《固體物理》第三章晶格振動與晶體熱力學(xué)性質(zhì)課件

1、第三章 晶格振動與晶體熱力學(xué)性質(zhì)第一節(jié) 一維晶格的振動3.1.1 一維單原子鏈的振動3.1.2 一維雙原子鏈(復(fù)式格子)的振動本節(jié)主要內(nèi)容:3.1 一維晶格的振動3.1.1 一維單原子鏈的振動1. 振動方程及其解 (1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 用xn和xk分別表示序號為n和k的原子在t時刻偏離平衡位置的位移，用xnk= xn-xk表示在t時刻第n個和第k個原子的相對位移。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子a

2、Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2(2)振動方程和解平衡時，第k個原子與第n個原子相距 為兩個原子間的互作用勢能，平衡時為 ，t時刻為nkx 第 n個與第 k個原子間的相互作用力: 振動很微弱時，勢能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項，只保留到(r)2項-簡諧近似。(忽略掉作用力中非線性項的近似-簡諧近似。)得:彈性恢復(fù)力系數(shù)原子的振動方程:令只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等：根據(jù)波恩-卡門周期性邊界條件給出試探解： 原子都以同一頻率，同一振幅A振動，相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個原子間的振動相互間都存在著固定的位相關(guān)系，即原子的振動形成了波，這種波稱為格波。色散

3、關(guān)系(晶格振動譜) 將試探解代入振動方程得振動頻率:如何推導(dǎo)呢？給出試探解:由色散關(guān)系式可畫圖如下:2.色散關(guān)系是波矢q的周期性函數(shù),且(-q)= (q)。0m且故取簡約布里淵區(qū)且3. 玻恩-卡門周期性邊界條件及波矢q的取值 (1)玻恩-卡門周期性邊界條件 設(shè)在實際晶體外，仍然有無限多個完全相同的晶體相連接，各晶體中相對應(yīng)的原子的運(yùn)動情況都一樣。 晶體中任一個原子，當(dāng)其原胞下標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個數(shù) ）后，其振動情況復(fù)原。由N個原胞組成的單原子鏈，由玻恩-卡門周期性邊界條件:對于一維布喇菲晶格(原胞下標(biāo)數(shù)與原子下標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值因為波矢 也只能取N個不同的值。(共N個

4、值)晶格振動波矢只能取分離的值波矢的數(shù)目(個數(shù))=晶體原胞的數(shù)目4. 長波極限:所以因為所以由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度： 在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。 例1.求由5個原子組成的一維單原子晶格的振動頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為(只考慮近鄰原子間的相互作用)。由玻恩-卡門周期性邊界條件:解:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:將試探解代入振動方程得色散關(guān)系:S為整數(shù)模型運(yùn)動方程 試探解色散關(guān)系波矢q范圍一維無限長原子鏈，m，a，晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B-K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm3.1.2 一維雙原子鏈(復(fù)式格)的振動1. 運(yùn)動方程和解

5、 (1) 模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且mM。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a )2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號為2n-2 、2n、2n+2、質(zhì)量為m的原子編號為2n-1 、2n+1、2n+3、x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解其他原子位移可按下列原則得出:(1)同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一個晶格常數(shù)2a的同種原子，相位差為2aq。2.色散關(guān)系上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程；若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:如何

6、推導(dǎo)？ 0(+)-光學(xué)支格波， A(-)-聲學(xué)支格波 (1)色散曲線折合質(zhì)量由玻恩-卡門邊界條件，設(shè)晶體有N個原胞，則：(2)波矢q的取值(共有N個值)一維雙原子鏈，每個原胞有兩個原子，晶體的自由度數(shù)是2N。 由N個原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動模式)數(shù)目為2N。，s為整數(shù)晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞個數(shù)晶格振動頻率(振動模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù)3.聲學(xué)波和光學(xué)波在長波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似。(1)當(dāng)波矢q 0時,如何推導(dǎo)？(2)相鄰原子的振幅之比對于聲學(xué)支格波: 聲學(xué)支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動的。 長聲學(xué)波，相鄰

