高三數(shù)學第一輪復(fù)習直線方程與兩直線的位置關(guān)系知識精講

1、高三數(shù)學第一輪復(fù)習：直線方程與兩直線的位置關(guān)系【本講主要內(nèi)容】直線方程與兩直線的位置關(guān)系直線斜率的概念、直線方程的幾種形式、兩條直線的位置關(guān)系、兩條相交直線的夾角和 到角公式、點到直線距離公式?！局R掌握】【知識點精析】直線斜率的概念：(1)直線的傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把 x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為a ,那么a就叫做直線的傾斜角。當直線和 X軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為00。因此，直線的傾斜角 a的取值范圍是00 a 1800。(2)直線的斜率：傾斜角 a W90O的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常 用 k

2、 表示，即 k=tan ( ( a w90o)。(3)直線的方向向量：設(shè)Fi(x i, yi)、F2(x 2, y2)是直線上不同的兩點， 則向量F1F2 =( x2-xi, y2- y i)稱為直線的方向向量。向量一1一 f7F2 =(1 , y2 y1 )=(1 , k)也是該直線的x2 - x1x2 - x1方向向量，k是直線的斜率。(4)求直線斜率的方法：定義法：已知直線的傾斜角為a ,且a *900,則斜率k=tan a公式法：已知直線過兩點P1(x1, y1)、B(x2, y2),且x1x2,則斜率k= y2 - y1x2 - x1n方向向量法：若 a=(m, n)為直線的方向向量

3、，則直線的斜率為k= m說明：平面直角坐標系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。斜率的圖象如圖：直線方程的幾種形式：(1)點斜式：yy1=k (xx，其特例是：y = kx + b (斜截式)；(2)兩點式：y 一 y1 =二迎，其特例是：x+y =1 (截距式)；y2 - y1 x2 - Xia b(3) 一般式：Ax+By+C=0 (A、B不同日為 0)說明：使用直線方程時，要注意限制條件。如點斜式的使用條件是直線必須存在斜率； 截距式的使用條件是兩截距都存在且不為0;兩點式的使用條件是直線不與x軸垂直，也不與y軸垂直。.兩條直線的位置關(guān)系：(1 )當直線方程為 11 :

4、y = k1x +匕、l2 : y = k2x + b2 時，若 11 / l2 ,則 k1 =k2且b10b2 ；若 11、12重合，則k1=k2且b1= b2 ；若 11，12，則k1k2 = 1。(2)當兩直線方程為 11 : Ax + B1y + C1 =0、12 : A2x + B2y+ C2 =0 時，若 11 / 12 , 則 AB2 =A2B1 且AC2 # 4c1 或B1c2rB2c1; 若 11 、12 重合， 則AB2 = A2B1 且A1C2 = A2G且B1C2 = B2c1 ；若 11，12，則 A1A2 + B1B2 = 0。說明：利用斜率來判斷兩條直線的位置關(guān)系

5、時，必須是在兩直線斜率都存在的前提下才行，否則就會得出錯誤結(jié)論，而利用兩條直線的一般式方程的系數(shù)來判斷就不易出錯。例如：已知直線11 :(a+1X + y2=0與直線12 :ax + (2a+2)y + 1 =0互相垂直，則 TOC o 1-5 h z 實數(shù)a的值為()A. -1 或 2 B. -1或-2C. 1 或 2 D. 1或-2解析：11，12u (a+1a+(2a+2)=0u a = 1或a = 2,故選 B。.點到直線的距離、直線到直線的距離：上z、一八 ，一心|Ax0+ By0+C(1)點P(x, y)到直線Ax + By + C= 0 的距離為：d=1A2 B2(2)當 11

6、II 12 ,且直線方程分別為 11 : Ax + By+C1 =0、12 : Ax + By + C2 =0時,C1 -C2|兩直線間的距離為：d = I 121A2 B2.兩直線的夾角：若直線11、12的斜率分別為k1、k2，則(1)直線 11 到 12的角日滿足：tane = k2 -k1 (k1 k21)1 k2k1_kc k t(2)直線11、12所成的角(簡稱夾角) 日滿足：tane =Hk1k2#1)1 十 k2k1若直線11、12的斜率至少有一個不存在時，可根據(jù)圖象直接求出所求的角。.兩直線的交點：兩直線的交點的個數(shù)取決于由兩直線組成的方程組的解的個數(shù)。. 對稱問題：(1)中心

