根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

1、序號(hào)：春季班初高中數(shù)學(xué)備課組教師：戎世陽年級(jí)：初二日期:2018. 05.06上課時(shí)間:08:00學(xué)生：李晶慧、徐悅主課題：一元二次方程根的判別式 根與系數(shù)的關(guān)系課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次一兀二次方程根的判別式會(huì)用方程的根的判別式判別方程的根的情況 能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一兀二次方 程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù) 的取值范圍 韋達(dá)定理熟練用根與系數(shù)的關(guān)系求根 【知識(shí)脈絡(luò)】【回顧舊知】1.若x2-12X-1|-4 = 0，則滿足該方程的所有根之和為2.解關(guān)于x的方程ax2 + bx + c = 03.若(x - z) 2 - 4 (x - y)(y - z) =0,試求

2、x+z 與 y 的關(guān)系.4.已知：首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)方程:(a - 1) x2 -(a2+2) x+ (a2+2a) =0和(b - 1) x2 -(b2+2) x+ (b2+2b) =0 (其中a, b為正整數(shù))有一個(gè)公共根，求a, b的值.第1頁/ 共13已知一元二次方程x2- 4x-也=0和3耘5x +切=0，求兩個(gè)方程的所有根的和以及積.23如果m、n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2 - 2m=1, n2 - 2n=1,那么代數(shù)式2m2+4n2 - 4n+2015=關(guān)于x的方程x2-(2k - 1) x+k2 - 2k+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.求實(shí)數(shù)k的取值范圍；設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

3、分別為、x2,存不存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得|x1| - |x2|=.？若存在，求出 這樣的k值；若不存在，說明理由.lr-1一已知在關(guān)于x的分式方程二2和一元二次方程(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0中，k、m、n均 x-L為實(shí)數(shù)，方程的根為非負(fù)數(shù).求k的取值范圍；當(dāng)方程有兩個(gè)整數(shù)根、x2, k為整數(shù)，且k=m+2, n=1時(shí)，求方程的整數(shù)根；(3 )當(dāng)方千呈有兩個(gè)實(shí)數(shù)*根xx:滿足x( x 一k)+x( x - k)= ( x- k)(x -k) 日k為負(fù) 整W /J 4土FJ I AVI K 4、入2，彳州 Ml 41av /丁入？x? a, / tx】/v / tx?a

4、, / ， JzL n,八時(shí)，試判斷|m|W2是否成立？請(qǐng)說明理由.如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2,那么x1+x2=-p, x1-x2=q.請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題:已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0 (n/0)，求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；已知 a、b 滿足 a2-15a-5=0, b2 - 15b - 5=0，求 a+b 的值；已知a、 b、c均為實(shí)數(shù)，且a+b+c=0, abc=16，求正數(shù)c的最小值.通過對(duì)蘇科版九(上)教材一道習(xí)題的探索研究，“在一次聚會(huì)中，有45個(gè)人，每兩個(gè)參加聚會(huì) 的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”對(duì)這個(gè)問

5、題，我們可以作這樣的假設(shè)：第1個(gè)學(xué)生分別與其他44個(gè)學(xué)生握手，可握44次手；第2個(gè)學(xué) 生也分別與其他44個(gè)學(xué)生握手，可握44次手；依此類推，第45個(gè)學(xué)生與其他44個(gè)學(xué)生握手，可握 44次手，如此共有45X44次握手，顯然此時(shí)每兩人之間都按握了兩次手進(jìn)行計(jì)算的.因此，按照題意，陰X 4445個(gè)人每兩人之間握一次手共握了也;坦=990次手.像這樣解決問題的方法我們不妨稱它為“握手 解法”. 若本次聚會(huì)共有n個(gè)人，每兩個(gè)參加聚會(huì)的人都互相握了一次手，一共握 次手.請(qǐng)靈活運(yùn) 用這一知識(shí)解決下列問題.一個(gè)QQ群中有若干好友，每個(gè)好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條信息，這樣共有756條信 息，這個(gè)QQ群中

6、共有多少個(gè)好友？已知一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有幾條線段？利用(3)的結(jié)論解決問題：已知由邊長為1的正方形拼成如圖所示的矩形A8CD,圖中共有多 少個(gè)矩形？多少個(gè)正方形？【要點(diǎn)梳理】一、一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：運(yùn)用判別式，判定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)利用判別式建立等式、不等式,求方程中參數(shù)值或取值范圍通過判別式,證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題借助判別式,解決最值問題 二、根與系數(shù)的關(guān)系X, x2是一元二次方程ax2+x+c=0 (a/0)的兩根時(shí)， 反過來也成立，即旦=-(孔+揚(yáng))，三=XX2.若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：,揚(yáng)是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，X+x

7、2=-p, 1產(chǎn)2=0，反過 來可得p=-(X+x2), q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系 數(shù).若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：, _ b _art bX+X2= , XX2, .常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：號(hào).不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未 知數(shù)不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等.判斷兩根的符號(hào).求作新方程.由 給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí) 還要考慮a0,A0這兩個(gè)前提條件.c 一一 0 =兩根同號(hào) ac-

