五年級數(shù)學時鐘相遇與追及問題

1、時鐘追及與相遇問題知識框架時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追及或相遇問題，不過這里的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針。我們通常把研究時鐘上時針和分針的問題稱為時鐘問題，其中包括時鐘的快慢，時鐘的周期，時鐘上時針與分針所成的角度等等。時鐘問題有別于其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小時，而是2個指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。對于正常的時鐘，具體為：整個鐘面為360度，上面有12個大格，每個大格為30度；60個小格，每個小格為6度。分針速度：每分鐘走1小格，每分鐘走6度時針速度：每分鐘走A小格，每分鐘走0.5度12注意：但是在許多

2、時鐘問題中，往往我們會遇到各種“怪鐘”，或者是“壞了的鐘”，它們的時針和分針每分鐘走的度數(shù)會與常規(guī)的時鐘不同，這就需要我們要學會對不同的問題進行獨立的分析。要把時鐘問題當做行程問題來看，分針快，時針慢，所以分針與時針的問題，就是他們之間的追及問題。另外，在解時鐘的快慢問題中，要學會十字交叉法。例如：時鐘問題需要記住標準的鐘，時針與分針從一次重合到下一次重合，所需時間為65-1分。例題精講【例1】當時鐘表示1點45分時，時針和分針所成的鈍角是多少度？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】142.5度【答案】142.5度鞏固】在16點16分這個時刻，鐘表盤面上時針和分針的夾角是度.

3、【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】填空解析】16點的時候夾角為120度，每分鐘，分針轉(zhuǎn)6度，時針轉(zhuǎn)0.5度，16：16的時候夾角為120-6X16+0.5X16=32度.答案】32度【例2】在一段時間里，時針、分鐘、秒針轉(zhuǎn)動的圈數(shù)之和恰好是1466圈，那么這段時間有秒。五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page1of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page #of9五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page of9【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】解：它們的速度比為1:12:720,所以秒針轉(zhuǎn)了1466一(720+12+1)X720=1440圈

4、即1440X60=86400秒【答案】86400秒.【鞏固】在一段時間里，時針、分鐘、秒針正好走了3665小格，那么這段時間有秒?！究键c】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】解：它們的速度比為1:12:720,所以秒針轉(zhuǎn)了3665一(720+12+1)X720=3600小格即3600秒【答案】3600秒.【例3】有一座時鐘現(xiàn)在顯示10時整.那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘,分針與時針第二次重合?【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page of9五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page of9【解析】

5、在10點時，時針所在位置為刻度10,分針所在位置為刻度12；當兩針重合時，分針必須追上50116個小刻度，設分針速度為“I”有時針速度為“石”，于是需要時間：50(1-)，54.所1212116以，再過54分鐘，時針與分針將第一次重合.第二次重合時顯然為12點整，所以再經(jīng)過11(12-10)x60-54，65分鐘，時針與分針第二次重合.標準的時鐘，每隔65?分鐘，時111111針與分針重合一次.我們來熟悉一下常見鐘表(機械)的構(gòu)成：一般時鐘的表盤大刻度有12個，即為小時數(shù)；小刻度有60個，即為分鐘數(shù).所以時針一圈需要12小時，分針一圈需要60分鐘(1小時)，時針的速度為分針速度的.如果設分針的

6、速度為單位“丨”那么時針的速度為“”1212【答案】54161分鐘11【鞏固】鐘表的時針與分針在4點多少分第一次重合?【題型】解答【考點】行程問題之時鐘問題【解析】此題屬于追及問題，追及路程是20格，速度差是1-丄，所以追及時間是：20，21?12121211分）?！敬鸢浮?1-9-分11例4】鐘表的時針與分針在8點多少分第一次垂直？題型】解答【考點】行程問題之時鐘問題【難度】解析】此題屬于追及問題，但是追及路程是440-15=25格（由原來的40格變?yōu)?5格），速度差是1-丄二，所以追及時間是：25,=27-（分）12121211答案】327ii分鞏固】2點鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成

