材料力學(xué)第13超靜定結(jié)構(gòu)精課件

1、第13章 超靜定結(jié)構(gòu) 13.1壓桿穩(wěn)定的概念13.1.1超靜定結(jié)構(gòu)的概念例如如圖13.1（a）所示的曲桿，固定端A處有3個約束力，而獨立的靜力學(xué)平衡方程有3個，故僅用靜力學(xué)平衡方程就能解出這3個約束力，此曲桿為靜定結(jié)構(gòu)。由于某些特定的工程需要，例如，提高其強度或剛度，在B處增加了一個鉸支座，如圖13.1（b）所示，現(xiàn)在有4個約束力，平衡方程仍然是3個，這樣就多出了一個多余約束、約束力，是超靜定結(jié)構(gòu) 圖13.113.1.2超靜定問題分類與超靜定次數(shù)的判定例如圖13.1（b）中的彎梁，由于在B點有多余外部約束力，因而是外力超靜定結(jié)構(gòu)。例如圖13.2（c）中的框架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)整體并沒有多余的外部約束力

2、，但結(jié)構(gòu)內(nèi)部的支撐桿EF帶來多余的內(nèi)部約束力，因此為內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)。如在結(jié)構(gòu)外部和內(nèi)部均存有多余的約束力，即約束力和內(nèi)力均是超靜定的，稱為外力與內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)，也稱為聯(lián)合超靜定結(jié)構(gòu)，如圖13.2（g）所示。1）外力超靜定次數(shù)的判定：根據(jù)約束性質(zhì)確定約束反力的個數(shù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)所受力系的類型確定獨立平衡方程的個數(shù)，二者的差即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。例如，圖13.1（b）與圖13.3分別為一次和二次外力超靜定結(jié)構(gòu)。 2）內(nèi)力超靜定次數(shù)的判定： 判斷結(jié)構(gòu)內(nèi)力超靜定次數(shù)，需要用截面法將超靜定結(jié)構(gòu)截開，使其成為靜定結(jié)構(gòu)，截面上的未知內(nèi)力數(shù)目即超靜定次數(shù)。 圖13.2例如，如圖13.2（a）所示的靜定剛架，A，B

3、處的3個約束力可通過靜力學(xué)平衡方程求出。這樣，任一截面（例如圖13.2（b）中所示的C截面）的3個內(nèi)力也完全可以通過靜力學(xué)平衡方程求出。現(xiàn)增加一個二力桿EF，如圖13.2（c）中所示，此時D截面又出現(xiàn)一個內(nèi)力（見圖13.2（d），總共4個內(nèi)力，但平衡方程仍然是3個，這樣有一個內(nèi)力不能由靜力學(xué)平衡方程解出，因而為一次內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)。如圖13.2（e）所示為靜定剛架加EF桿后形成一封閉剛架結(jié)構(gòu)，這樣就有6個內(nèi)力（見圖13.2（f），其中有3個內(nèi)力不能由靜力學(xué)平衡方程解出，因而為3次內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)。對于內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)，超靜定形式及超靜定次數(shù)有以下常見形式：一個平面封閉框架為3次內(nèi)力超靜定；平面桁架的

4、內(nèi)力超靜定次數(shù)等于未知力的個數(shù)減去兩倍的節(jié)點數(shù)。例如，如圖13.4中所示桁架結(jié)構(gòu)為內(nèi)力二次超靜定。 圖13.6然后以未知約束力X1（不能由靜力學(xué)平衡方程求出的）替代被解除支座的作用，再加上原來的外力F，得到如圖13.6（c）所示結(jié)構(gòu)，稱為原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)結(jié)構(gòu)。之所以稱為相當(dāng)結(jié)構(gòu)，是要求該結(jié)構(gòu)的變形與原結(jié)構(gòu)的變形完全相同，截面B的鉛垂位移1為零，即式（a）即為該超靜定問題的變形協(xié)調(diào)條件。應(yīng)用疊加原理，1可視為F單獨作用引起的位移1F(見圖13.6（d）)與X1獨作用引起的位移1X1 (見圖13.6（e）)的疊加，即式（b）即為該超靜定問題的補充方程。根據(jù)莫爾定理，欲求1X1，可在基本結(jié)構(gòu)的B處沿鉛垂

