陳棟梁、2010年數(shù)學(xué)建模

1、第七屆研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題 目特殊工件磨削加工的數(shù)學(xué)模型研究摘要本文主要以規(guī)劃砂輪中心相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡和砂輪作為研究對(duì)象，根據(jù)工件加工要求，運(yùn)用工件包絡(luò)加工方法和刀具插補(bǔ)運(yùn)算方法建立了以加工時(shí)間最短，加工誤差最小等目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，給出了不同目標(biāo)和約束下的加工方案，本文主要完成的工作有： 分析了磨床的工作原理和工件加工方案的制定原則給出了加工方案的確定方法和誤差的分析方法，在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)模型。 對(duì)問題，在滿足加工要求的前提下，以加工誤差最小和加工時(shí)間最短為目標(biāo)函數(shù)，采用了包絡(luò)加工方法和改進(jìn)的機(jī)床插補(bǔ)算法，來制定加工方案，使用目標(biāo)搜索方法得到了最優(yōu)的加工方案，并求得次加工方案的加工誤差。 對(duì)問題

2、，在滿足加工要求的前提下，以加工誤差最小和加工時(shí)間最短為目標(biāo)函數(shù)，采用了包絡(luò)加工方法和改進(jìn)的機(jī)床插補(bǔ)算法，以輪式砂輪中的相對(duì)工件運(yùn)動(dòng)軌跡為研究對(duì)象，讓中、下兩臺(tái)動(dòng)而 不動(dòng)，砂輪的外端輪廓參數(shù) r小于母線的最小曲率半徑，砂輪的側(cè)面始終與加工母線垂直，并按照上述原則來制定加工方案，使用目標(biāo)搜索法得到了最優(yōu)的加工方案，并求得此方案的加工誤差。通過改變加工步中 x、y 的增量而使加工過程中圓柱型砂輪表面的磨損均勻通過改變加工步中轉(zhuǎn)角增量而使加工過程中砂輪表面磨損均勻：插補(bǔ)，包絡(luò)，多項(xiàng)式插值，多級(jí)優(yōu)化，磨損均勻參賽隊(duì)號(hào) 10109001 參賽（由填寫）隊(duì)員陳棟梁，中山大學(xué)承辦一、 問題的重述和分析1.1

3、 問題的重述一種大型精密內(nèi)外圓曲線磨床，磨削下面兩個(gè)工件圖 a圖ba 圖采用圓柱型砂輪加工，b 圖采用輪式砂輪加工，給出一個(gè)加工方案，對(duì)方案作誤差分析提出一個(gè)修整策略，給出一個(gè)使輪式砂輪表面磨損盡量均勻，作相應(yīng)誤差分析1.2 需要解決：對(duì)工件 a，b 設(shè)計(jì)一個(gè)加工方案，并對(duì)其誤差進(jìn)行分析。對(duì)（1）中的加工方案，提出一個(gè)休整策略，得到一個(gè)石砂輪盡量磨損均勻的合理加工方案，作相應(yīng)的誤差分析。（3） 給出其它需要考慮的，給出合理的加工方案。二、問題的假設(shè)根據(jù)題意可進(jìn)行如下的假設(shè)：1、由于機(jī)床具有先進(jìn)的控制設(shè)備，不考慮信息傳遞的時(shí)延。2、由于機(jī)具有先進(jìn)的冷卻系統(tǒng)，不考慮對(duì)加工工件誤差的影響。3、由于步

4、進(jìn)電 有任何影響。速器、絲杠、螺母副的聯(lián)接精密，對(duì)工件加工精度沒4、零件的材質(zhì)均勻，受力不變形。15、工件在預(yù)加工后留給磨削的加工余量可確保一次成形。三、符號(hào)說明y：工件母線方程在（x，y）處的切線斜率H：加工工件時(shí)最大加工余量F( , ) ：關(guān)于自變量 , 的函數(shù)四、問題分析4.1 解題思路：本題涉及到了機(jī)械中機(jī)床的插補(bǔ)算法，其中把插補(bǔ)出來的點(diǎn)描繪出圖形可用圖論里面的知識(shí)進(jìn)行解決，也涉及到了機(jī)械中包絡(luò)加工方法，求最大加工余量，以及數(shù)值分析中的多項(xiàng)式插值等算法。（1） 要找誤差最小，需要考慮多重和刀具磨損誤差。，主要考慮插補(bǔ)路徑所形成的誤差（2） 考慮時(shí)間最短，即在每秒的步長(zhǎng)最大，這樣要求綜合

