+B2+C2A2+B2+C211-2222因此1=:二一,m=；n=12+(-2)2+22312+(-2)2+22312+(-2)2+223x-2y+2z=1的斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為多少?nn解：若平面方程為Ax+By+Cz+D=0,則方向余弦為：Ol+xTxzn=Txy%+S=xSy=Txy1+Tzyn=Tl+xzTyzm+ HYPERLINK l bookmark23612100200 x-50= HYPERLINK l bookmark

2、163331235050 x_+150 x= HYPERLINK l bookmark46332003on=-1002z3xyz3333331000=-=-1119S1+Sm+Sn=100 x1-型x2-200 x2(100)2(350)2(2002S2=S2+S2+S2=+=12500 xyz3丿3丿3,212500-(1000、二13.41-11已知OXYZ坐標(biāo)系中，物體內(nèi)某點的坐標(biāo)為（4，3，-12），其應(yīng)力張量為：(100oij40-205030，求出主應(yīng)力，應(yīng)力偏量及球張量，八面體應(yīng)力。-10丿 # #解：J+o+o=100+50-10=1401xyzJ=oo+oo+oo-2-2-2

3、=100X50+50 x(-10)+100X(-10)2yzxzxyyzxzxy-402-(-20)2-302 =600J=QQQ2，-Q,2-Q,2-Q,23123xyzxyyzxzxyzyxzzxy=-192000Q3140q2+600Q一192000=053.346.7Q403.3；Q.046.7,;ij-2030-56.7,im、00046.7,O=122.2,0=31.7,O=49.5123Om=140/3=46.7O8=Om=46.71=土83(QQ)2+(QQ)2+(QQ)212233139.11-12設(shè)物體內(nèi)的應(yīng)力場為Qx6xy2cx3，13Q=一一cxy2,y22丿cy3cx

4、2y，xy23yzzx試求系數(shù)C,c2，C3解：由應(yīng)力平衡方程的：QqQ，Qtx23Cy2Cx20123QtQqQt茫齊yzQxQyQzQtQtQq門k乎z0QxQyQz即：-(63c)y2(3c2cxy3cxy032212c3c032-c)x203（1）因此，-6-3c2=0（3）（4）3c1-c3=05080聯(lián)立（2）、（3）和（4）式得：即：C=1,c2=2,Cg=3(501-13.已知受力物體內(nèi)一點應(yīng)力張量為：Q.500-75,MPa,求外法線方向余ij80-7530J2）有（1）可知：因為x與y為任意實數(shù)且為平方，要使（1）為零，必須使其系數(shù)項為零,11弦為i=m=2，n=2的斜截面

5、上的全應(yīng)力、主應(yīng)力和剪應(yīng)力。 解：Sx=oxltxymtxzn=50,150,180,1二5040222 # #Sy=xy1+m+tn=yzy50,1-75,1二25-37.5222 # #Sz=Txzlm+on=80，1-75，1-30，1二2.5-15yzz222S=111.7J1=20J2=16025J3=-806250o3-20o2-16025o+806250=0方程具有三個不相等的實根1=-138.2,o2=99.6,o3=58.61-14在直角坐標(biāo)系中,已知物體內(nèi)某點的應(yīng)力張量為主剪應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、八面體應(yīng)力、等效2）MPa1）畫出該點的應(yīng)力單元體；2）求出該點的應(yīng)力不變量，主應(yīng)

6、力和主方向應(yīng)力、應(yīng)力偏張量及球張量。解：a）點的應(yīng)力單元體如下圖(10-10MPa該點的應(yīng)力不變量：J=10MPa,J2=200MPa,J3=0MPa,1-1010丿主應(yīng)力和主方向：o1=20MPa,l=2;m=0；n=2;100-100500、-10-5-100-100MPa；b)=5000MPa；c)=-5-20-10010丿ij、0010丿ij-100-6丿a）匕 # #o2=-10MPa,l=m=n=0 22o3=0MPa,l=2；m=0；n=土主剪應(yīng)力T2=15MPa；t23=5MPa；t12=10MPa最大剪應(yīng)力t=15MPamax八面體應(yīng)力。8=3.3MPa；t8=12.47MP

