高三數(shù)學圓錐曲線中最值問題的求解策略

1、圓錐曲線中最值問題的求解策略最值問題是圓錐曲線中的典型問題，解決這類問題不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義，而且要善于綜合 應用代數(shù)、平幾、三角等相關知識。以下從四個方面予以闡述。、求點的坐標的最值例1.定長為l(l 2b)的線段AB的端點在雙曲線2x2a2y9 =1的右支上，則ABb2中點M的橫坐標的最小值為A、al2、a2 b2B、2.a2 -b2C、a(l -2a)21 a2 b2D、a(l 2a)2,a2 b2解析：如圖，作出雙曲線的右準線，過 A, B作AA、 為A, B。又過AB的中點M作MM垂直于準線，垂足為 的最小值，實質上是求線段 |MM |的最小值.因為 |MM |= 1(|AA

2、 |+|BB ),2BB垂直于準線，垂足M ,則求M點橫坐標據(jù)雙曲線的第二定義：1AF 1 = e | BF | =e, | AA |BB|可得 |AA|= 1|AF| , |BB|=1|BF|,將此二式代入，結合三角形兩邊之和大于第三邊可得：|MM|= 1 (|AF|+|BF|) 1 |AB| ,2e2e當且僅當A、F、B三點共線時，即 AB過焦點F時，有|AF|+|BF|=|AB| 。即 |MM |min= |AB|=-,2e2e此時 x = =c 2e 2c故x=c 2c 2%a2 b2評注：求解本題的關鍵是審題時對雙曲線定義及平幾知識的把握和應用。二、求兩條線段的和的最值22例2.點M

3、和F分別是橢圓 工+匕=1上的動點和右焦點，定點B(2,2).259求|MF|+|MB|的最小值.求5 |MF|+|MB|的最小值.4解析：易知橢圓右焦點為F(4,0),左焦點F(-4,0),離心率 |MF| + |MB| = 10 |MF | + |MB|=10一 ( |MF|一|MB|) 10 一|FB|.當M, B, F三點共線時，|MF|一|MB|取最大值|FB|.此時|MF|+|MB| 10 一|FB|=10 2 J10 .過動點M作右準線x= 25的垂線，垂足為 H ,則IMF=e = f =4|MH |5x.土里44|MH |=|MF |.于是 55|MF|+|MB|=|MH|+

4、|MB|4河HB|= 17 .可見，當且僅當點 B、M、H共線時,45 |MF|+|MB|取最小值1744評注：從橢圓的兩個等價定義出發(fā)，再將問題轉化為平幾中的問題：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊。是解決此類問題的常見思路。三、求面積的最值例3.如圖，A、B、P(2,4)是拋物線y=1x2+6上的點，且直線2在y軸上的截距為正，求 APB面積的最大值.解析：設 A(x1,y1)，B(x2,y2),則1 2 Gy1 = Xi + 6,2C仇=x； +6,O4=22 +6,PA、PB的傾斜角互補，若直線AB一得 yi 4= (xi+2)(x i 2)=2, y1一4i,kPA

5、=(xi+2);x1 221.一仔 V2 4= (x2+2)(x 22)二2 y24 i 八kPB =(x2+2).x2 22直線PA與PB的傾斜角互補，一1 ，,、一 .kPA + kPB=(x1+x2+4) =0=2x1 +x2= -4. HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 1 .、一得 yi y2= (xi+x 2)(x1 X2),y1一y21kAB = (Xl+X 2)=2.X1-X22設直線 AB 為 y=2x+b(b0)，代入 y= x2+6,得 x2+4x+2b 12=0.2|AB|= 5 (x1 x2)2 -4x1x2 = 5 ,

6、 64 -8bb又P(2,4)到直線 AB: 2x-y+b=0的距離為 一,、51 Saabc= _ d|AB|= _ x三乂5 6/ 64 8b TOC o 1-5 h z 22.5=b 16-2b = Jb b (16-2b) 0=a454 a 2 + 405 0= a2 45 或 a2 w 9.a2 9 0, ，a245,故 amin=3 賓，得(2a) mm=6 V5 , TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 22此時橢圓方程為x 匕=1.4536 HYPERLINK l bookmark38 o Current

7、 Document 22解法2：設橢圓 + 2y=1與直線xy+9=0的公共點為 M(acos a ,4a2 -9sina ), a a -9貝U acos a Va2 9sina +9=0 有解.V2a2 9cosQ +) = 9 =cos( a + 4 )=V2a2 -9 J2a2-9| -1 =2a2 -9 9= a245,a min =3 1 5 ,得(2a) min =6 5 5 ，22此時橢圓的方程匚匕=1.4536解法3:先求得F1(-3, 0)關于直線x-y+9=0的對稱點F( 9,6), 設直線 F1F2與橢圓的交點為 M,則2a=|MF 1|+|MF 2| =|MF| +|MF 21A22|FF2|=6 v5,于是（2a）min=6 J5,易得 a2=45,b2=36 ,此時橢圓的方程為 = 1.4536評注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑尋求解決。由不同角度進行分析和處理，有利于打開眼 界，拓寬思路，訓練思維的發(fā)散性。解