5、方向施加單位力F=1，如圖13.6（f）所示。由于變形與力呈線性關(guān)系，若單位力引起的位移用11表示（見圖13.6（f）那么有將式(c)代入式補充方程(b)中，得到式中X1約束力；11單位力F=1引起B(yǎng)處的鉛垂位移；1F原外力F引起B(yǎng)的鉛垂位移。式(13.1)稱為力法正則方程，是一次超靜定問題補充方程的一般形式。例13.1如圖13.7（a）所示，梁的EI為常數(shù)，試求B端的支座反力。 圖13.7解首先根據(jù)前述超靜定次數(shù)判別方法，系統(tǒng)為一次外力超靜定問題?？砂袯支座作為多余約束，懸臂梁AB為靜定基（見圖13.7（b）。在靜定基上施加被解除約束B處的多余反力X1可得相當(dāng)系統(tǒng)，如圖13.7（c）所示。顯

6、然，變形協(xié)調(diào)條件為B點處撓度為零。利用彎曲變形疊加原理，B點的撓度為 依據(jù)式（13.1），力法正則方程為應(yīng)用單位荷載法及莫爾積分求解1F及11。施加單位荷載后，圖13.7（b）與圖13.7（d）中的彎矩方程分別為依據(jù)莫爾積分表達(dá)式（12.33），可得同理，圖13.7(e)與圖13.7(f)中的彎矩方程分別為同樣采用莫爾積分可得將1F與11代入正則方程得從而解得X1=38ql綜上所述，力法分析超靜定結(jié)構(gòu)的要點如下：判定超靜定次數(shù)，解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束，并以相應(yīng)的約束力X1,X2,X3,代替其作用，得到一個幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)，即原結(jié)構(gòu)的“相當(dāng)結(jié)構(gòu)”。原結(jié)構(gòu)已經(jīng)變成靜定結(jié)構(gòu)，其變形與原結(jié)構(gòu)相同，

7、即在多余約束處滿足“變形幾何條件”，建立力法正則方程。解補充方程求出多余約束力。在相當(dāng)系統(tǒng)上求解原超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。例13.2計算如圖13.8（a）所示邊長為l的正方形桁架各桿中5桿的內(nèi)力（設(shè)各桿的橫截面面積相等均為A且材料相同）。解圖示桁架結(jié)構(gòu)僅內(nèi)部有一個多余約束，故此桁架屬于一次內(nèi)力超靜定。以bd桿為多余約束，假想在d點處將桿切開，并以多余約束力X1及X1代替，相當(dāng)系統(tǒng)如圖13.8（b）所示。由于d點實際為ad，cd及bd三桿鉸接點，所以d點處相對位移應(yīng)等于零，則依據(jù)此變形協(xié)調(diào)條件可列出補充方程，即其中，1P表示d點兩側(cè)截面因載荷作用而引起的沿X1及X1方向的相對位移，1X1表示因多

8、余約束力X1及X1引起的沿X1及X1方向的相對位移。依據(jù)式（13.1），正則方程為表示由單位力引起的沿X1及X1方向的相對位移。圖13.8應(yīng)用單位荷載法及莫爾積分求解1P及11。由求出靜定基在P力作用下及單位荷載作用下(見圖13.8(c)及圖13.8(d)各桿的內(nèi)力,分別為將以上結(jié)果代入莫爾積分式（12.34）中，可得 圖13.8將以上結(jié)果代入正則方程，得X1為負(fù)值，表示它與所設(shè)方向相反，即bd桿受壓。13.2.3二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法正則方程對于有兩個多余約束反力的超靜定系統(tǒng)，例如，將如圖13.6（a）所示結(jié)構(gòu)的B處改為固定鉸支座，如圖13.9（a）所示，則為二次超靜定結(jié)構(gòu)，其相當(dāng)結(jié)構(gòu)如圖13

9、.9（b）所示，截面B的鉛垂與水平位移均為零，即 圖13.9現(xiàn)在只分析1，應(yīng)用疊加原理可知式中，1F，1X1，1 X2 分別是F，X1，X2單獨作用引起B(yǎng)的鉛垂位移（見圖13.9（c）、（d）、（e）。為求這3個位移，可在B處加鉛垂單位力F1=1（見圖13.9（f）和水平單位力F2=1（見圖13.9（g）。單位力F1、引起B(yǎng)的鉛垂方向位移分別用11和12表示，則代入式（d）中，得同理可得以上二式為二次超靜定時的正則方程，合并記為二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法正則方程可寫成矩陣形式，即例13.3試求如圖13.10（a）所示剛架的全部約束反力，剛架EI為常數(shù)。 圖13.10解剛架有兩個多余約束，為二次超靜定