7、a。等效應(yīng)力，二26.45MPa應(yīng)力偏張量及球張量。ij403-100-100MPa；203ij0103000MPa；103b)點的應(yīng)力單元體如下圖主應(yīng)力和主方向：o1=10MPa,l=m=n=0o2=50MPa,2l=m=；n=0；2o3=-50MPa,l=m=2；n=0主剪應(yīng)力t12=20MPa；t23=50MPa；t12=30MPa最大剪應(yīng)力tmax=30MPamax八面體應(yīng)力。8=3.3MPa；t8=41.1MPa。等效應(yīng)力,=87.2MPa應(yīng)力偏張量及球張量。(10“c(10cc)-5000033“10門c10c,=50-0MPa；，=00ij3ij3cc20cc100000I3I3

8、丿MPa；c）點的應(yīng)力單元體如下圖TOC o 1-5 h z-10-5-10,=-5-20MPa該點的應(yīng)力不變量：J,=-18MPa,J2=33MPa,J3=230MPa,ij123 HYPERLINK l bookmark84-100-6主應(yīng)力和主方向：o=10MPa,l=m=n=0o2=50MPa,l=m=土22;n=0 # 2O3=-50MPa,l=m=土2；n=。主剪應(yīng)力t=20MPa；t=50MPa；t=30MPa122312最大剪應(yīng)力tmax=30MPa1-19.平板在x方向均勻拉伸（圖1-23）,在板上每一點=常數(shù)，試問為多大時，等效xy圖1-23（題19）解：等效應(yīng)力：八面體應(yīng)

9、力o8=-6MPa；t8=9.7MPa。88等效應(yīng)力=20.6MPa應(yīng)力偏張量及球張量。-16-5-10-600、=-5-80;=，0-60ij-100-12,ij00-6,k一)2+(一)2+(一)2+)xyyzxzk一)2+()2+()令y二(-)2+()2+()2,要使等效應(yīng)力最小，必須使y值最小，兩邊微分得:xyyx2(-)d+2d二dy二0 xyyyydy2-二0 xy二2yx等效應(yīng)力最小值：=11(-)2+()2+()2minxyyx=3x20.在平面塑性變形條件下，塑性區(qū)一點在與x軸交成e角的一個平面上，其正應(yīng)力為。(。0),切應(yīng)力為T,且為最大切應(yīng)力K,如圖1-24所示。試畫出

10、該點的應(yīng)力莫爾圓，并求出在y方向上的正應(yīng)力oy及切應(yīng)力Txy,且將oy、Tyz及ox、txy所在平面標(biāo)注在應(yīng)力莫爾圓上。 #圖1-24(題20)解：由題意得知塑性區(qū)一點在與x軸交成e角的一個平面上的切應(yīng)力為為最大切應(yīng)力K,因此可以判斷該平面為主剪平面，又由于切應(yīng)力方向為逆時針，因此切應(yīng)力為負(fù)，其位置為應(yīng)力莫爾圓的最下方，該點的應(yīng)力莫爾圓如圖1-25所示。O3BA軸圖1-25 ,二,Ksin2yt=Kcos2xy 第二章其中a、b為常數(shù)，試問上述應(yīng)變場2-9.設(shè)8a(X2-2y2);8bx2；,=axy,xyxy在什么情況下成立？解：對8a(X220)求y的2次偏導(dǎo)，即：x # #1) # #對

11、8bX2求x的2次偏導(dǎo)，即:y2)28y2bx2對,axy求x和y的偏導(dǎo)，即:xy # #3) # #帶(1)、(2)和(3)入變形協(xié)調(diào)方程(4)，得：TOC o 1-5 h z128282,4) HYPERLINK l bookmark141(x+匚)xy HYPERLINK l bookmark1432y2x2xy1(4a+2b)a2即：a-b時上述應(yīng)變場成立。2-10試判斷下列應(yīng)變場是否存在？1)8xy2，8xyX2y,8xy,0,zxyyz2Gy)，,2xz2)8X2+y2,x8y2，80，,2xy，,0yzxyyzxz1)yz2解：對8xy2、x1(12+y丿和,xz8X2y和8xy

