22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)2最大利潤(rùn)

1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最大利潤(rùn)與二次函數(shù)當(dāng) 時(shí)，二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 有最?。ù螅?值學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠分析和表示實(shí)際問題中，變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出實(shí)際問題的最大（?。┲祵W(xué)習(xí)重點(diǎn)：探究利用二次函數(shù)的最大值（或最小值）解決實(shí)際問題的方法某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60 元，每星期可賣出300件市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià) 1 元，每星期要少賣出 10 件已知商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？問題探究（1） 當(dāng)每件漲 1 元時(shí)，售價(jià)是多少？每星期銷量是多少？成本是多少？銷售額是多少？利潤(rùn)呢？（2） 當(dāng)每

2、件漲 x 元時(shí)，售價(jià)是多少？每星期銷量是多少？成本是多少？銷售額是多少？利潤(rùn) y 呢？（3） 最多能漲多少錢呢？ （4）當(dāng)定價(jià)為x元，漲價(jià)多少元？每件的利潤(rùn)是多少？每星期銷量是多少？利潤(rùn) y 呢？某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60 元，每星期可賣出300件市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià) 1 元，每星期要少賣出 10 件已知商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？問題探究思考： 題目主要涉及哪些變量？哪個(gè)量是函數(shù)？哪一個(gè)量是自變量？利潤(rùn)求法每件利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià).總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)銷售數(shù)量.定價(jià)；漲價(jià)；銷售數(shù)量；利潤(rùn)（每件利潤(rùn)、總利潤(rùn)）總利潤(rùn)=銷售額成本問題探究解法1：設(shè)每件漲價(jià)x元，每星期

3、售出商品的利潤(rùn)為y元，則y =(60+x)(30010 x)40(30010 x） 【或y=(60+x40)(30010 x）】即y=10 x2+100 x ，其中0 x30.100，當(dāng)x= =5時(shí)，即定價(jià)為65元時(shí)，y最大值=250+500 =6250（元）。 可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)，也就是說當(dāng)x取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).問題探究解法2：設(shè)每件定價(jià)x元，每星期售出商品的利潤(rùn)為y元，則y=(x40)30010(x60)=(x40)(90010 x)=10 x2 x3600，其中60 x90. 1

4、00，當(dāng)x= =65時(shí)，y最大值=6250（元）。 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60 元，每星期可賣出300件市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià) 1 元，每星期可多賣出 20 件已知商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？變式訓(xùn)練解法1：設(shè)每件降價(jià)x元，每星期售出商品的利潤(rùn)為y元，則y=(60 x40)(300+20 x）=(20 x)(300+20 x)=20 x2+100 x ，其中0 x20.200，當(dāng)x= =2.5時(shí)，即定價(jià)為57.5元時(shí)，才能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為5800元。 變式訓(xùn)練解法2：設(shè)每件定價(jià)x元，每星期售出商品的利潤(rùn)為y元，則y=(x40)300+20(60 x)=

5、(x40)(150020 x)=20 x2 x60000，其中40 x60.200，當(dāng)x= =57.5時(shí)，才能使利潤(rùn)最大. 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？分析：調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況，由前面我們對(duì)兩種情況的討論及現(xiàn)在的銷售狀況，你知道應(yīng)如何定價(jià)能使利潤(rùn)最大了嗎？回歸教材歸納小結(jié)：運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最大值和最小值的一般步驟 :求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值.檢查求得的

6、最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) .解這類題目的一般步驟例（2013山東青島，22，12分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)25元/件時(shí)，每天的銷售量是250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？（3）商場(chǎng)的營(yíng)銷都結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷方案：方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元請(qǐng)比較哪種方案的最大利

7、潤(rùn)更高，并說明理由 能力挑戰(zhàn)例（2013山東青島，22，12分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)25元/件時(shí)，每天的銷售量是250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；解:（1）w(x20)25010(x25) (x20)50010 x 10(x20)(x50)10 x2700 x10000 易于畫草圖（25x50）例（2013山東青島，22，12分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)25元/件時(shí)，每天的銷售量是250

8、件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？解：（1）w(x20)25010(x25)10(x20)(x50)10 x2700 x10000 （2）w10 x2700 x1000010(x35)22250，當(dāng)x35時(shí)，w取到最大值2250，即銷售單價(jià)為35元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2250元 （25x50）例（2013山東青島，22，12分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)25元/件時(shí)，每天的銷售量是

9、250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？（3）商場(chǎng)的營(yíng)銷都結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷方案：方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說明理由 解：（1）w(x20)25010(x25)10(x20)(x50)10 x2700 x10000 （2）w10 x2700 x1000010(x35)22250，當(dāng)x35時(shí)，w取到最大值2250

10、，即銷售單價(jià)為35元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2250元 （3）w10(x35)22250，函數(shù)圖像是以x35為對(duì)稱軸且開口向下的拋物線對(duì)于方案A，需20 x30，此時(shí)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)（如圖），w隨x的增大而增大，x30時(shí)，w取到最大值2000當(dāng)采用方案A時(shí)，銷售單價(jià)為30元可獲得最大利潤(rùn)為2000元 （25x50）（3）商場(chǎng)的營(yíng)銷都結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷方案：方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說明理由 解：（1）w=(x20)25010(x25)=10(x20)(x50

11、)=10 x2700 x10000 （3）w10(x35)22250，函數(shù)圖像是以x35為對(duì)稱軸且開口向下的拋物線對(duì)于方案A，需20 x30，此時(shí)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)（如圖），w隨x的增大而增大，x30時(shí)，w取到最大值2000當(dāng)采用方案A時(shí)，銷售單價(jià)為30元可獲得最大利潤(rùn)為2000元 兩者比較，還是方案A的最大利潤(rùn)更高 （25x50）（2014內(nèi)蒙古呼倫貝爾，25，10分）某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件25元時(shí)，每天可賣出250件市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，一件商品每漲價(jià)1元，每天要少賣出10件（1）求出每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與每件漲價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大；（3）商場(chǎng)的營(yíng)銷部在調(diào)控價(jià)格方面，提出了，兩種營(yíng)銷方案.方案：每件商品漲價(jià)不超過5元；方案：每件商品的利潤(rùn)至少為16元請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說明理由 （2014遼寧丹東，24，10分）在2014年巴西世界杯足球賽前夕，某體育用品店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)