7、原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動。因此，可以說，長聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的運(yùn)動。對于光學(xué)波: 光學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相反的。 長光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動。所以定性地說，長光學(xué)波代表原胞中兩個原子的相對振動。 光學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相反的。 聲學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相同的。 可以證明，q=/2a時，在聲學(xué)支格波上，質(zhì)量為m的輕原子保持不動；在光學(xué)支格波上，質(zhì)量為M的重原子保持不動。 例2:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且mM ?？康妮^近的兩個原子構(gòu)成一個分子。設(shè)一個分子內(nèi)兩原子平衡位置的距離為b，恢復(fù)力系數(shù)為1，分子間兩原子間的恢復(fù)力系數(shù)為

8、2，晶格常量為a(如圖所示)，求色散關(guān)系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb12解:只考慮最近鄰原子間的相互作用，將試探解代入方程得:據(jù)玻恩-卡門周期性邊界條件，可以確定波矢q的取值。 0(+)-光學(xué)支格波， A(-)-聲學(xué)支格波 q可取N個值。第二節(jié) 三維晶格的振動本節(jié)主要內(nèi)容:3.2.1 色散關(guān)系3.2.2 波矢q的取值和范圍模型運(yùn)動方程 試探解色散關(guān)系波矢q范圍B-K條件波矢q取值一維問題的處理步驟:2n-22n2n+12n+22n-1Mma晶格振動的波矢數(shù)目 =晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)，格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)。一維單原子鏈，設(shè)晶體有N個原胞。

9、原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=11支格波晶體的自由度數(shù)=N頻率數(shù)為N一維雙原子鏈，設(shè)晶體有N個原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=22支格波晶體的自由度數(shù)=2N頻率數(shù)為2N本節(jié)討論三維晶格振動，得到晶格振動的基本特征和一些普遍的結(jié)論。一、運(yùn)動方程及其解設(shè)晶體原胞的基矢為a1、a2、a3；沿基矢方向晶體各有N1、N2、N3個原胞，即晶體一共有NN1N2N3個原胞；每個原胞內(nèi)有n個原子，質(zhì)量為第l個原胞第p個原子的平衡點位置矢量為：是原胞頂點的位置矢量；是原胞內(nèi)第p個原子的相對坐標(biāo)。Rl每個原胞中，n個不同原子平衡位置的相對坐標(biāo)為該原子相對于平衡點的位移為它沿坐標(biāo)軸的分量為第p個原子在方向的運(yùn)動方程為把一維晶格動

10、力學(xué)方程的試解加以推廣，設(shè)三維晶格行波試解為：（ ）將試解代入運(yùn)動方程，可得到3n個線性齊次聯(lián)立方程（由于晶格的平移對稱性，使得3nN個聯(lián)立方方程組減少到3n個）：使有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。由此可得到3n個色散關(guān)系每個色散關(guān)系代表一支格波，共有3n支格波。格波的色散關(guān)系中，有3支當(dāng)另外，3n-3支是描述原胞內(nèi)各個原子之間的相對運(yùn)動，稱為光學(xué)支。 這三支稱為聲頻波，它們是描述原胞與原胞之間的相對運(yùn)動，其色散關(guān)系在長波近似下與彈性波類似，稱為聲學(xué)支；二、周期性邊界條件確定模式數(shù)目根據(jù)波恩卡門邊界條件的限制或?qū)懗捎缮鲜降眠吔鐥l件表示，沿著方向，原胞的標(biāo)數(shù)增加振動情況相同。即也就是說因此，波

11、矢q具有倒格矢的量綱，因此，容易得出：h1,h2,h3為整數(shù)b1,b2,b3是倒格基矢。三維格波的波矢也不是連續(xù)的，其中b1/N1、 b2/N2、 b3/N3是波矢的基矢，波矢的點陣具有周期性?？梢宰C明，若是倒格矢，則不變。因此q的取值可限制在一個倒格原胞范圍內(nèi)，即第一布里淵區(qū)之內(nèi)。波矢點陣最小的重復(fù)單元的體積為一個重復(fù)單元對應(yīng)一個波矢點，波矢空間單位體積內(nèi)的波矢數(shù)目，即波矢密度為因此，在一個布里淵區(qū)內(nèi)，波矢可取的數(shù)目為對每一個波矢q，有3n個與之對應(yīng)，每一組表示晶格的一種振動模式，由此可知三維晶體中振動模式數(shù)目為3nN個。對于有N個原胞的三維晶體，每個原胞有n個原子，每個原子有3個自由度，所