12、分別求X、y或z的2次偏導(dǎo)，對,=0、yzxy1()、22護分別求x、y和z的2次偏導(dǎo)，貝9： # #a)28x2x，y2 # #28yx22y,28y0；Z2b) 絲0，竺0；0X23V2d2YXVdxdyAZ,0X0Z將（a）、（b）、（。）和（d）代入變形協(xié)調(diào)方程（e）：02,x0y202,y0X202Yxy0 x0y102，02,02(yz)迄20z20y20y0zc)d)(e) # a)(b)(c)02Y0X0V02丫0y0z0X0Zd)則：02,說明應(yīng)變場不存在。TOC o 1-5 h z02,02,02y（十+社）諾0X20Z20Z0X則（e）第一式不等，即：l（2x2y）0這說

13、明應(yīng)變場不存在。(2)對,X2+v2、v2和80分別求x、v或z的2次偏導(dǎo)，對Y2xy和XVzXV丫y0分別求x、v和z的2次偏導(dǎo),vzXz0Z202，02，嚴(yán)0,嚴(yán)0；0X20Z2二0，竺0； HYPERLINK l bookmark3330X20V211設(shè)物體中任一點的位移分量為u10 x10-3+0.1x10-3xy+0.05x10-3zv5x10-3-0.05x10-3x+0.1x10-3yzw10 x10-3-0.1x10-3Xyz求點A（0.5，1，0）的應(yīng)變分量、應(yīng)變球張量，主應(yīng)變，八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變。解：，0.1x103ydxxy=-0.1x103xyzdzy，丫，丄(竺+竺

14、)，0.05x103x-0.025x103xyyx2Sy6xVCcy,1(空+巴),0.05x10-3y0.05x10-3xzyz2dzSyy，1(S+Su)，0.025x1030.05x103yzxz2SxSz將點A的x=0.5,y=1,z=0代入上式，得點A的應(yīng)變分量(-0.1x1030.025x103-0.05x10-310.025x103對于點A：-0.05x10-30.05x103丿mA!(+)，-1x103，xyf-5x10-548ijmA-5x10-5-5x10-5JI,1+y+z，-0.05x103，(+)-(y2+y2+y2),-8.125x1010 xyyzzxxyyzzx

15、3=2.5x10-133I2I:I，0123即：31.5x10-42-8.125x10-10+2.5x1013，0，8.3x10-5,，2.9x10-5,，-1.04x104，3（x+八z），-6Xl04（一）2+（一）2+（一）2+6（Y2+Y2+Y2）xyyzzxxyyzzx，7.73x10一3，2Y|，1.09x104812物體中一點應(yīng)變狀態(tài)為：，0.001,，0.005,，-0.0001,Y，0.0008,Y，0.0006,xyzxyyzY，-0.0004，試求主應(yīng)變。xz解：由題可知：TOC o 1-5 h z108-4、 HYPERLINK l bookmark176，8506x1

16、0-4l,與方向余弦規(guī)定不符，因此,m1=0.5575才是正確解。由此得：1=0.689。即1=-0.039時，方向余弦為：1=0.689,m=0.5575,n=0。同理可求：2=0.029時，方向余弦為：1=0.8025,m=0.5966,n=0。 #第三章6.某理想塑性材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下的各應(yīng)力分量為ox=75,oy=15,丐=0,Txy=15(應(yīng)力單位為MPa),若該應(yīng)力狀態(tài)足以產(chǎn)生屈服，試問該材料的屈服應(yīng)力是多少？解：由由密席斯屈服準(zhǔn)則：)t一)+C一)+(一丄+62+2+2xyyzzxxyyzxz2+2+21得該材料的屈服應(yīng)力為：=s1,75一15)2+15一0)2+o一75)2+