7、直角？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答解析】根據(jù)題意可知，2點時，時針與分針成60度，第一次垂直需要90度，即分針追了90+60=150（度）3150,（6-0.5）二27（分）答案】例5】時鐘的時針和分針在6點鐘反向成一直線，問：它們下次反向成直線是在什么時間?（準確到秒）【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答解析】時針、分針下一次反向成一直線是在7點以后，這時分針應比時針多走鐘面上5格，分針每分鐘走1格，時針每分鐘走丄格.125一（1丄）=60=5丄,X60=27。12111111即在7點5分27秒，時針、分針再次反向成一直線。答案】7點5分27秒鞏固】時鐘的時針和分

8、針在9點多反向成一直線，問：下次反向成直線經(jīng)過了多長時間?【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答7205【解析】分針追了360（度）360,（6-0.5）二二65盲（分）1111【答案】65春【例6】現(xiàn)在是10點，再過多長時間，時針與分針將第一次在一條直線上?【題型】解答【考點】行程問題之時鐘問題【解析】時針的速度是3601260=0.5（度/分），分針的速度是360一60二6（度/分），即分針與時針的速度差是6-0.5=5.5（度/分），10點時，分針與時針的夾角是60度，第一次在一條直線時，分針與時針的夾角是180度，即分針與時針從60度到180度經(jīng)過的時間為所求。，所以答案為9（

9、18060）十5.5，21（分）【答案】【鞏固】在9點與10點之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上？五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page #of9五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page #of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page #of9五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page of9【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，9點時，時針與分針成90度，第一次在一條直線上需要分針追90度，第二次在4190十（60.5），16270十（60.5），49一條直線上需要分針追270度，答案為11（分）和11（分）1【答案】4

10、9分11【例7】晚上8點剛過，不一會小華開始做作業(yè)，一看鐘，時針與分針正好成一條直線。做完作業(yè)再看鐘,還不到9點，而且分針與時針恰好重合。小華做作業(yè)用了多長時間？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答8【解析】根據(jù)題意可知，從在一條直線上追到重合，需要分針追180度，180十（6-0.5），32（分）【答案】【鞏固】小紅上午8點多鐘開始做作業(yè)時，時針與分針正好重合在一起。10點多鐘做完時，時針與分針正好又重合在一起。小紅做作業(yè)用了多長時間？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Pa

11、ge #of9（分）10點多鐘時，時針和分針重【解析】8點多鐘時，時針和分針重合的時刻為：40，1-12丿合的時刻為：50，1-丄（1254ii（分）10時分-8時4311分2時分小紅做作五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page #of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page #of9五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page of910業(yè)用了2時10訂分時間10【答案】210訂【例8】某人下午六時多外出買東西，出門時看手表，發(fā)現(xiàn)表的時針和分針的夾角為110。，七時前回家時又看手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角仍是11

12、00.那么此人外出多少分鐘？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】如下示意圖，開始分針在時針左邊1100位置，后來追至時針右邊1100位置.2202201于是，分針追上了11Oo+11Oo=22Oo，對應格.所需時間為，（1-）40分鐘.所以此6612人外出40分鐘.評注：通過上面的例子，看到有時是將格數(shù)除以（1+-2-），有時是將格數(shù)除以（1-2），這是因丄厶丄厶為有時格數(shù)是時針、分針共同走過的，對應速度和；有時格數(shù)是分針追上時針的，對應速度差.對于這個問題，大家還可以將題改為：“在9點多鐘出去，9點多鐘回來，兩次的夾角都是110。”，答案還是40分鐘.【答案】40分鐘【鞏固

13、】某人下午六時多外出買東西，出門時看手表，發(fā)現(xiàn)表的時針和分針的夾角為80。，七時前回家時又看手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角仍是800.那么此人外出多少分鐘？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】如下示意圖，開始分針在時針左邊800位置，后來追至時針右邊80。位置.32011于是，分針追上了1600.所需時間為160,（6-0.5）29分鐘.所以此人外出29分111111鐘.【答案】29分鐘例9】一部動畫片放映的時間不足1時，小明發(fā)現(xiàn)結(jié)束時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。這部動畫片放映了多長時間？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答解析】根據(jù)題