8、一一一 0 =兩根異號(hào) a且 0, a且 0,a且 x2，且2x1+x2=7，則 m的值是多少？ 【難度】求 X，x2【變式3】已知x1, x2是關(guān)于x的方程(x-2)(x-m) = (p - 2)(p - m)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 的值.(用p, m表示)【難度】類型四、利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造、，一St + 41 ,【例題4】設(shè)實(shí)數(shù)s，t分別滿足19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0，并且 gl,求的值.t【難度】【變式1】已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab -a2-b2，求t的取值范圍.【難度】f a+b=E【變式2】已知a、b、c三數(shù)滿足方程組p，則方程bx2+cx

9、-a=0的根是Hb-c +8V2c=4S【難度】【變式3】閱讀下列范例，按要求解答問題.例：已知實(shí)數(shù) a、b、c 滿足 a+b+2c=1, a2+b2+6c-=0,求 a、b、c 的值.解法 1：由已知得 a+b=1 - 2c，（a+b） 2 - 2ab+6c-=0.將代入，整理得4c2+2c-2abT=0.ab=2c2+cm 24由、可知，a、b是關(guān)于t的方程t2-（1-2c） t+2c2+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.4.= （1 - 2c） 2-4 （2c2+cn0，即（c+1） 2W0.而（c+1） 2巳0，.+/=0，c=- 1，4將 c=- 1 代入，得 t2 - 3，=0.”1=，2=3，

10、即 a=b=3：.a=b, c=T. TOC o 1-5 h z 1 -9r1 -9r解法 2：a+b+2c=1,.a+b=1 - 2c、設(shè) a= ； +t, b= ； - t.JJ33,.，a2+b2+6c-=0,.(a+b) 2 - 2ab+6c+萬=0.將代入，得(1-2c) 2-2(-t)+6c=0.*3, c=-1.整理，得 t2+ (c2+2c+1) =0,即 t2+ (c+1) 2=0. t=0, c=- 1. 將t、c的值同時(shí)代入，得a與，則x、y是關(guān)于t的一元以上解法1是構(gòu)造一元二次方程解決問題.若兩實(shí)數(shù)X、j滿足x+y=m, xy=n, 二次方程t2 - mt+n=0的兩個(gè)

11、實(shí)數(shù)根，然后利用判別式求解.以上解法2是采用均值換元解決問題.若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m，則可設(shè)x=?+t，y號(hào)-t些問題根 據(jù)條件，若合理運(yùn)用這種換元技巧，則能使問題順利解決.下面給出兩個(gè)問題，解答其中任意一題：用另一種方法解答范例中的問題.選用范例中的一種方法解答下列問題：已知實(shí)數(shù) a、b、c 滿足 a+b+c=6, a2+b2+c2=12,求證：a=b=c.【難度】【課堂檢測(cè)】試確定，是否存在實(shí)數(shù)奴 使關(guān)于x的二次方程9x2 -(4k -7)x-6k2 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根氣,x2,且滿足x 3 T = 一 .x 2【難度】【課程回顧】1、本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)點(diǎn)？2、你對(duì)本節(jié)課所復(fù)習(xí)的

12、知識(shí)又有了哪些新的認(rèn)識(shí)?【課后作業(yè)】1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+4k2 - 3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是, x2，且滿足x1+x2=x1,x2，則k的值 為.2.一元二次方程x2 - 2x - 4=0和x2 - x+2=0所有實(shí)數(shù)根的乘積等于已知實(shí)數(shù)a, b分別滿足a2-6a+4=0, b2 - 6b+4=0，且ab,貝旦+的值是,a b瓦一1?+匚二7已知實(shí)數(shù) a, b, c 滿足：*n ,U(aT - b-1) abc (a+b+c) a+b+c 的值為qb+b c-Fb-F cz+16=05 .已知a、b是方程x2 - 2x - 1=0的兩個(gè)根，則a2+a+3b的值是已知關(guān)于 x

13、的方程 x2+2 (a - 1) x+a2 - 7a - 4=0 的兩根為 x1 x2，且滿足 x1x2 - 3x1 - 3x2 - 2=0.則 (1T).世的值是.a-4 a已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - 2kx+k2+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.第11頁/ 共13試求k的取值范圍； 若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根七、x2，滿足二-2，試求k的值.1 2 U 秘已知, X2是方程x2 - 2x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且X+2x2=3 - 2.求x1，x2及a的值；求呵3 - 3X2+2X+x2 的值.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是X和x2.求k的取值范圍；如果x1+x2 - x1x2

14、- 1且k為整數(shù)，求k的值.已知方程2x2 - 3x - 3=0的兩個(gè)根分別為a, b,利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程，使它 的兩個(gè)根分別是a+1，b+1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1) x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.是否存在實(shí)數(shù)k使得x1x2 - x12 - x22= - 7成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.已知關(guān)于x的一兀一次方程X2+ (m+3) x+m+1-0.求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若X、x2是原方程的兩根，且| x1 - x21-2，求m的值.下面是小紅同學(xué)做的一道練習(xí)題：已知關(guān)于了的方程x2+mx+-0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m, ，求m, n的