17、血+0+0血73-5MPa3-7.試證明密席斯屈服準(zhǔn)則可用主應(yīng)力偏量表達為： # 證明：由密席斯屈服準(zhǔn)則：(-)2+(-)2+(-TOC o 1-5 h z12321即.+G+G(1)123121323s而：3C，,)2123+2+2一123+一123+”13”233+212332)122+2+2一123121312所以：(1)式與(2)式相等。8.試分別用密席斯和屈雷斯加屈服準(zhǔn)則判斷下列應(yīng)力狀態(tài)是否存在？如存在,應(yīng)力處于彈性還是塑性狀態(tài)？(材料為理想塑性材料)00、500、a)=“s“000，b)=“s“050ij”00sij”0s04s1.2c000.500、c)=“s“00.10，d)=

18、“s“000ij”0s00丿ij”000.6G00、00.45G0e)G_s00.5G0，f)G_0.45gs00ij0s0一1.5g,ijs000,解：a）由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則：G1-G3=Gs得：Gs-0=Gs，存在。應(yīng)力處于塑性狀態(tài)。由密席斯屈服準(zhǔn)則b=1GGI+GGI+GGI=G。存在。應(yīng)力處2123213s于塑性狀態(tài)。b）由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則：G-g3=g得：-4g+5g=g，存在。應(yīng)力處于塑性狀態(tài)。13ssss由密席斯屈服準(zhǔn)則(GG)2(GG)2(GG2123213(5g5g)2(-4g5g)2(-5gg，不存在。13ssss由密席斯屈服準(zhǔn)則(G-G)2+(G-G)2+(G-G2123

19、213.2g-0.1g+61G-0)2+G-1.2gssss1.33ggss不存在。d）由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則：G-g3=g得：0.5g+0.6g=1.1gg，不存在。13由密席斯屈服準(zhǔn)則(GG)2(GG)2(GG2123213G.5g-0+60.6g(-0.6g-0.5gSSSS_0.96ggss存在。應(yīng)力處于彈性狀態(tài)。e）由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則：G-g3=g得:-0.5g+1.5g=g=g，存在，應(yīng)力處于塑性狀態(tài)。13由密席斯屈服準(zhǔn)則(GG)2(GG)2(GG(-G1232130.5g(-0.5g1.5g(-1.5ggssssss_0.75ggss存在。應(yīng)力處于彈性狀態(tài)。f）由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則：t

20、=（GP3）/2=g/2得：t=0.45gg,存在，應(yīng)力處于彈性狀max13smaxss態(tài)。由密席斯屈服準(zhǔn)則3-9已知開始塑性變形時點的應(yīng)力狀態(tài)為,ij75-15.0-150、15000丿,1(,)2+(,)2+(,)2+6(12+12+12)2xyyzzxxyyzzx3X(0.45,0.78,，sss存在。應(yīng)力處于彈性狀態(tài)。 # #試求：（1）主應(yīng)力大?。唬?）作為平面應(yīng)力問題處理時的最大切應(yīng)力和單軸向屈服應(yīng)力；（3）作為空間應(yīng)力狀態(tài)處理時按屈雷斯加和米塞斯準(zhǔn)則計算的單軸向屈服應(yīng)力。解:由于點的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，由匚,+,xy+2-+12得主應(yīng)xy75+15+(7515g2g3，貝y：

21、（、平均應(yīng)力：1（+）=*4*25 HYPERLINK l bookmark274m31233400、 HYPERLINK l bookmark278應(yīng)力偏量為：f=0-10,00-3丿由列維一米賽斯增量理論d,=d九得：ijijd,=d九=4d九11d,=d九=-dX22d,=dX=-3dX33主應(yīng)變簡圖如圖示： 23 7.兩端封閉的細(xì)長薄壁管平均直徑為r,平均壁厚為l,承受內(nèi)壓力p而產(chǎn)生塑性變形，設(shè)管材各向同性，試計算切向、軸向及徑向應(yīng)變增量比及應(yīng)變比。解：4-8.求出下列兩種情況下塑性應(yīng)變增量的比：單向應(yīng)力狀態(tài)：1=1s純剪力應(yīng)力狀態(tài)：，=/3ss解：設(shè)g1g2g3，貝y：=1G+o)=