7、對稱：設(shè)平面上兩點P(x, y和已9，% )關(guān)于點A(a,b)對稱，則點的坐標滿足：x+Xl =a, y + y1 =b ;若一個圖形與另一個圖形上任一對對應(yīng)點滿足這種關(guān)系，那么這22兩個圖形關(guān)于點 A對稱。(2)軸對稱：設(shè)平面上有直線l : Ax + By +C = 0和兩點P(x, y ) P1(x1, y1 ),若滿足下列兩個條件：(i ) PPL直線 l ；(ii) PR的中點在直線l上，則點P、Pi關(guān)于直線l對稱；若一個圖形與另一個圖形上任意一對對應(yīng)點滿足這種關(guān)系，那么這兩個圖形關(guān)于直線l對稱。對稱軸是特殊直線的對稱問題：對稱軸是特殊直線的對稱問題可直接通過代換求解：(i)關(guān)于x軸對

8、稱，以一 y代y ；(ii)關(guān)于y軸對稱，以一 x代x ；(iii)關(guān)于直線 y=x對稱，x、y互換；(iv)關(guān)于直線x + y =0對稱，以-x代y ,同時以一 y代x；(v)關(guān)于直線 x = a對稱，以2a - x代x ；(vi)關(guān)于直線 y = b對稱，以2b y代y ；對稱軸是一般直線的對稱問題，可根據(jù)對稱的意義，由垂直平分列方程找到坐標之間的關(guān)系：設(shè)點 P(xi,yi) Q(x2,y2 比于直線 l : Ax + By+ C = 0AB = 0)對稱y2 yi 二旦 TOC o 1-5 h z 則X2-X1Ax1x2y1y2A -12 B y C = 02【解題方法指導(dǎo)】例1.若e為

9、三角形中最大內(nèi)角，則直線l :xtan8 + y + m= 0的傾斜角的范圍是()A.優(yōu)2c 0 M I2；123 JB.一，一 V3 2；12 3 )C.C冗】 0, .,3D. 2) 13TT解析：.一日是三角形中的最大內(nèi)角，- 0 H ,3，直線l的斜率k = tan日e(0,+出上(_嗎_寸，32 2 22打它的傾斜角的范圍是0, L2 2J 0)，直線l2 : 4x + 2y+ 1 = 0和直線 l3 :x+y 1 = 0,且11與12的距離是工展。1210(1)求a的值；(2)求13到11的角0 ;(3)能否找到一點P ,使得P點同時滿足下列三個條件：P是第一象限的點；P點到11的

10、距離是 P點到12的距離的一；P點到11的距離與P點到13的距離之比是 2J2： J5；若能，求p點的坐標；若不能，說明理由。解析：(1) 12 即 2x y =0 TOC o 1-5 h z 2a-U11 11 與 12的距離 d = I 21=722-1 210bT 廠275石一 10(2)由，11 即 2xy +3=0 K =2,而 13 的斜率 k3 = 1k - k31k1 k32 - -112-10 0 jt ,6 = n - arctan 3(3)設(shè)點P(x0, v。若P點滿足條件則P點在與11、12平行的直線1:2x y+C=0上C -3iC 22 、51311即 C =，或C

11、 =一13.11c2x0y（）+=0,或2*0-丫0+=0；26若P點滿足條件，由點到直線的距離公式，有2x0 y0 3 32 2 x + y0 1= X1 552即 2x0 -y0 3 ; X0 V。-1x02y0+4 = 0,或3x0+2=0；由P點在第一象限，3x0 +2 = 0不可能聯(lián)立方程132x0 - y0 - 一 = 0和 x0 - 2 y0 4 = 02x0 - 3解得11應(yīng)舍去匕二2；-11 _由12x% +萬=,解得X0 -2y0 +4=0,1x0 二937y0 二一183737 i即為同時滿足三個條件的點9 18；評述：與直線Ax + By +C = 0平行的所有直線總能

12、設(shè)為 Ax+By + C1 = 0的形式（稱為平行直線系方程），而兩條平行直線間的距離除用公式表示外，總能看成是其中一條直線 上的任一點到另一直線的距離，最終化歸為點到直線的距離?！究键c突破】【考點指要】關(guān)于直線的方程，直線的斜率、傾斜角，兩點間距離公式，點到直線的距離公式，夾角 與到角公式，兩直線的垂直、平行關(guān)系等知識的試題，都屬于基本要求，既有選擇題、填空 題，也有解答題，所占的分值為 510分，一般涉及到兩個以上的知識點，這些仍將是今后 高考考查的熱點?？疾橥ǔ７譃槿齻€層次：層次一：考查與直線有關(guān)的基本概念、公式；層次二：考查不同條件下的直線方程的求法；層次三：考查直線與其它知識的綜合。

