由列表法確定函數解析式談起

1、依據表格特征探究函數解析式 陜西省寶雞市岐山縣 羅局初級中學 陳軍利 鄭建寧 郵編:722404內容提要：闡述怎樣由列表法確定四種函數的類型及其應用。若表格中的每對y與x的比值為一定值，則這兩個變量滿足正比例函數。當表格中的自變量的取值連續(xù)均勻分布時，對應的兩個連續(xù)因變量的差值為一定值時，這兩個變量一定滿足一次函數。因而若表格中的x與y的乘積為一定值，則兩個變量滿足反比例函數關系。若表格中的因變量的取值連續(xù)分布且間隔相同時，先把因變量的取值第一次做差，再把第一次做差的結果再次做差，若第二次做差的差值為一定值，則兩個變量滿足二次函數。關鍵詞：商為定值，第一次作差為定值，成績?yōu)橐欢ㄖ?，第二次作差?/p>

2、一定值。正文：在九年級第二學期數學復習中，有一道題，給出兩個變量的一組對應值，如：n12345m1361015問題：試確定兩個變量之間的函數關系式。在初中要確定兩個變量之間的函數關系式，可根據待定系式法來確定。但問題是題目并沒有表明m和n之間滿足什么類型的函數，因而給此題的解答造成一定的困難，困難的理由是要在正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數四種函數中進行篩選。下面本人依據自己近幾年的教學實踐，總結了篩選四種函數類型的一般方法。一、正比例函數。根據正比例函數解析式y(tǒng)=k/x(k0)可得k=y/x,因而若表格中的每對y與x的比值為一定值，則這兩個變量滿足正比例函數，而這個定值恰好是正比例

3、函數解析式中的常數k。二、一次函數。當表格中的自變量的取值連續(xù)均勻分布時，對應的兩個連續(xù)因變量的差值為一定值時，這兩個變量一定滿足一次函數。而這個定值的絕對值是一次函數解析式中的k。比如有兩個變量滿足表格：x0123y1357分析：3-1=2；5-3=2；7-5=2y是x的一次函數解：由分析得y是x的一次函數設y=kx+b（k0）當x=0時，y=1；當x=1時，y=3解方程組得 1=b3=k+bk=2 b=1y=2x+1由此可得k與定值相同。三、反比例函數：根據反比例函數的定義y=k/x(k0)得k=xy，又k為一定值。因而若表格中的x與y的乘積為一定值，則兩個變量滿足反比例函數關系。如兩個變

4、量滿足表格：X-3-2-1123Y-2-3-6632(-3)(-2)=6；(-2)(-3)=6；(-1)(-6)=6；又6為一定值，y是x的反比例函數，并且6恰好是反比例解析式中的k，則y=6/x,問題得以解決。四、二次函數：當表格中給出x和y的一組對應值，若表格中的因變量的取值連續(xù)分布且間隔相同時，先把因變量的取值第一次做差，再把第一次做差的結果再次做差，若第二次做差的差值為一定值，則兩個變量滿足二次函數。下面解決前面提出的問題，解及分析：第一次做差：3-1=2；6-3=3；10-6=4；15-10=5。第二次做差：3-2=1；4-3=1；5-4=1。1為一定值y是x的二次函數。設m=an2

5、+bn+c(a0)n=1,m=1；n=2，m=3；n=3，m=6；依題意得： 1=a+b+c3=4a+2b+C6=9a+3b+c解方程組得 a=1/2b=1/2c=0m=1/2n2+1/2n2為了進一步確信所得到的二次函數正確無疑，可以將前面沒有用的一組或幾組x與y的對應值帶入進行驗證。如：當n=4時，m=1/242+1/24=8+2=10,符合題意，由此可得所得的二次函數一定正確。再比如x和y滿足表格x-2-101234y116323611理由自變量x從-2到4，連續(xù)取值，且間隔相同，讓對應的因變量y第一次做差：6-11=-5；3-6=-3；2-3=-1；3-2=1；6-3=3；11-6=5

6、；第二次做差：（-3）-（-5）=2；（-1）-（-3）=2；1-（-1）=2；3-1=2；5-3=2；并且2為一定值，y是x的二次函數。具體解法可根據待定系數法來求做。當然這道題可隱含了一個重要的信息，（0,3）和（2，3）關于直線x=1對稱，（-1，6）和（3，6）關于直線x=1對稱，由此可以猜想y是x的二次函數。實踐運用（2009，湖州市），如圖，每個小長方形都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，請你在圖中任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經過81個格點中的多少個？yA6個B7個C8個D9個x解及分析：要任意畫一條拋物線，使它最多能經過31個格點中的多少個，學生要在短時

7、間做出來，確實不易，理由如下，及時告訴了二次函數解析式，也只能依據描點法作出近似圖象，在沒有告訴具體解析式的情況下只能作出大致圖象，要用大致圖像確定答案，則十分困難，估計學生完成此題只能憑猜想。下面本人結合教學實踐，給出了本題的解法，本道題可以先建立平面直角坐標系，如圖所示，下面可根據二次函數點坐標的特點，給出四個點，答案一：如（1,0），（2,1），（3,3），（4,6），這四個點必在同一條拋物線上，理由是橫坐標的取值連續(xù)分布，縱坐標第一次作差：1-0=1；3-1=2；6-3=3。第二次作差：2-1=1；3-2=1。1是一定值，這四個點必在同一拋物線上。設y=ax2+bx+c，將（1,0），

8、（2，1），（3,3）分別代入此解析式得0=a+b+c1=4a+2b+c3=9a+3b+c解方程組得 a=1/2b=-1/2c=0解析式為y=1/2x2-1/2x當x=4時，y=1/242-1/24=8-2=6解析式正確。其對稱軸為x=-b/2a=1/2,（1,0），（2，1），（3,3），（4，6）關于直線x=1/2的對稱點為（0,0），（-1，1），（-2,3），（-3，6）。這四個點也在格點上，所畫的拋物線最多能經過81個格點中的8個。答案二：如（1，1），（2，2），（3，4），（4,7）這四個點在一條拋物線上，可得二次函數解析式為y=1/2x2-1/2X+1,其對稱軸為直線x=1/2

9、,以上四個點關于直線x=1/2的對稱點為（0,1），(-1,2),（-2，4），（-3,7）。共八個點。答案三：如（1,2），（2,3），(3,5),(4,8)這四個點在一條拋物線上，可得二次函數解析式為y=1/2x2-1/2x+2，其對稱軸為直線x=1/2,以上四個點關于直線x=1/2的對稱點為（0,2），（-1,3），（-2,5），（-3,8）。共八個點。答案四：如（0,0），（1,1），（2,3），（3,6）這四個點在一條拋物線上，可得二次函數解析式為y=1/2x2+1/2x，其對稱軸為直線x=-1/2，以上四個點關于直線x=-1/2的對稱點為（-1,0），（-2,1），（-3,3），（-4,6）。共八個點。由此可得，掌握由列表格確定四種二次函數及相關知識很重要，尤其