22、s,因此，應(yīng)力偏量為：m312332s30由列維一米賽斯增量理論ds=d九得:ijijds=sd九13ds=-o$d九23ds=-o$d九33塑性應(yīng)變增量的比為2ds1ds=-2,同理:dsds=-2,ds-121ds2解：已知純剪力應(yīng)力狀態(tài)：,=/3ss應(yīng)力張量為：Gsij30丿G由列維一米賽斯增量理論ds二Gd九得:ijijdyxydyyzTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark293dy二xz塑性應(yīng)變增量的比為dy_dy_1 HYPERLINK l bookmark301_x_1dydyyzyz 23 #第六章1.20#鋼圓柱毛坯，原始尺寸為50X50mm,室

23、溫下壓縮至高度h=25mm,設(shè)接觸表面摩擦切應(yīng)力t=0.2Y，已知Y=746e0.20MPa，試求所需變形力P和單位流動壓力p。解：圓柱壓縮時體積不變，則當(dāng)h=25mm時，R50252mm4x25Hh5025“80.5H50t=0.2Y=0.2X746e0.20=129.9MPa當(dāng)t=tmax,tmax=K=129.9MPa由于圓柱壓縮是軸對稱問題，宜采用柱座標(biāo)。由題意得圓柱界面上的摩擦為t=0.2Y,Y=746s0.20MPa,設(shè)三個坐標(biāo)方向的正應(yīng)力o”、爲(wèi)和q視為主應(yīng)力，且與對稱軸z無關(guān)。某瞬間圓柱單元體上的應(yīng)力如圖所示，單元體沿徑向的靜力平衡方程為：令sin(d02)d0/2，并忽略二次

24、微分項，則得由于軸對稱條件，o產(chǎn)申。此時平衡方程簡化為dr1-1根據(jù)米賽斯屈服條件，可得近似表達式為00=2Kzr或do=dorz代入式（1-1），得do=z因此Ino=2hrC=Ce，259.8rz1邊界條件：當(dāng)r=R時，o=0。由近似屈服條件知，此時的orZ式（1-2），可得1-2=2K，代入方程2K=Ce，2598RC=2Ke，259.8：1代入式（1-2），得=2Ke-259-8（R，r）h1-3因為：h=25，R=252，K=129.9MPao=259.8ei0.36（252，r）z所需變形力P為：P=Jrods=Jr259.8eio.36（252，r）2兀rdr0z0=7.5105

25、壓板上的平均單位壓力用P表示，則PpR191.12MPa兀K22.模內(nèi)壓縮鋁塊，某瞬間錘頭壓力為500kN,坯料尺寸為50X50X100mm3,如果工具潤滑良好，并將槽壁視為剛體，試計算每側(cè)槽壁所受的壓力（如圖6-11）。 #23 #圖6-11（題2）解：從變形區(qū)內(nèi)取一單元體作受力分析。單元體的高度為平板間的高度h,寬度為dx，長度為一個單位。假定是主應(yīng)力且均勻分布，當(dāng)沿x軸坐標(biāo)有dx的變量是，相應(yīng)的變化量就可用微分dox來表示。y方向上的壓應(yīng)力用表示。摩擦xxy力f的方向同金屬質(zhì)點流動方向相反，設(shè)每側(cè)槽壁所受的壓力p,如圖所示。列出單元體的微分平衡方程：h一(+d)h一2fdx0 xxxy2