5、考慮機(jī)床的各種影響（頻率、等）來確定解題方法。五 模型的建立和求解數(shù)學(xué)模型中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)：（1）多項(xiàng)式插值基本概念：假設(shè) f (x) 是定義在區(qū)間a, b 上的未知或復(fù)雜函數(shù)，但已知該函數(shù)在點(diǎn)a n b 處的函數(shù)值 y0 , y1, yn 。找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如多項(xiàng)式函數(shù) P(x) ，使之滿足條件：P(xi ) yi , i 0,1, 2, n即在給定點(diǎn) xi 處， P(x) 與 f (x) 是相吻合的。n 稱為插值節(jié)點(diǎn)，把 P(x) 稱為 f (x) 的插值多項(xiàng)式通常把上述（函數(shù)）， f (x) 稱為函數(shù)。a, b 稱為插值區(qū)間，條件（2.1）稱為插值條件，并把求 P(x) 的過程稱為插

6、值法。2如果 P(x) 為 m 次多項(xiàng)式P (x) a xm a xm1 ax am01m1m則稱該插值法為多項(xiàng)式插值。（2）曲率與曲率半徑設(shè)曲線在點(diǎn) M 處的曲率為 K (K 0) 。在曲線凹的一側(cè)作一個(gè)與曲線相切于 M 且半徑為 K 1 的圓。上述圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的曲率圓，其圓心叫做曲率中心，其半徑 叫做曲率半徑。曲率與曲率半徑的關(guān)系：1K1 K 3(1 y 2 ) 2數(shù)學(xué)模型：?jiǎn)栴}一，立的數(shù)學(xué)模型如下：（1）設(shè)加工工件外表面母線任意一點(diǎn)為a, b 外母線方程為711y (600 0, 600181033y 外母線如圖（1）所示：圖（1）b 7 600 a2 0.45600 a, a

7、 0, 6001 218103外母線上任意一點(diǎn)a, b 的切線斜率為：7 217a600 a 0.45 y , a 0, 6001 318103609000則母線上a, b 法線斜率為：11y y , a 0, 6001 417a609000則過(a, b) 母線的法線方程為：1y x a , a 0, 600y b 1 5假設(shè)磨床砂輪與外母線垂直，且砂輪軸心沒有明顯跳動(dòng)，砂輪磨損量很小，不考慮。則以母線上點(diǎn)a, b 為圓心，以砂輪半徑 R 為半徑做圓，圓的方程為： y b2 x a 2 R2 , a 0, 600(當(dāng)圓心上的工件母線切線斜率k a 時(shí)，則取 x a ,當(dāng)圓心上的工件母線切線斜

8、率k a 時(shí)則取 x a )1 64注：由砂輪半徑 R 選取 Mikron（司）的柱式砂輪型號(hào)M聯(lián)合1 2圖所示：1 4 1 5 1 6 用程序選 a 的步長(zhǎng)為 40/300，求解其圖形如圖（2）5（2）設(shè)加工工件外表面母線任意一點(diǎn)為a, b 外母線方程為： x1 x 25 130, x 0, 600y 30e 400 sin2 1100外母線如圖（3）所示：圖（3）母線上任意一點(diǎn)a, b ，則由2 1 得 a1100a 25 130, a 0, 600b 30e 400 sin2 2則外母線上a, b 上的切線斜率為： a a1111y 30e 400 sin(a 25 ) 30e 400

9、cos(a 25 )2 3400100100100則母線上(a, b) 的法線方程為：11y , a 0, 600 a ay 1111001(a 25 ) 30e 400 cos(a 25 ) 30e 400 sin4001001002 46則過(a, b) 母線上的法線方程為：1y x a , a 0, 600y b 2 5假設(shè)磨床砂輪與 x 軸垂直且與砂輪軸心沒有明顯跳動(dòng)，砂輪磨損量很小，不考慮則以母線上點(diǎn)a, b 為圓心，以砂輪半徑 R 為半徑做圓，圓的方程為 y b2 x a2 R2; a 0, 600,( y R)2 6注 ： 由 砂 輪 半 徑 R 選 取 揚(yáng) 中 市 飛 宇 磨

