電動(dòng)力學(xué)矢量分析與場(chǎng)論講解課件

1、電動(dòng)力學(xué)-2013鄒正峰求是樓 233#689487959-16周16次課期末考試80%平時(shí)成績(jī)20%每周交一次作業(yè)電動(dòng)力學(xué)矢量分析與場(chǎng)論電動(dòng)力學(xué)參考書：矢量分析與場(chǎng)論謝樹藝，高教出版社電動(dòng)力學(xué) 郭碩鴻，高教出版社電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程 俞允強(qiáng)，北大出版社矢量分析與場(chǎng)論數(shù)學(xué)預(yù)備矢量及基本運(yùn)算矢性函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則哈密頓算子及其簡(jiǎn)易計(jì)算方法積分變換式：高斯公式、斯托克斯公式場(chǎng)梯度、散度、旋度有勢(shì)場(chǎng)管形場(chǎng)矢量矢量：既有大?。＃?，又有方向數(shù)量矢量矢量的坐標(biāo)表示方法基矢zxy矢量可以用三個(gè)有序的數(shù)量表示矢量矢量的模單位矢量zxy矢量的加、減 加、減矢量的加、減，滿足平行四邊形法則。以兩矢量為鄰邊作平行四邊形，

2、則平行四邊形的對(duì)角線就是這兩個(gè)矢量的和或差。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個(gè)矢量的和(差)的分量等于這兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量的和(差)。標(biāo)積 標(biāo)積兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個(gè)標(biāo)量，稱為標(biāo)積或內(nèi)積。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個(gè)矢量的標(biāo)積等于這兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。矢積 積，或矢積矢積是一個(gè)矢量，其大小等于以兩矢量為鄰邊所作平行四邊形的面積，方向滿足右手螺旋法則。并矢 并矢又可以表示為并矢與張量張量：就是有坐標(biāo)的量 ，它們不隨參照系的坐標(biāo)變換而變化坐標(biāo)組一個(gè)指標(biāo)的，就是一階張量，在三維迪卡爾坐標(biāo)系里，具有三個(gè)與坐標(biāo)相關(guān)的獨(dú)立變量集合，矢量坐標(biāo)組兩個(gè)指標(biāo)的，就是二階張量矩陣

3、，在三維迪卡爾坐標(biāo)系里，具有九個(gè)與坐標(biāo)相關(guān)的獨(dú)立變量集合，并矢依次類推，三階，四階本課程中，如無特別指明，張量均指二階張量矢量的運(yùn)算符標(biāo)量的運(yùn)算符矢量的運(yùn)算符三矢量的混合積 三矢量的混合積三個(gè)矢量的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其絕對(duì)值等于以這三個(gè)矢量為棱的平行六面體的體積。三矢量的矢積三矢量的矢積三個(gè)矢量的矢積，可以表示為括號(hào)內(nèi)兩矢量的線性組合，系數(shù)分別為括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)的另一矢量的點(diǎn)積，括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)距離較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項(xiàng)為正，與較近的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項(xiàng)為負(fù)?！斑h(yuǎn)交近攻”例：證明證明： 是一個(gè)矢量，令 ，有： 利用三矢量的矢積公式可以得到，于是可得， 矢性函數(shù)的定義 設(shè)有數(shù)性變

4、量t和變矢 ，如果對(duì)于t在某個(gè)范圍G內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值， 都以一個(gè)確定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱 為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)，記作并稱G為函數(shù) 的定義域概念 常矢：模和方向都保持不變的矢量。零矢量方向任意，作為常矢特例。 變矢：模和方向只要有一個(gè)會(huì)變化（除零矢量外）即為變矢。矢性函數(shù)矢性函數(shù) 在 直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)(即它在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影)顯然都是 的函數(shù).矢性函數(shù)的坐標(biāo)為矢性函數(shù)的坐標(biāo)表達(dá)式為：矢性函數(shù)可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)表示矢端曲線，矢徑，距離矢量矢徑：距離矢量：zxylMozxyoMP矢性函數(shù)的極限極限定義設(shè)矢性函數(shù) 在t0點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義(但t0點(diǎn)可以沒有定義) ， 為一常矢，若 都 ，

5、使得當(dāng)t 滿足 時(shí)，定有 ，就稱 為矢性函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限。記為： 根據(jù)極限運(yùn)算性質(zhì)可得到矢性函數(shù)的極限一個(gè)矢性函數(shù)的極限，可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的極限來描述（或表示）。矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（ ），可以用三個(gè)有序的數(shù)性性函數(shù)的（ ）來描述（或表示）。 極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（ ），可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的（ ）來描述（或表示）。 極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分微分不定積分定積分當(dāng)兩個(gè)矢量運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)行基矢間的運(yùn)算，然后再進(jìn)行函數(shù)間的運(yùn)算?；钢g的運(yùn)算規(guī)則是與運(yùn)算符相鄰的兩個(gè)基矢之間發(fā)生運(yùn)算

6、關(guān)系?；高\(yùn)算只有點(diǎn)、叉、并運(yùn)算。而函數(shù)間運(yùn)算包含了乘、微分、積分等關(guān)系。矢量運(yùn)算的基本方法矢量的基矢運(yùn)算規(guī)則哈密頓算符哈密頓算符是一個(gè)矢性微分算符，在運(yùn)算中具有矢量和微分的雙重性質(zhì)。在直角坐標(biāo)系中，可表示為其運(yùn)算規(guī)則是： 算符哈密頓算符矢量公式矢量公式 在下面的公式中 為矢徑證明算子 的公式例 ：證明哈密頓算符的運(yùn)算方法“先微分，后矢量”分為三步：第一步：利用的微分性，將所求表達(dá)式分成幾項(xiàng)，每一項(xiàng)中只作用于一個(gè)函數(shù)上。此時(shí)可在算符的下標(biāo)標(biāo)明算符所作用的函數(shù)或者在算符不作用的函數(shù)下加臨時(shí)的常數(shù)標(biāo)記哈密頓算符的運(yùn)算方法第二步：將算符看成一個(gè)矢量，利用矢量的性質(zhì)重新排列，使得算符緊鄰著排在它所作用