26、-1hd+2fdx0 xy屈服條件為：2kyx #23 # 23 #因此，ddxy將此式代入式（2-1）整理得dy，2代h積分后得：ln，2fx+CyhCe，2fx2-2y1根據(jù)應(yīng)力邊界條件確定積分常數(shù)。應(yīng)力邊界條件為：當(dāng)xb/2時，o=p。x由屈服條件式，得2k+pyxb/2代入式（2-2）求系數(shù)C得：c=（2k,p）e21因此：=（2k,p（；x）yP=Jbhdx=J2（2k,p（；x）hdx0y0已知錘頭壓力P為500kN，代入上式即可求得每側(cè)槽壁所受的壓力p。3.圓柱體周圍作用有均布壓應(yīng)力，如圖6-12。用主應(yīng)力求鐓出力P和單位流動壓力。設(shè)t=mk。圖6-12（題3）解：圓柱壓縮為軸對

27、稱問題，米用柱座標(biāo)。設(shè)三個坐標(biāo)方向的正應(yīng)力or、弔和q視為主應(yīng)力，且與對稱軸z無關(guān)。某瞬間圓柱單元體上的應(yīng)力如圖所示，單元體沿徑向的靜力平衡方程為：（q+必rJA+d廠羽曲-中滋卻+2VTsrdr-2h二0令sin（d02）d0/2，并忽略二次微分項，則得由于軸對稱條件，or=o。此時平衡方程簡化為2edo=zdrrh3-1根據(jù)米賽斯屈服條件，可得近似表達式為e，e=2Kzrde=derz代入式（3-1），得dez2mke1zdrh因此2mkrChC2mke,h:13-2邊界條件：當(dāng)r二R時,r=0o由近似屈服條件知，此時的e=2K+o0,代入方Z程式（3-2），可得2Ko=C02mk，Rh1

28、C=（2KoL，2mkR10代入式（3-2），得3-3所需變形力P為：壓板上的平均單位壓力用p表示，則e=（2Ke）2mk（Rhr）z0PPJR?5試用主應(yīng)力法求解板料拉深某瞬間凸緣變形區(qū)的應(yīng)力分布。（不考慮材料加工硬化） 23 #圖6-14（題5）解：板料拉深某瞬間凸緣變形區(qū)受力如圖6-14，為平面應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)正應(yīng)力s、w為主應(yīng)力，單元體沿徑向的靜力平衡方程為：G+do）（r+dr）hdorhd2osinlrrrrd2丿hdr，0令sin（dO/2戶dO/2,并忽略二次微分項，貝V得dooor+r，0drr將屈服條件or_oe=2K代入上式得o，2Klnr+Cr積分常數(shù)C根據(jù)凸緣的外緣處C，

29、2KlnR凸緣變形區(qū)的應(yīng)力分布為：o，2KlnR/rr=R）5-1的o=0邊界條件，得積分常數(shù)r5-2 23 #第七章mc=7-10解：已知a族是直線族，卩族為一族同心圓，c點的平均應(yīng)力為:90MPa，最大切應(yīng)力為K=60MPa。C點應(yīng)力為：a-2ksin2excmCC-90-60sin-K-30MPaI2丿a+2ksin2eycmCC(-90+60sin兀K-150MPa2丿 #23 #tKcos2e0 xyC #23 # #23 #圖7-1z由于B點在a族上，a族是直線族，因此，所以B點應(yīng)力狀態(tài)和C點相同。D點在卩族上，卩族為一族同心圓，因此由沿線性質(zhì)得：a-a-2k(w-w)mcmdcd

30、即：amda+2k)mccd-90+2kxI6丿-90-20 #23 #D點應(yīng)力為:axda-2ksin2emdCayda+2ksin2emdC(5兀-90-20-60sin-6丿(5-90-20+60sin-6丿-122.8MPa-182.8MPatKcos2e60cos-xycVD點的應(yīng)力莫爾圓5p方向如圖教材中圖7-10。AB區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受AOD區(qū)域金屬流動影響，因此為不受力自由表面的第2種情況，滑移線場和確定a、P方向如圖如圖7-9b所示，在均勻滑移線場ADO和ABC之間必然存在簡單滑移線場，由此確定出光滑平?jīng)_頭壓入兩邊為斜面的半無限高坯料時滑移線場，如圖7-3