12、以晶體的總自由度數(shù)也是3nN。波矢q增加一個倒格矢，原子的位移保持不變。第一布里淵區(qū)。晶格振動的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)N；格波振動模式數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和3nN 。 概括起來，我們得到以下結(jié)論： 例2：金剛石結(jié)構(gòu)有幾支格波?幾支聲學(xué)波?幾支光學(xué)波?設(shè)晶體有N個原胞，晶格振動模式數(shù)為多少?答:金剛石結(jié)構(gòu)為復(fù)式格子,每個原胞有2個原子。有6支格波，3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波。振動模式數(shù)為6N。晶格振動的波矢數(shù)目 =晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)mNn，晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)mn。第三節(jié) 簡正振動 聲子本節(jié)主要內(nèi)容:3.3.1 簡正振動3.3.2 聲子

13、理論考慮：前面我們根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動方程的方法，求解一維鏈的振動模，得出如下結(jié)論：晶體中原子的集體振動-格波，可展開成簡諧平面波的線性迭加。對微弱振動（簡諧近似），每個格波就是一個簡諧波，格波之間的相互作用可忽略，形成獨立格波模式。在玻恩-卡門周期性邊界條件下，得到分立的獨立格波模式，可用獨立簡諧振子來表述。 下面我們根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡正坐標(biāo)，直接過渡到量子理論，并引入聲子概念晶格振動中的簡諧振子的能量量子。一、簡諧近似和簡正坐標(biāo)數(shù)學(xué)處理：通過引入簡正坐標(biāo)，將晶格振動總能量（哈密頓量）=動能 + 勢能（化成）=獨立簡諧振子能量之和 從經(jīng)典力學(xué)的觀點，晶格振動是一個典型的小振動問題，

14、凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時，該力學(xué)體系的運(yùn)動都是小振動。上一節(jié)關(guān)于晶格的運(yùn)動方程之所以能夠化成線性齊次方程組，是簡諧近似的結(jié)果，即忽略原子相互作用的非線性項得到的。處理小振動問題的理論方法和主要結(jié)果做為晶格振動這部分內(nèi)容的理論基礎(chǔ)。在第二章我們已經(jīng)討論過，當(dāng)原子處于平衡位置時，原子間的相互作用勢能取最小值。相互作用勢能是原子偏離平衡位置位移的函數(shù)。N個原子的位移矢量共有3N個分量，寫成原子相互作用勢能是這些位移分量的函數(shù)，即將在平衡位置展開成泰勒級數(shù)因在平衡位置勢能取極小值，所以上式右端第二項為零，若取U0為能量零點，并略去二次以上的高次項，得到上式即為簡諧近似下，勢能的表示式，包含

15、了位移交叉項。處理小振動問題一般都取簡諧近似。對于一個具體的物理問題是否可以采用簡諧近似，要看在簡諧近似條件下得到的理論結(jié)果是否與實驗相一致。在有些物理問題中就需要考慮高階項的作用，稱為非諧作用。為了消去勢能中的交叉項，使問題簡化，引入簡正坐標(biāo)N個原子體系的動能函數(shù)為簡正坐標(biāo)與原子的位移坐標(biāo)之間的正交變換關(guān)系：在簡正坐標(biāo)中，勢能和動能化成由上式可得出正則動量振動系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：于是系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)化成將上式代入正則方程得到 這是3N個相互無關(guān)的諧振子的運(yùn)動方程，表明各簡正坐標(biāo)描述獨立的簡正振動。借助簡正坐標(biāo)，將N個相互耦合關(guān)聯(lián)的原子組成的晶格的振動轉(zhuǎn)化為3N個獨立的諧振子的簡諧振動。其中

16、，任意簡正坐標(biāo)的解為：振動的圓頻率原子的位移坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)間存在著正交變換關(guān)系：上式表明，每一個原子都以相同的頻率作振動。當(dāng)只考慮某一個Qj的振動時，位移坐標(biāo)可表示為 一個簡正振動與位移坐標(biāo)不同，不再只和個別原子相聯(lián)系，而是表示整個晶體所有原子都參與的振動，而且它們振動頻率相同。二、一維簡單晶格說明二個問題：（1）簡正坐標(biāo)的引入前面根據(jù)牛頓定理得到的原子運(yùn)動方程的試解為晶格振動等價于N個諧振子的振動，諧振子的振動頻率就是晶格的振動頻率；根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動方程的方法，求鏈的振動模，與根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡正坐標(biāo)是等效的。表示第q個格波引起第n個原子的位移，而第n個原子的總位移應(yīng)為所有格波