10、結(jié)構(gòu)。選取并去除多余約束，代以多余約束反力。在此解除A端固定鉸鏈約束，用X1與X2替代，得到如圖13.10（b）所示相當(dāng)結(jié)構(gòu)。根據(jù)式（13.2）列出正則方程為用莫爾定理求計算系數(shù)ij和自由項iF，圖13.11（a）、（b）、（c）各圖中的彎矩方程分別為AC段CB段則依據(jù)莫爾積分表達(dá)式（12.33），可得將上述結(jié)果代入力法正則方程可得聯(lián)立求解得 圖13.11 圖13.12式中負(fù)號表示X1，X2與假設(shè)的方向相反，即X1應(yīng)該向下，X2應(yīng)該向右。13.2.4n次超靜定結(jié)構(gòu)力法正則方程將式（13.2）推廣到n次超靜定結(jié)構(gòu)，得到力法正則方程的一般表達(dá)式n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法正則方程也可寫成矩陣形式為單位力引

11、起的位移矩陣（系數(shù)矩陣），由位移互等定理ij=ji可知是一對稱矩陣；X1X2XnT為未知力向量；1F2FnFT為載荷引起的位移向量。式（13.3）為一線性方程組，可用計算機求解。 13.3*對稱及反對稱性質(zhì)的利用當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用時，則此結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生對稱變形（見圖13.13（b）。如受反稱載荷作用時，則結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生反對稱變形（見圖13.13（c）。 圖13.13對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形與反對稱變形圖13.14對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形現(xiàn)以如圖13.14（a）所示的對稱變形為例證明載荷對稱的性質(zhì)。此結(jié)構(gòu)為3次外力超靜定結(jié)構(gòu)，切開結(jié)構(gòu)對稱截面，其上應(yīng)有3個多余未知力，即軸力X1，彎矩X2與剪力X3，如圖13.

12、14（b）所示。變形協(xié)調(diào)條件是，上述切開截面兩側(cè)水平相對位移、垂直相對位移和相對轉(zhuǎn)角都等于零。這3個條件寫成正則方程為 圖13.14采用圖乘法計算 ij 及 iP(i=1,2,3)?；窘Y(jié)構(gòu)在外載荷單獨作用下彎矩圖MP以及X1=1，X2=1，X3=1時的彎矩圖分別如圖13.14（c）、（d）、（e）、（f）所示，其中MP，M1，M2均對稱于對稱軸，而M3反對稱于對稱軸。由莫爾積分可知對稱函數(shù)與反對稱函數(shù)相乘在區(qū)間積分應(yīng)為零，即于是正則方程化為若330，則必有X3=0?？梢?，當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)上受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱內(nèi)力等于零 圖13.15以圖13.13（c）的反對稱變形為例，仍在對稱面

13、將結(jié)構(gòu)切開，其多余未知力也是 X1，X2與 X3，如圖13.15(a)所示。這時正則方程仍為式（a）。同上類似證明，但外載荷單獨作用下彎矩圖 MP是反對稱的，如圖13.15(b)所示。而M1，M2和M3仍如圖13.14（d）、（e）、（f）所示。即有此處和前面一樣于是正則方程化為前面兩式成為X1和X2的齊次方程組，顯然有X1=X2=0。所以在對稱結(jié)構(gòu)上作用反對稱載荷時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力X1和X2（即軸力和彎矩）都等于零，正確利用對稱、反對稱性質(zhì)，則可推知某些未知量，可大大簡化計算過程。有些載荷既不是對稱的，也不是反對稱的，但可將它們化為對稱和反對稱的兩種載荷的疊加。如圖13.16和圖13