31、z。P圖7-3z求平均單位壓力。取一條a線BCDO進行分析，由于B點在自由表面上，故其單元體只有一個壓應(yīng)力，由此可判斷出=0,根據(jù)屈服準(zhǔn)則，o1-o3=2k，因此，o3c=2k。而平均應(yīng)力amc=(o1c+o3c)/2，可得,-k。mB已知O點在光滑接觸表面上，因此二-兀/4，其單元體上承受沖頭壓力和o金屬向兩邊流動的擠壓力，即存在ax，ay作用，均為壓應(yīng)力，且a3=ay=-p，其絕xy3y對值應(yīng)大于ax，根據(jù)屈服準(zhǔn)則可得a1=ax=-p+2k，平均應(yīng)力a=-p+kx1xmo求角度。對a線BCDO進行分析。接觸面AO上的O點的夾角。為一n/4,在自由表面AB上的B點的夾角為兀/4+Y。貝JAr

32、o=ro0-roB=roD-roC=n/4（n/4+Y）=一兀/2丫（4）求極限載荷由漢蓋應(yīng)力方程式oo二2k（）二2k,momBoB得：p+k（k）二2k（一;一丫）二_kG+Y）即：p二kG+丫）極限載荷P為：P二2blp二2blkG+Y）7-13圖7-37為一中心扇形場，圓弧是a線，徑向直線是卩線，若AB線上om=-k,試求AC線上m。 23 #圖737（題13）解：已知直線AB是卩線，其上om=-k,故B點的amB=-k,AC線是卩線，但也是直線，直線上的am相同，求出C點的am，即得到AC線上am。C點的am可通過圓弧BC求，已知圓弧BC是a線，由漢蓋應(yīng)力方程式o_o二2k（_）二2

33、k,mCmBCB（兀）即:o（_k）二2k-ImC（6omC一kJ即AC線上am為:mC7-14具有尖角2Y的楔體，圖7-38在外力P作用下插入?yún)f(xié)調(diào)角度的V型缺口,試按1）楔體與V型缺口完全光滑和2）楔體與V型缺口完全粗糙做出滑移場，求出極限載荷。圖7-4z第一種情況：楔體與V型缺口完全光滑解：(1)確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，由于沖頭光滑，故可認(rèn)為沖頭與坯料之間無摩擦，因此AB區(qū)域可看成是無摩擦接觸表面，滑移線場和確定a、P方向如圖教材中圖7-10。AE區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC區(qū)域金屬流動影響，因此為不受力自由表面的第二種情況，滑移線場和確定a、卩方向如

34、圖如圖7-9b所示，在均勻滑移線場ABC和ADE之間必然存在簡單滑移線場，由此確定出具有尖角2Y的楔體在外力P作用下插入完全光滑的V型缺口時的滑移線場，如圖7-4z。(2)求平均單位壓力和角度。AB面是光滑接觸表面上，因此，兀/4-。由于垂直于AB面的壓應(yīng)力大B于平行于AB面的壓應(yīng)力，因此，可以確定平行于AB面的壓應(yīng)力為J,垂直于AB面的壓應(yīng)力為o3=-P，根據(jù)屈服準(zhǔn)則，Oo3=2k，因此，O=2k+O3=2k-p，而平均應(yīng)力omB=(o1+o3)/2，可得k-p。mB13mBAE面是自由表面上，故其只有一個壓應(yīng)力，由此可判斷出o1e=0，根據(jù)屈服準(zhǔn)貝V,oo3=2k，因此，o3E=一2k。而

35、平均應(yīng)力omE=(o1E+o3E)/2，可得一k。mE,二兀/4。E(3)求極限載荷已知BCDE線為a線，由漢蓋應(yīng)力方程式一2k(,一,)mBmEBE兀兀得：-p+k-(-k)2k-4)-2ky即：p2k(1+)極限載荷P為：P2blp/sin4blk(1+)/sin第二種情況：楔體與V型缺口完全粗糙做出滑移場2b圖7-5z解：(1)確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，由于楔體與V型缺口完全粗糙，故可認(rèn)為沖頭下坯料為變形剛性區(qū)。AE區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC區(qū)域金屬流動影響，因此為不受力自由表面的第二種情況，滑移線場和確定a、P方向如圖如圖7-9b所示，三角形ABC