13、解決問題的基本方法和途徑：數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、待定系數(shù)法?！镜湫屠}分析】22例4. （2006上海）已知圓x -4x-4 + y =0的圓心是P,則點P到直線xy 1 = 0的距離是答案：旦2,12 10 (-1) -1|,2d =J2 (-1)22解析：由題意圓的方程x24x-4+y2 =0可化為(x-2 j + y2 =8，圓心P(2,0代入點到直線距離公式得評述：此題主要體現(xiàn)對基本公式的考查。例5. (2006 上海)若曲線y2=|x+1與直線y = kx + b沒有公共點，則k、b分別應(yīng)滿足的條件是。答案：k=0 且-1b0 一，2解析：由y =|x|+1 = 回出圖象得-x 1

14、 , x ：: 0設(shè)圖象與y軸的交點分別為 A(01 ) B(0,-1 ),過點A、B作平行于x軸的直線，根據(jù)題意，直線y =kx+b與曲線沒有公共點，則只能與x軸平行且在虛線區(qū)域內(nèi)移動。評述：由于曲線方程中含有絕對值，所以先分情況去掉絕對值符號，若聯(lián)立方程組2 22 2y = x +1 ,、 y = _x +1r x 1或/ x 1,分別利用判別式“ 0”去求解沒有公共點的情況，題目會 y = kx b y = kx b變的非常煩瑣。借助于圖象既快捷又直觀，利用數(shù)形結(jié)合是解決這類題目非常有效的方法。例6. (2006湖北)設(shè)過P(x, y)點的直線分別與 x軸、y軸的正半軸交于 A B兩點,

15、 T T點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標原點，若 BP = 2PA且OQ，AB = 1,則點P的軌跡 TOC o 1-5 h z 方程為()9 33 9A. 3x y =1(x Qy 0)B. 3x - y = 1(x 0, y 0)223 c cc . x -3y =1(x 0, y . 0)2答案：D3 22D. x 3y = 1(x 0, y 0) 2解析：設(shè)過點P(x, y)的直線方程為y =kx+b(k 0),則aiBo,：印(b, k由題意知點Q與點P關(guān)于y軸對稱，得Q(-x, y),又0(0,0 )一./ b(x -0, y b )=2 Ikb 1(-x-0,y -0)*J0-l

16、-,b-0=1b 3-=-xk 2即b =3y ,得-x2 +3y2 =1b x +by =1kk ；0,b 0,. x . 0, y 0評述：此題體現(xiàn)了直線與向量知識的綜合運用，向量的坐標運算和解析幾何關(guān)系密切。 本題需注意在得到軌跡方程后，要對x、y的范圍進行討論，這里容易忽略造成丟分。【達標測試】一.選擇題：1.直線bx+ay=abavo, bvo =的傾斜角的范圍是(A.arctanb b)arctan - jb JC.二-arctanb aaD.奠一arctan 一 b2.設(shè)點A(-2,3 ) B(3,2 ),若直線ax + y + 2 = 0與線段A B有交點， 則a的取值范圍是A

17、.二/ - 4, 2一 3B. -絲IL 3 2C.15 41IL 23D.一45 .二3 一 23.在直角坐標系中，4ABC的三個頂點分別為 A(0,3) B(3,3) C(2,0),若直線x = a將 ABC分割成面積相等的兩部分，則實數(shù)a的值是（)232.已知A(1,3 B(5,-2), P為x軸上的點，如果AP BP的絕對值最大，則P點的坐 TOC o 1-5 h z 標為()A. 3.4,0B. 13,0C. 5,0D. -13,0.過點A(1,2)且與原點距離最大的直線方程是()A.x2y_5=0B.2xy _ 4 = 0C.x3y - 7=0D.3x-y -5=06.直線2x +

18、3y 6 = 0關(guān)于點(1,1對稱的直線方程是()A.3x-2y 2 = 0B.2x3y 7 = 0C.3x-2y -12 = 0D.2x3y 8 = 0.已知直線11和12的夾角平分線為 y = x,如果11的方程為ax+ by+c= 0 ( ab 0),那么I2的方程為()A.bxay c = 0B.ax - byc = 0C.bxay -c = 0D.bx - ayc = 0.已知兩條直線 1i : ax + by + c = 0,l 2 : mx + ny + p = 0 ,則 an = bm 是直線 l1 / 12 的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