7、的函數(shù)前面，而把不被作用的函數(shù)移到算符作用范圍外面或第三步，抹去下標(biāo)，得到結(jié)果例：證明先微分 再矢量去掉下標(biāo)證畢例 ：證明先微分再矢量去掉下標(biāo)證畢例 ：證明先微分再矢量去掉下標(biāo)證畢強(qiáng)調(diào)：1： 是一個(gè)算符，不能看成一個(gè)矢量2：哈密頓算法的簡(jiǎn)易運(yùn)算方法，三個(gè)步驟是一個(gè)整體，缺一不可，不能單獨(dú)使用。沒有對(duì) 做微分運(yùn)算對(duì)做了微分運(yùn)算積分變換式-1高斯公式（奧式公式）上式能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。采用符號(hào)來表示，可將上式寫成：積分變換式-2斯托克斯公式上式能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。采用符號(hào)來表示，可將上式寫成：

8、場(chǎng)如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)：溫度，密度，電位矢量場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度，力，速度穩(wěn)定場(chǎng)：不穩(wěn)定場(chǎng)：數(shù)量場(chǎng)的等值面和等值線：矢量場(chǎng)的矢量線：曲線的每一點(diǎn)均與對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的矢量相切方向?qū)?shù)設(shè)M0為數(shù)量場(chǎng) u = u(M) 中的一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)引一條射線l,在l上的點(diǎn)M0的臨近取一動(dòng)點(diǎn)M，記 ，如右圖。若當(dāng)MM0時(shí)比式的極限存在，則稱它為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)描述了在特定點(diǎn)處，數(shù)量場(chǎng)沿指定方向的變化率M0Ml 定義 計(jì)算公式其中方向?qū)?shù)最大值與方向l方向上的單位矢量取矢量有梯度若在數(shù)量場(chǎng)u(M) 中的

9、一點(diǎn)M處，存在這樣的一個(gè)矢量 ，其方向?yàn)楹瘮?shù)u(M) 在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值。則稱矢量 為函數(shù)u(M) 在點(diǎn)M處的梯度，記作： 定義 計(jì)算公式 性質(zhì) 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即 梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向數(shù)量增大的方向通量設(shè)有矢量場(chǎng) ，沿其中有向曲面S的某一側(cè)的曲面積分叫做矢量場(chǎng) 向積分所沿一側(cè)穿過曲面S的通量 定義 通量可疊加散度設(shè)有矢量場(chǎng) ，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一封閉曲面 ，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)?， 以 表其體積，以 表從其內(nèi)穿出S的通量，若當(dāng) 以任意方式縮向M點(diǎn)時(shí)，比式之極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的散

10、度，記作 定義散度表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即該點(diǎn)處源的強(qiáng)度散度的計(jì)算公式矢量場(chǎng)高斯公式（奧氏公式）由高斯公式再根據(jù)中值定理，在 中總能找到一點(diǎn) ，使由定義環(huán)量設(shè)有矢量場(chǎng) ，沿其中某一封閉的有向曲線l的曲線積分叫做矢量場(chǎng) 按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量 定義環(huán)量面密度設(shè)有M為矢量場(chǎng) 中的一點(diǎn)，在M點(diǎn)處取定一個(gè)方向 ，再過M點(diǎn)任作一微小曲面 ,以 為其在M點(diǎn)處的法矢，其周界 之正向取作與 構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場(chǎng)沿 之正向的環(huán)量 與面積 之比，當(dāng)曲面 在保持M點(diǎn)于其上的條件下，沿著自身縮向M點(diǎn)時(shí)，若 的極限存在，則稱其為矢量場(chǎng) 在點(diǎn)M處沿方向 的環(huán)量面密度，記作： 定義環(huán)量面密度表示環(huán)量

11、對(duì)面積的變化率M環(huán)量面密度的計(jì)算公式矢量場(chǎng)斯托克斯公式根據(jù)中值定理環(huán)量面密度變化率最大值與方向方向上的單位矢量取矢量有旋度若在矢量場(chǎng) 中的一點(diǎn)M處存在這樣的一個(gè)矢量 ，矢量場(chǎng) 在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，且最大的數(shù)值為 ，則稱矢量 為矢量場(chǎng) 在點(diǎn)M處的旋度記作： 定義 計(jì)算公式 性質(zhì) 環(huán)量面密度等于旋度在該方向上的投影，即梯度、散度、旋度 哈密頓算子 雅可比矩陣積分變換式高斯公式（奧式公式）斯托克斯公式思考題的含義？梯度、散度、旋度 哈密頓算子 設(shè)矢量場(chǎng) ，若存在單值函數(shù) 滿足 ；則稱此矢量場(chǎng)是有勢(shì)的。令 ，并稱 為這個(gè)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù) 。有勢(shì)場(chǎng) 定義有勢(shì)場(chǎng)為一個(gè)梯度場(chǎng)。有勢(shì)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)為無窮多。 性質(zhì)定理定理：在線單連域內(nèi)矢