36、和ADE存在簡單滑移線場，由此確定出具有尖角2Y的楔體在外力P作用下插入完全粗糙的V型缺口時的滑移線場，如圖7-5z。(2)求平均單位壓力和角度。AE面是自由表面上，故其只有一個壓應(yīng)力，由此可判斷出Se=O，根據(jù)屈服準(zhǔn)則，OO3=2k,因此，o3e=一2k。而平均應(yīng)力mE=(1E+3E)/2,可得,=k。mE二兀/4，E三角形ABC是難變形區(qū)，該區(qū)內(nèi)的金屬受到強烈的等值三相壓應(yīng)力，AC面是摩擦接觸表面上，垂直于AB面的壓應(yīng)力大于平行于AB面的壓應(yīng)力作用，不發(fā)生塑性變形，好像是沖頭下面的剛性金屬楔，成為沖頭的一個補充部分。CD為a線，二兀/4-。由于垂直于CD面的壓應(yīng)力大于平行于CD面的壓應(yīng)力,

37、C因此，可以確定平行于CD面的壓應(yīng)力為O，垂直于CD面的壓應(yīng)力為o3=P，根據(jù)屈服準(zhǔn)則，Oo3=2k，因此，O=2k+o3=2k-p，而平均應(yīng)力omc=(o1c+o3c)/2，可得=k-P。(3)求極限載荷已知CDE線為a線，由漢蓋應(yīng)力方程式,一,二2k()mCmEcE兀兀得：k-p-(-k)二2k-4)-2ky即：p二2k(1+丫)極限載荷P為：P=2blp/sin=4blk(1+y)/siny7-15何謂滑移線？用滑移線法求解寬度為2b的窄長平面沖頭壓入半無限體的單位流動壓力p。材料為理想剛塑性體，屈服剪應(yīng)力為K；參見圖7-39。解：（1）確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，設(shè)沖

38、頭光滑，故可認(rèn)為沖頭與坯料之間無摩擦，因此AB區(qū)域可看成是無摩擦接觸表面，滑移線場和確定a、P方向如圖教材中圖7-10。BE區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC區(qū)域金屬流動影響，因此為不受力自由表面的第二種情況，滑移線場和確定a、卩方向如圖如圖7-9b所示，在均勻滑移線場ABC和BDE之間必然存在簡單滑移線場，由此確定出寬度為2b的窄長平面沖頭壓入半無限體的滑移線場，如圖7-6z。（2）求平均單位壓力和角度。AB面是光滑接觸表面上，因此=，/4。由于垂直于AB面的壓應(yīng)力大于A平行于AB面的壓應(yīng)力，因此，可以確定平行于AB面的壓應(yīng)力為5,垂直于AB面的壓應(yīng)力為o3=P，根據(jù)屈服準(zhǔn)則，Jo

39、3=2k，因此，O=2k+o3=2k-p，而平均應(yīng)力mA=（G1+G3）/2，可得二k-P。mABE面是自由表面上，即只有一個壓應(yīng)力，由此可判斷出a1E=0，根據(jù)屈服準(zhǔn)則，Oo3=2k，因此，o3E=2k。而平均應(yīng)力QmE=（o1E+o3E）/2，可得mE=-kO=/4。E（3）求極限載荷已知ACDE線為a線，由漢蓋應(yīng)力方程式，二2k）mAmEAE得：k-p-（k）二2k（，兀，兀）44即：p二2k1I2丿極限載荷P為：P=2blp=4blk1I2丿第八章8-7模壁光滑平面正擠壓的剛性塊變形模式如圖8-19所示。試分別計算其上限載荷P?并與滑移線作比較,71A.4=ic說明何種模式的上限解為最優(yōu)?圖819（題8）解：（1）模壁光滑平面正擠壓的剛性塊變形模式如圖8-19所示的第一個圖