19、也不必要條件二.填空題：設(shè)a+b=k（k為常數(shù)），則直線ax + by = 1恒過定點。實數(shù)x、y滿足3x 2y 5 = 0（1 w xw3）,則義的最大值、最小值分別是 x若直線y = x與y =kx +1有兩個交點，則 k的取值范圍是 。設(shè)點P在直線x+3y =0上，且P到原點的距離與 P到直線x + 3y-2 = 0的距離相等，則P點坐標是13.14.已知兩點A（m,2 ）,B（3,1）,求直線AB的斜率與傾斜角以及傾斜角的范圍。相交于A、B兩點，如果AB =3j2,求直線l的方程。15.等腰直角 MBC的斜邊AB所在的直線方程是3x y+2=0, CAC和直線BC的方程及AABC的面積

20、?！揪C合測試】一.選擇題1.（2004湖南）設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為a ,且sin a +cos a =0,則a、b滿足（）A. a+b=1C. a+b=0B. a-b=1D. a-b=02.（2006濰坊）過點P（-1,2）且方向向量為a = （1,2 ）的直線方程為（A.2x y = 0B. x-2y 5 = 0已知直線l過P（2,3）,且和兩條平行直線l1:3x + 4y 7 =0, l2:3x+4y + 8 = 0分別C.3.(2005南京)與直線3x+4y+5 = 0的方向向量共線的一個單位向量是（A.3,4B.4,-3 C.3,4； D.3 5J4,-3；554.已知三條

21、直線 1=0, mx + y+3 = 0不能構(gòu)成三角形，則 m的取值范圍是A. %, -1)C.11,-1,7?1一75.（2006山東）已知兩條直線l1：y = x, L ax y = 0 （其中a是實數(shù)），當這兩條直線的夾角在 0, i內(nèi)變動時, 12；a的取值范圍是（D. x 2y -5 -0A.0,1（2006 黃岡）點（sin 6,cos6 閩直線 x取值范圍是（）A. 2kn -,2kir - ；（k Z ）66C. 2k二 - 2二，2k二一二 k Z33（ 2006豫南三市聯(lián)考）如果點D. 1,，,31 一 一cosQ + y sin 0 +1 = 0的距離小于一，則日的 2k

22、n - - , kn 一三 1kw Z )、1212 n . n _ tD. kn , kn - i k = Z )36；?(5, a)在兩條平行直線6x8y+1 = 0和 TOC o 1-5 h z 3x 4y+5 =0之間，則整數(shù) a的值為（）A. 5B.-5C. 4D.-4（2006海淀）在平面直角坐標系內(nèi)，將直線l向左平移3個單位，再向上平移 2個單位后，得到直線l, l與l的距離為V13 ,則直線l的傾斜角為（）“2323A. arctan B. arctan C. 7一 arctan D. 蹙- arctan 一 3232二.填空題：（2005上海）在平面直角坐標系中， 若定點A（

23、1,2 2動點P（x, y ）滿足OPOA = 4,則點P的軌跡方程是。光線從點 A（-3,4）出發(fā)射到x軸上，被x軸反射到y(tǒng)軸上，又被 y軸發(fā)射后到點B（-1,6 ）,則光線所經(jīng)過的路程長為 。過點P（1,4 ）作一直線，使其在兩坐標軸上的截距為正，當其和最小時，這條直線的方程為。（2006江西九校聯(lián)考）將一張坐標紙折疊一次，使得點（0,2 ）與點（-2,0 ）重合，且點（2003,2004）與點（m,n ）重合，則 n-m =。解答題:設(shè)直線l : 2x+By _1 =0的傾斜角為a(1)試將ot表示為B的函數(shù)；2 二(2)右 a ，試求B的取值范圍； 63(3)若B w (-o,-2L(

24、1,求a的取值范圍。14.已知直線系方程為(2 + m )x+(12m )y+ (43m )=0(1)求證：不論 m為何實數(shù)，直線過定點；(2)過這定點引一直線分別與 x軸、y軸的負半軸交于 A B兩點，求AAOB面積的 最小值及此時直線l的方程。15.(2004宣武)如圖，一列載著危重病人的火車從O地出發(fā)，沿射線 OA方向行駛，10其中sin a =子。在距離O地5a(a為正常數(shù))千米、北偏東P角的N處住有一位醫(yī)學專 3 家，其中sin P = g。現(xiàn)120指揮中心緊急調(diào)離 O地正東p千米B處的救護車，先到 N處 載上醫(yī)學專家，再全速趕往乘有危重病人的火車，并在C處相遇。經(jīng)測算，當兩車行駛的