10、具 公 司 的 柱 式 砂 輪 型 號(hào)的輪式砂輪聯(lián)合2 2：2 4 2 5 2 6 用程序選 a 的步長(zhǎng)為 40/300，求解其圖形圖（4）(3)7NAMRERCDKBOF圖（5）工件凸母線 B 點(diǎn)的失徑：OB OBi , OBj OB cos Bi( )iOBj ( ) sin Bj其中OB ( )d ，( )記 ( )d 母線 B 點(diǎn)的切向矢量:BMd BM , BM (OB )ijd BM cos sin B ii其中BM j sin cos B jBN( ) 22母線 B 點(diǎn)的法向矢量：BK (OB BM ) BM (BKi , BK j )8BK ( sin cos ) B 22ii

11、其中： BK 2 ( cos sin ) 2B jjBK ( ) 222i KB sin cos Bcos cos(OX , BK ) jBK（5）A( )2 2( )2 2B求sin A i（5a）( )2 2可用（5）或（5a）式求出 BD 與 i 夾角A設(shè) BD T BK RBD T RBKBD BDi , BDj BD R( sin cos ) ( )2 2RBj i( )2 2R( cos sin )RB 其中 BDj i( )2 2( )2 2 RBD矢量： ODi OBi BDi |ODi , ODj 加工 B 點(diǎn)，刀具中心坐標(biāo) RBODi OBi BDi Bi i( )2 2R

12、BjOD OB BD B jjjj( )2 2在給定最大加工余量：CE=H 時(shí)求BDE在BDE 中，設(shè)BDE 為 w，CE 為 H9k i DE sin(i, DE) sin( A ) sin cosA cos sin ADE i DE cos(i, DE) cos( A ) cos cosA sin sin ADE將（5），（5a）式代入（8）,(9) 求得：DE jBj Bi sin cosR( )2 2Bj ( )2 2DEiBi cos sin R( )2 2( )2 2 DE R(B cos B sin )iji( )2 2RDE (B sin B cos)jji( )2 2DE R

13、矢量OE OD DE OEi , OE j OE OD DE B R(1 cos)B B sin iiiiji( )2 2R其中： OEj ODj DE j Bj (1 cos)Bi Bj sin ( )2 2OEOE 2 OE2ij k (i OE)OE jOEicos(OE, i) cos( ) 或sin(OE, i) OEOEOE 則 sin1j22OC1 OE j1 OE j ( )2 (sin) (cosOEOE) H故OCOE方程10OEOEOCOEF H (cos1) 0i( , )（4） 問題三,四建立的模型如下：在整個(gè)加工過程中，若各個(gè)瞬時(shí)砂輪與加工工件的相切點(diǎn)是固定在底座和

14、砂輪旋轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)系中同一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際是點(diǎn)的一個(gè)鄰域），隨砂輪旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓周，那么砂輪在該圓周上的磨損會(huì)加大，從而影響加工質(zhì)量。因此把問題考慮為在加工時(shí)使砂輪外側(cè)圓周的表面磨損，即使砂輪加工的切點(diǎn)隨時(shí)間而變化使它在砂輪圓周上分布均勻。對(duì)圓柱型砂輪來說就是使切點(diǎn)在直線上分布均勻，即改變 x、y 的增量，對(duì)輪式砂輪來說就是使切點(diǎn)在圓弧上分布均勻，即改變轉(zhuǎn)角的增量。問題 3 的數(shù)學(xué)模型如下：x(i 1) x(i) d cosi ;i 80 2n; j 80 (2n 1) n (1, 2, 3,., (600 / d 1) / 80)x( j 1) x( j) d cosjy(i 1) y(i) d s

15、ini ;i 80 2n; j 80 (2n 1) n (1, 2, 3,., (600 / d 1) / 80) y( j 1) y( j) d sind 為加工步長(zhǎng)；j問題 4 的數(shù)學(xué)模型如下：i d ;i (1,.,120 / d 1 / 2) ; j (120 / (1 / 2 2n) n (600 / d 120 / 1 / 2) / (120 )jdddd ; k (120 / (1 / 2 2n 1) kddd 為轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)；3 模型的計(jì)算結(jié)果問題 1 的加工步驟和誤差：?jiǎn)栴}一加工步驟：步驟一、對(duì)刀處坐標(biāo)（0,130），刀具角度為 0.9549步驟二、按照每一步 x、y、（轉(zhuǎn)角）所需的脈沖數(shù)發(fā)脈沖給步進(jìn)電機(jī)11OE誤差分析：采用計(jì)算點(diǎn) y 坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)曲線上 y 坐標(biāo)的最大差值。問題 2 的加工步驟和誤差：步驟一、對(duì)刀處坐標(biāo)（0，151.2133）步驟二、按照每一步 x