17、引起的位移的疊加在簡諧近似和最近鄰近似下，一維單原子晶格的振動總能量為勢能項勢能項中出現(xiàn)了交叉項，為了消去勢能中的交叉項，可以把原子總位移的表達(dá)式變換一下形式，令：則代入將上式與簡正坐標(biāo)和原子位移坐標(biāo)的定義關(guān)系式進(jìn)行比較可得：如果Q(q)是簡正坐標(biāo)，那么它表示了格波的振幅，而線性變換系數(shù)為Q(q)是否就是簡正坐標(biāo)，需要證明經(jīng)過上面的變換后，動能和勢能都具有平方和的形式。為了證明這一點，需要利用以下兩個關(guān)系式：第一個關(guān)系式可以從原子位移為實數(shù)的條件得到，因為也可以寫成因為原子位移un為實數(shù)，所以比較上面兩式，可得把（1）式兩端取共軛（1）第二個關(guān)系式，實際就是線性變換系數(shù)的正交條件當(dāng)qq時，當(dāng)q

18、=q時，顯然成立。s為整數(shù)，故有利用上述證明的兩個關(guān)系式，我們可化簡系統(tǒng)動能和勢能的表達(dá)式。利用等比級數(shù)前n項求和公式晶格動能：當(dāng)時有同理可求出晶格勢能：其中是一維簡單格子的色散關(guān)系。這樣可以寫出晶格振動總能量如下：至此，晶格的動能和勢能都化成了平方和的形式，這說明Q(q)確實是系統(tǒng)的簡正坐標(biāo)。引入簡正坐標(biāo)以后：晶格振動的總能量可以表示為N個獨立簡諧振子的能量之和。這里所引入的線性變換可與量子力學(xué)中的表象變換類比考慮:實際坐標(biāo)空間的N個相互作用的原子體系的微振動和簡正坐標(biāo)所構(gòu)成的態(tài)空間中N個獨立諧振子等效三、聲子根據(jù)量子力學(xué)對諧振子的處理，頻率為q的諧振子的能量本征值是所以晶格的總能量上述結(jié)論

19、可直接推廣到三維情況，三維晶格的振動總能量為引入聲子的概念：由于格波的能量是以為單位量子化的，通常把這個能量量子稱為聲子。聲子是玻色子： 聲子既具有能量又具有動量，即具有粒子的屬性，所以我們可以把聲子看成是一種“準(zhǔn)粒子”。由于同種聲子（和q都相同的聲子）之間不可區(qū)分而且自旋為零，聲子是玻色子。平均聲子數(shù)：由于對每個聲子能級，聲子的占據(jù)數(shù)沒有限制，聲子遵從玻色統(tǒng)計，對能級的平均占據(jù)數(shù)由普朗克公式給出：聲子的準(zhǔn)動量聲子不僅是一個能量子，它還具有“動量”。波矢q的方向代表格波的傳播方向，引入聲子概念后它就是聲子的波矢，其方向代表聲子的運(yùn)動方向，類似光子，稱為聲子的準(zhǔn)動量。引入聲子概念后，給處理有關(guān)晶

20、格振動問題帶來極大方便：（1）簡諧近似下晶格振動的熱力學(xué)問題就可看做由3nN種不同聲子組成的理想氣體系統(tǒng)處理，如果考慮非諧效應(yīng)，可看成有相互作用的聲子氣體。（2）光子、電子、中子等與晶格振動相互作用，就可看成是光子、電子、中子等與聲子的碰撞作用，這樣就使得問題的處理大大簡化。（3）元激發(fā)：聲子反映的是晶格原子集體運(yùn)動狀態(tài)的激發(fā)單元，固體中微觀粒子在特定相互作用下產(chǎn)生的集體運(yùn)動狀態(tài)的激發(fā)單元常稱為元激發(fā)。相互作用性質(zhì)不同，對應(yīng)不同的元激發(fā)，但處理這些元激發(fā)的理論方法是相類似的。第四節(jié) 晶格振動譜的實驗測定方法3.4.1 光子散射本節(jié)主要內(nèi)容:3.4.2 中子散射 除了少數(shù)幾個極簡單模型，其晶格振