14、意可知，時針恰好走到分針的位置，分針恰好走到時針的位置，它們一共走了一圈，即360(6+0.5)，55(分)13答案】鞏固】一部電影放映的時間大約2小時，小明發(fā)現(xiàn)結(jié)束時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。這部動畫片放映了多長時間？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答解析】根據(jù)題意可知，時針恰好走到分針的位置，分針恰好走到時針的位置，它們一共走了兩圈，即720(6+0.5)，11010(分)13【答案】110善分13例10】8時到9時之間時針和分針在“8”的兩邊，并且兩針所形成的射線到“8”的距離相等問這時是8時多少分?考點】行程問題之時鐘問題【難度】題型】解

15、答【解析】8點整的時候，時針較分針順時針方向多40格，設在滿足題意時，時針走過x格，那么分針走過40-x格，所以時針、分針共走過x+(40-x)二40格.于是，所需時間為40(1+丄)，36分鐘,1213即在8點36分鐘為題中所求時刻.13【答案】8點36”分13鞏固】3時到4時之間時針和分針在“3”的兩邊，并且兩針所形成的射線到“3”的距離相等問這時是3時多少分?【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】3點整的時候，時針與分針夾角90度，設在滿足題意時，時針走過x度，那么分針走過90-x度，所以時針、分針共走過x+（90-x）=90度.于是，所需時間為90（6+0.5），180

16、13，13昔分鐘,即在8點1311分鐘為題中所求時刻.13【答案】8點13霜分13課堂檢測【隨練1】現(xiàn)在是3點，什么時候時針與分針第一次重合?【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，3點時，時針與分針成90度，第一次重合需要分針追90度，90（6-0.5），16411（分）【答案】16-分11【隨練2】時鐘的時針和分針在1點多反向成一直線，問：下一次反向成一直線經(jīng)過了多長時間？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答7205【解析】分針追了360（度），360（6-0.5），二65石（分）1111【答案】畤【隨練3】小紅在9點與10點之間開始解一道數(shù)學題，當時

17、時針和分針正好成一條直線，當小紅解完這道題時，時針和分針剛好第一次重合，小紅解這道題用了多少時間?【考點】行程問題之時鐘問題【題型】解答【解析】9點和10點之間分針和時針在一條直線上的時刻為：151-丄，16亠k12丿一4（分），時針與分針第一次重合的時刻為：451-丄I12丿，49（分），所以這道題目所用的時間為：4911春二32H分)【答案】唏分隨練4】1時到2時之間時針和分針在“1”的兩邊，并且兩針所形成的射線到“1”的距離相等問這時是1時多少分?【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】1點整的時候，時針與分針夾角30度，設在滿足題意時，時針走過x度，那么分針走過30-x度

18、,所以時針、分針共走過x+(30-x)=30度.于是，所需時間為30,(6+0.5)=13=4善分鐘，即在8點4813分鐘為題中所求時刻.【答案】8點4倉分13【作業(yè)1】當時鐘表示12點30分時，時針和分針所成的鈍角是多少度？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【解析】165度【答案】165度題型】解答作業(yè)2】上午9點多鐘，當鐘表的時針和分針重合時，鐘表表示的時間是9點幾分？考點】行程問題之時鐘問題題型】解答【解析】時針與分針第一次重合的經(jīng)過的時間為：45,(1-丄k12丿=49(分)，當鐘表的時針和分針重合時，鐘表表示的時間是9點49+分。11【答案】49分11作業(yè)3】6點鐘以后，什么時刻分針

19、與時針第一次成直角？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，6點時，時針與分針成180度，第一次垂直需要90度，即分針追了180-90=90（度）,90(6-0.5)，180，16(分)1111【答案】16害11【作業(yè)4】某人下午六時多外出買東西，出門時看手表，發(fā)現(xiàn)表的時針和分針的夾角為50,七時前回家時又看手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角仍是55。.那么此人外出多少分鐘？【考點】行程問題之時鐘問題【難度】【題型】解答【解析】開始分針在時針左邊550位置，后來追至時針右邊550位置.于是，分針追上了1100.所需時間為110（6-0.5），20分鐘.所以此人外出20分鐘.【答案】20分鐘【作業(yè)5】在10點與11點之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上?五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page #of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page #of9五年級奧數(shù).行程.時鐘追及與相遇問題.教師版Page #of9五年級奧數(shù)行程時鐘追及與相遇問題教師版Page #of9【考點】行程問題之時