14、.17所示。分別求出對稱和反對稱兩種情況下的解，疊加后即為原載荷作用下的解。 圖13.16 圖13.17例13.4半徑為 R 的等截面圓環(huán)，直徑CD方向受一對力 P，如圖13.18（a）所示，求圓環(huán)內(nèi)彎矩M。解封閉圓環(huán)為3次超靜定。在A處截開，則有3個多余未知力，彎矩 X1，軸力 X2，剪力 X3（圖13.18（b）。直徑AB為一對稱軸，對稱截面A 圖13.18上剪力 X3應(yīng)為零，對稱截面B上彎矩和軸力與截面A上相等。由豎直方向力的平衡可得 X2=P/2。故只有彎矩X1未知（見圖13.18（c）。選半圓環(huán)為靜定基，作用于半圓環(huán)的力如圖13.18(c)所示，則協(xié)調(diào)條件應(yīng)是A或B截面在 P及彎矩X

15、1作用下轉(zhuǎn)角 應(yīng)為零（由對稱性可知），所以有靜定基上施加外力P（見圖13.18(d)）及單位力偶（見圖13.18（e），用莫爾法求11與1P。外力引起彎矩單位力偶引起彎矩根據(jù)對稱性，可只取1/4圓環(huán)進行計算，故采用莫爾積分式（12.33），可得將11，1P代入式（a）解得圓環(huán)內(nèi)橫截面彎矩M為13.4*連續(xù)梁及三彎矩方程13.4.1連續(xù)梁及其靜不定次數(shù) 圖13.19為了便于研究連續(xù)梁，對連續(xù)梁今后采用下述記號：從左到右把支座依次編號為0，1，2，（見圖13.19（a），把跨度依次編號為l1，l2，l3，13.4.2三彎矩方程連續(xù)梁是超靜定結(jié)構(gòu)，求解連續(xù)梁時，靜定系統(tǒng)可有多種選擇。如采取解除中間支

16、座得到靜定基，則因每個支座反力將對靜定梁的每個中間支座位置上的位移有影響，因此正則方程中每個方程都將包含多余約束反力，使計算非常煩瑣。如果設(shè)想將每個中間支座上的梁切開（見圖13.19（b），并裝上鉸鏈，將連續(xù)梁變成若干個簡支梁，每個簡支梁都是一個靜定基，這相當(dāng)于把每個支座上梁的內(nèi)約束解除，即將其內(nèi)力彎矩M1，M2，Mi，Mn+1作為多余約束力（見圖13.19（b），則每個支座上方的鉸鏈兩側(cè)截面上需加上大小相等、方向相反的一對力偶矩，與其相應(yīng)的位移是兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。于是多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件是梁中間支座處兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角為零。如對中間任一支座n來說，其變形協(xié)調(diào)條件為（見圖13.20（a）

17、方程（13.4）中只涉及3個未知量Mn1，Mn，Mn+1。n,n1，nn，n,n+1 及nP 可用莫爾積分來求。(1）求nP 靜定基上只作用外載荷時（見圖13.20（b），跨度ln上彎矩圖為MnP，跨度ln+1上彎矩圖為 M(n+1)P（見圖13.20（c）。當(dāng) Mn=1時（見圖13.20（e），跨度ln和ln+1內(nèi)彎矩分別為由莫爾積分得式中MnPdxn=dn是外載單獨作用下，跨度ln內(nèi)彎矩圖的微面積（見圖13.20（c），而 是彎矩圖面積n對ln左側(cè)的靜矩，如以an表示跨度ln內(nèi)彎矩圖面積的形心到左端的距離，則 。同理bn+1表示外載荷單獨作用下，跨度ln+1內(nèi)彎矩圖面積n+1的形心到右端的距離，則 。于是有式中第一項可看成是跨度ln右端按逆時針方向的轉(zhuǎn)角，第二項看成是跨度ln+1左端按順時針方向的轉(zhuǎn)角。兩項和就是鉸鏈n兩側(cè)截面在外載荷單獨作用下的相對轉(zhuǎn)角。（2）n(n1)，nn，n(n+1)的計算當(dāng)n支座鉸鏈處作用有Mn=1時，其彎矩圖如圖13.20（e）所示，用莫爾積分有 圖13.20而 也可類似求得（利用圖13.20（d）與（e）以及（f）與（e）（3）三彎矩方程將 ，nP代入式（13.4）得這就是三彎矩方程。其中n代表任一支座，如n=1,2,m，則可得到m個方程聯(lián)立，解m個中間支座多余力M