25、路線與OB所圍成的三角形 OBC面積S最小時，搶救最及時。(1)在O以為原點，正北方向為 y軸的直角坐標系中，求射線 OA所在的直線方程；(2)求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式S=f(p)；(3)當p為何值時，搶救最及時？m東達標測試答案一. 選擇題：C，,人，-b(n、解析：由bx + ay = ab得斜率k = 一 o ,傾斜角 be , n ia 一22A解析：顯然 ABC勺面積為9且0vav2,設(shè)x = a與AG AB的交點分別為E、F,則2只要求出E、F點的坐標， AEF的面積可用含有 a的代數(shù)式表示。 TOC o 1-5 h z ,_1XV/由 SEF = SABC 便可求出 a , l A

26、C ： * = 1223F a,33a廣,同理求得2EF =3 3a3a3 22于是S AEF =3a 1c 9萬 a =2S abc =-解得 a = 3 ( a = -3 舍)B解析：畫出坐標系，作B關(guān)于x軸對稱點 B,連結(jié)AB并延長與x軸交于P點，則P 點即為所求。 IIIPB = PB, PA - PB = PA - PB = AB,其他位置， PA 一 PB AB由兩點式AB方程丫二3=二二，從而求得P點的坐標為(13,0)。2 -35-1A解析：過點A與OA垂直的直線即為所求。1 koA =2,故所求的直線方程為 y-2 = (x-1 ),即x + 2y5 = 02D解析：分析 1

27、 ：直線關(guān)于點的對稱直線一定是與原直線平行，所以排除A、C.在2x +3y 6 = 0上取一點(3,0),它關(guān)于1)的對稱點是(-1，-2), 此點在直線 2x +3y +8 =0 上。分析2：設(shè)P(x, y)是對稱直線上的任一點，則它關(guān)于點(1,-1)的對稱點 (2x,2y )在已知直線上，即為直線2(2x)+3(2 y)6 = 0 ,整理后得 2x +3y +8 =0 為所求。A解析：易知11和12關(guān)于直線y=x對稱，設(shè)P(x, y )是l2上任一點，則它關(guān)于 y=x的 對稱點(y, x位11上，所以有bx+ay+c = 0即為所求。B解析：當an =bm時11與12有可能重合，故 an

28、= bm不一定有11 /12;當 11 / 12時，若 a = 0 ,則 m = 0 有 an =bm , b =0 亦然；若 ab#0,有 _a = m= an=bm b n故 11 / 12= an =bm填空題:9.CWk k J解析：a = k b代入 ax+by = 1 得 kx b(x - y )= 1x - y = 0k kJ.此直線恒過J 1 的交點，即點x 二l k2-13解析：設(shè)卜=丫，則上表示線段AB:3x 2y5 = 0(1 w xw3)上的點與原點連線的 x x斜率。 A(1,-1)B(3,2)由圖易知-A o k-y- X2-3-1k1解析：y=|x是I, n象限角

29、的角平分線，直線y = kx+1是過定點(0,1)的直線系方程,由圖象易知-1 v k v 1。但一1 最 m15, 5 J 3時,0, 一12k0, . - = arctan，、二m - 31二,當 m3時，k0, . 口 =冗+arctan，口 ，江m -32說明：此題涉及分類討論的數(shù)學思想方法，分類討論在歷年高考中，特別是綜合性題目中常常出現(xiàn)，是重點考查的數(shù)學思想方法之一。14. 解析：顯然l與x軸垂直時，不滿足條件則設(shè)l的方程為y3 = k(x2)-7 -8由題意l1與l2間的距離為d = 32 42設(shè)l與兩條平行線的夾角為aa =1則由 AB =3j2, d =3得 ”=45o, t

30、an 3又.兩條平行線的斜率為 -34，根據(jù)夾角公式,1 + k3、二1-1 ,、斛得k =或k7、1 一 八.l 的方程為 y -3=y(x-2 或 y-3 = -7(x-2)即 x -7y +19 =0或7x + y 17 = 015.解析： kAB =3,設(shè)與直線AB夾45o角的直線斜率為k,則k -31 3k=tan 45 = 1k =或 k = -22，一-，、一21直線AC、BC的方程為y 2 = 152x-14 潟一2二一55Jx.1415 J即x2y 2 =0或2x + y6=0,又C到直線AB的距離d = Ji0-1，S&BC = AB d =1 2.10 .10 =102【綜合測試答案】一.選擇題D解析：由 sin a + coset =0a得：tanu=-1, = -1, a _b = 0 bA解析：.方向向量為a =(1,2)，