含30度角、45度角的三角板

1、初中數(shù)學三角模型的構建（學完二次根式后使用）含30度角、45度角的三角板（之一：模式構建）編制人：平生曜曜1、請證明：有一個角是45度的Rt，的兩條直角邊相等。如圖（1）,已知在 Rt/ABC 中，匕 A=90 , ZB=45，求證：AB=AC。證明：./C= 90 ZB = 90 - 45 = （ = /.（理由：Rt/的兩銳角）.AB=AC （理由：等 對等）.2、請證明：等腰Rt/必有兩個內角是45度。如圖（1）,已知在Rt/ABC中，匕A=90 , AB=AC，求證：匕B=C=45 證明： AB=AC，二/=Z （理由：等 對等）.又 ZB +ZC= （理由：Rt/的兩銳角）.點評：以

2、上兩題，思路簡單，無需多言。3、請證明：Rt/中，30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半。 TOC o 1-5 h z 方法：如圖（1）, 已知在 Rt/ABC 中，ZC=90 , ZA=30 ,A求證：BC = 2AB o （請按解答提示，畫出輔助線）證明：取AB的中點D，則BD = 2 AB .連接CD,則CD是斜邊AB上的中線.商，、圖（1）.CD = 1（）= BD . （ Rt /斜邊上的中線等于）又.ZB= 90-A = 90 - 30 = （. （Rt /的兩銳角）./CBD是三角形.（有一個角等于60度的等腰/是/）.BC=BD.（等邊/的三條邊都），又：BD = 1AB（作圖可

3、知）. （等量代換）.點評：本題欲證BC = 1AB，故先強行取出AB的一半，即BD，然后想辦法去證明BC=BD。這種思路叫（選填：截長法，或補短法）。方法：如圖（2）,已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30，求證：BC = 1 AB o證明：在BA上截取BD,使BD=BC，連接CD, TOC o 1-5 h z 又 VZB= 90 ZA = 90 - 30 = （.（Rt/的兩銳角） A./ CBD是三角形./（有一個角等于60度的三角形是三角形）B 1 C CD = BD , ZBCD= .圖（2）（等邊/的三條邊都，等邊/的三個角都是度）ZACD = 90 -ZBCD = 90

4、 - 60 = （ = /.CD=AD.（等角對）即：CD = BD = AD = 1 AB ,又 BD=BC （作圖可知）.2.BC = （等量代換）.點評：本題巧妙地利用60度構造了等邊/,然后運用等邊/的性質使問題得到解決。圖方法：如圖（3）,已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30，求證：BC = 1 AB o證明：延長BC點D,使CD=BC，連接AD.又VACXBD于C , .AC垂直平分BD .（中垂線的定義）.（中垂線上的點到）.又曷=90-ABAC = 90-30 = （3 . （Rt/的兩銳角）./ABD是/.（有一個角等于60度的等腰/ /）.= .（等邊/的三條邊

5、都）.又BC = 1 BD.（作圖可知）. BC = 1 AB.（等量代換）.點評：本題欲證BC = 1 AB，采取了加倍BC的辦法，使BD=2BC,再設法去證明:BD=AB。這種思路叫（選填：截長法，或補短法）。方法總結：但凡涉及線段的“和、差、倍、半”的證明，都可嘗試“截長補短法”。方法：如圖（4）,已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30，求證：BC = -AB o匚目日一 和占 n 估口nAt? 沽年 AnA. TOC o 1-5 h z 證明：延長BC點D,使BD=AB，連接AD.A又.NB= 90-ABAC = 90-30 = （B ./ABD 是4 AB = .B /|

6、C又. ACBD于C ,.由三線合一知：BC = 2= 2.圖（4）點評：本題同樣是利用60度去構造等邊/,然后運用等邊/的性質使問題得到解決。經驗感悟：談談“構造基本圖形”來解決問題的話題。幾何問題的解決過程，要么是，直接利用“現(xiàn)存的”基本圖形的性質來解題；要么是，先“有理有據”地判定某現(xiàn)存圖形為“某基本圖形”，再用其性質去解題；有時要，先“補全”，甚或是先“構造”某個基本圖形，然后再用其性質去解題；四、手里的這副三角板中，還有哪些“應該發(fā)掘”的秘密關系1、如圖（1），已知在Rt/ABC中，匕A=90 , ZB=45，設AC = x，試用含x的代數(shù)式來表示AB和BC的長。A./ABC 是/，

7、則 AB =圖（1）BC2 =(* +()2 = X2 + X2 =解：./A=90 , ZB=45 ./BC = %2x2. （根的定義）.又BC 0，. BC = x/2x2 =、Q * X2 = v：2 |x| = t2x . TOC o 1-5 h z （上一步推理的依據：x是非負數(shù)，而非負數(shù)的絕對值等于）.即：AB = AC = x , BC = 2x .提煉結論：含45度的Rt/，其三邊長度之比 。具體而言有兩條結論 要記?。骸芍苯沁叺拈L :、斜邊長度是直角邊長度的倍。2、如圖（2），已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30 ,設BC = x，試用含x的代數(shù)式 來表示AB

8、和AC的長。解：.在 Rt/ABC 中，ZA=30，. AB =（Rt/中30的角所對直角邊等于）.由勾股定理得：AC rJ2=.3x2 = .3 |x| = y3x(推理依據有:根的定義;去帽子， 非負數(shù)的絕對值等于). 故：AB = 2x, AC = t3x .提煉結論：含30度的Rt/，其三邊長度之比 。具體而言有兩條結論要記?。?、兩直角邊的長 :、斜邊長度是直角邊長度的倍。五、特殊Rt/的三邊關系的“快捷應用”理解規(guī)律，提煉規(guī)律，再以“有效方式”去記憶規(guī)律，可實現(xiàn)快速計算。1、如圖（1），在 Rt/AEF 中，匕A = 90，ZE = 45，則：ZF =，AE:AF:EF=。、若 AE = 2，則 AF =，EF =；、若 EF = 2，則 AE =，AF；、若 AE = 3 握，則 AF =，EF =；、若 EF = 42，則 AE =，AF =；、若 AE 衣，則 AF =，EF =；、若 EF = 2 扼，則 AE =，AF =2、如圖（2），在 Rt /ANH 中，匕N = 90，ZA = 60，則： ZH =，AN:NH:AH=。、