21、動譜可以從理論上導(dǎo)出外，絕大部分實際晶體的晶格振動譜需要實驗測定。一、定義：晶格振動譜就是格波的色散關(guān)系（q），也稱聲子譜。 實驗測定（q）:粒子與晶格振動的非彈性散射中子、光子等與聲子的碰撞。當(dāng)中子、光子入射到晶體，可以和晶格振動交換能量，總是以 為單元交換能量。使諧振子從一個激發(fā)態(tài)躍遷到另一個激發(fā)態(tài)。用聲子概念說，就是產(chǎn)生或者消滅了一個聲子，發(fā)射或吸收一個聲子。晶格振動譜的實驗測定方法，主要有兩類： 光子散射方法，中子散射方法。二、光子散射設(shè)入射光子的頻率為，波矢為k，與頻率為、波矢為q的聲子碰撞后，光子的頻率和波矢分別變成碰撞過程中，能量守恒和準(zhǔn)動量守恒。兩種過程： 吸收聲子過程：以上四

22、式可化成以下兩式產(chǎn)生（又稱發(fā)射）聲子過程：當(dāng)入射光的頻率及波矢k一定，在不同方向(k的方向)測出散射光的頻率，由與的差值求出聲子頻率，由k與k的方向及大小求出聲子波矢q的大小及方向，即可求出晶格振動頻譜。實驗方法：測定長聲學(xué)格波的部分頻譜，實驗還可進(jìn)一步簡化:光被長聲學(xué)波的散射稱為布里淵散射。由于長聲學(xué)波的能量非常小， q 0（不會超出第一布里淵區(qū)），因此，散射光的頻率和波矢的改變非常小，可以近似認(rèn)為即右圖中三角形近似為等腰三角形，聲子波矢的?？捎上率角蟮胟q波矢q的方向由光子入射方向與散射方向決定，即由方向決定。由此即可確定出傳播方向上長聲學(xué)波的頻譜：其中是晶體中的聲速。喇曼散射：光子和長光

23、學(xué)波聲子相互作用，稱這類光子的散射為光子的喇曼散射。由于長光學(xué)波聲子能量較大，其頻率基本與波矢無關(guān)，（可由光學(xué)波的色散關(guān)系曲線非常平緩看出），所以喇曼頻移相當(dāng)大。三、中子散射方法中子與聲子相互作用滿足能量守恒及動量守恒定律。設(shè)中子的質(zhì)量：m，入射中子的動量：P，散射后中子的動量：由散射過程中能量守恒，得由動量守恒，得號對應(yīng)吸收一個聲子的過程，的兩聲子是等價的條件。動量守恒中利用了波矢q與波矢倒逆散射過程或U過程。正常散射過程。號對應(yīng)發(fā)射一個聲子的過程。由（10）式求出波矢的模由（9）式求出頻率，即可確定出某方向上的振動譜對于正常散射過程，由（7）和（8）兩式分別得與的夾角求出波矢的方向由(9)

24、(10)第五節(jié) 長波近似3.5.1 長聲學(xué)波本節(jié)主要內(nèi)容:3.5.2 長光學(xué)波在第二章中,晶體被看作連續(xù)介質(zhì),從經(jīng)典力學(xué)的角度推出了晶格振動的彈性波方程。在3.1中,我們從晶體中每個原子在其平衡位置附近做微振動的觀點（不再是連續(xù)介質(zhì)）,推出晶格振動的聲學(xué)波和光學(xué)波。本節(jié)討論 q 0、，即長聲學(xué)波和長光學(xué)波的情況，并和連續(xù)介質(zhì)結(jié)果作比較。研究長波近似的目的：揭示固體宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì)對長聲學(xué)格波，其長波極限就是彈性波，即彈性波與聲學(xué)波在長波條件下，它們是必然的統(tǒng)一； 晶體出現(xiàn)宏觀極化，是長光學(xué)縱波振動模中離子的相對位移引起。一、長聲學(xué)波在3.1 中，以一維雙原子鏈為例，當(dāng)q很小時，即對于長波極限

25、，得到聲學(xué)波色散關(guān)系為長聲學(xué)波的角頻率與波矢存在線性關(guān)系，而長聲學(xué)波的波速為長聲學(xué)波的波速為一常數(shù)，這些特性與晶體中的彈性波完成一致。：恢復(fù)力常數(shù)，2a：晶格常數(shù)。1、長聲學(xué)波波動方程其試解為：將（4）式代入（3），可得對于長聲學(xué)波，鄰近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集體運(yùn)動，對于一維復(fù)式格子，運(yùn)動方程由下式表示原子的分離坐標(biāo)( 2n+1)a即可得兩種不同原子的振幅比將A/B、B/A和先后代入（5）式得到對于l為有限整數(shù)的情況，由試解（4）式，可得l為奇數(shù)時；l為偶數(shù)時；由色散關(guān)系，可知當(dāng)q0時， 0，由振幅比（7）式，可得：因此當(dāng)l為有限整數(shù)時，不論l為奇數(shù)或偶數(shù)，都有上式說明：在長聲學(xué)

26、波條件下，一維原子鏈不同原子的運(yùn)動方程（8）實際可視為一個方程，它們的一般表達(dá)式：鄰近（在波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同振幅、相同位相集體運(yùn)動。從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離坐標(biāo)可視為連續(xù)坐標(biāo)r，所以有于是，原子的運(yùn)動方程可寫為上式為標(biāo)準(zhǔn)的宏觀彈性波的波動方程，其中是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。如何求？本節(jié)介紹黃昆的長波方法，討論由離子晶體的宏觀特性確定長光學(xué)模頻率。離子晶體的光學(xué)波描述原胞中正負(fù)離子的相對運(yùn)動。它伴隨著極化并與電磁波有強(qiáng)烈的相互作用，并影響長光學(xué)模的頻率，從而對離子晶體的電學(xué)與光學(xué)特性有重要影響。1、離子晶體的宏觀極化方程由于正負(fù)離子相對運(yùn)動，電荷不再均勻分

27、布，出現(xiàn)了以波長為周期的正負(fù)電荷集中的區(qū)域。二、長光學(xué)波模型：設(shè)每個原胞中只有兩個電荷量相等、符號相反的離子。離子晶體的宏觀極化產(chǎn)生一個宏觀極化電場E，作用在某離子上的電場稱為有效電場Eeff,有效電場等于宏觀電場減去該離子本身產(chǎn)生的電場。對立方晶系洛倫茲提出了求解有效電場Eeff的一個方法，由理論分析得到：其中P為宏觀極化強(qiáng)度。正離子向左E離子晶體的極化由兩部分貢獻(xiàn)構(gòu)成：離子位移極化:是正負(fù)離子的相對位移產(chǎn)生的電偶極矩，這種極化稱為離子位移極化，用e*u表示； u為正負(fù)離子的相對位移， e*為離子的有效電荷。電子位移極化:是離子本身的電子云在有效電場作用下發(fā)生畸變，即離子本身也成了電偶極子，

28、這部分的極化為電子位移極化。 宏觀極化強(qiáng)度P由下式表示：代表正負(fù)離子極化率之和。 n0是單位體積中的原胞數(shù)。單位體積中的原胞數(shù)1/ 建立離子晶體原胞中兩離子的相對運(yùn)動方程。 設(shè)u+表示質(zhì)量為M的正離子的位移； u-表示質(zhì)量為m的負(fù)離子的位移。與一維雙原子晶格類似，可分別寫出正、負(fù)離子的運(yùn)動力學(xué)方程。2、長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動方程與一維雙原子晶格所不同之處：由于退極化場的存在，離子還受到一個靜電恢復(fù)力。因此有（3）式和（4）式分別乘以m/(M+m)和M/(M+m)，然后相減得引入相對位移u=u+-u-和折合質(zhì)量=Mm/(M+m)，則上式可寫成為了表述方便，通常引入一個單位體積中相對位移參量其中為質(zhì)量密度，為原胞體積。這樣極化強(qiáng)度P（2）和運(yùn)動方程（5）就分別化為其中這組方程稱為黃昆方程，是黃昆1951年求得的。b系數(shù)稱為動力系數(shù)。（a）代表振動方程，第一項為準(zhǔn)彈性恢復(fù)力，第二項表示電場附加了恢復(fù)力。（b）代表極化方程，第一項表示離子位移引起的極化，第二項表示電場附加了