振動(dòng)理論第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)課件

1、1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)2 能量法3 瑞利法4 等效質(zhì)量和等效剛度6 有粘性阻尼自由振動(dòng)第1章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 5 扭振專題振動(dòng)：一個(gè)彈性系統(tǒng)在平衡位置上，受到一個(gè)沖擊（突然施加一個(gè)外力或突然除去一個(gè)外力）使這個(gè)彈性系統(tǒng)脫離原來(lái)的平衡位置，在新的位置上系統(tǒng)的彈性力不能與載荷相平衡了，于是就發(fā)生了振動(dòng)。自由振動(dòng)：只靠彈簧的彈性力所維持的振動(dòng)稱為自由振動(dòng)。 單自由度系統(tǒng)：只用一個(gè)坐標(biāo)就可以把振動(dòng)系統(tǒng)的形態(tài)表明了，這種系統(tǒng)稱 為單自由系統(tǒng).1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)或?yàn)閮蓚€(gè)任意常數(shù)，則通解可寫(xiě)為：均為周期函數(shù)，故有：1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)振動(dòng)固有周期由式(3)可見(jiàn)振動(dòng)周期取決于系統(tǒng)的靜變位 ，只要靜變位按理論

2、算出或用實(shí)驗(yàn)方法定出，即可由式（3）確定振動(dòng)的固有周期振動(dòng)固有頻率式（2）所代表的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng) (harmonic motion),并由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定積分常數(shù)時(shí)代入式（2）得：則有：固有頻率或固有周期與初始條件無(wú)關(guān)，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的等時(shí)性，質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長(zhǎng)；反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，則固有頻率愈高，周期愈短。1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量1. 振幅 A2. 周期 T 和頻率 f3. 相位 是 t 時(shí)刻的相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義: 特點(diǎn): (1)等幅振動(dòng) (2)周期振動(dòng)(1) 是 t =0 時(shí)刻的相位即初相(2)1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示1.

3、以旋轉(zhuǎn)矢量表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)式（5）可寫(xiě)為：式中：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可用模為A的旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸x上的投影來(lái)表示。1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)2.以復(fù)數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)模為A的矢量OP旋轉(zhuǎn)，其復(fù)數(shù)表示為根據(jù)歐拉公式式（6）可表示為：比較式（6）（7）簡(jiǎn)諧振動(dòng)是復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸上的投影.在以后的敘述中，對(duì)復(fù)數(shù)表達(dá)式不做特殊說(shuō)明時(shí)，即表示取其虛部.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)3.物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度為由式（6）（10）（11）可知，當(dāng)物體的位移是簡(jiǎn)諧函數(shù)時(shí)，它的速度與加速度也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，它們與位移的頻率相同，速度的相位超前位移，加速度的相位超前位移1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)例1. 已知： 求：系統(tǒng)自由振動(dòng)的振幅A 解：鋼絲靜伸長(zhǎng) 1 無(wú)

4、阻尼自由振動(dòng)例2. 已知：重物重W放在一根長(zhǎng)為 的梁上，不計(jì)梁的質(zhì)量， 試確定彈性常數(shù)以及物體在鉛直方向作自由振動(dòng)的頻率. lc解：梁重物處的靜變形為 則： 1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)例3. 已知：升降機(jī)吊籠，以等速下降，鋼絲繩視為彈簧，若A端突然停止，求鋼繩所受到的最大應(yīng)力。繩子質(zhì)量略去不計(jì)。解：等速下降時(shí)鋼絲靜伸長(zhǎng) 1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)2 能量法能量方程式動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能達(dá)到最大值，而勢(shì)能為零時(shí)動(dòng)能達(dá)到最大值，則有：工程實(shí)際中通常振幅不大的振動(dòng)，差不多都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，都可用式（1）計(jì)算振動(dòng)的固有頻率。mx能量法計(jì)算固有頻率2 能量法例1. 如圖各擺作小振幅振動(dòng)，不計(jì)各

5、桿的質(zhì)量，試用能量法 求各桿擺的振動(dòng)頻率,并假定重物W的質(zhì)量集中在它的中心上。laall2 能量法擺的動(dòng)能：擺的勢(shì)能是由于重物W的鉛垂位移而產(chǎn)生的2 能量法假定擺的運(yùn)動(dòng)方程是：則由：有：擺的動(dòng)能：擺的勢(shì)能包含兩部分即：彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能2 能量法由能量方程有：有：由學(xué)生練習(xí)完成3 瑞利法為了計(jì)及這部分質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)固有頻率的影響，利用能量法可對(duì)分布質(zhì)量系統(tǒng)作近似計(jì)算，方法是先對(duì)具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動(dòng)形式，然后將無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)諧規(guī)律代入，即得到等效質(zhì)量和固有頻率，這種近似計(jì)算方法稱為瑞利法（為L(zhǎng)ord Rayleigh所創(chuàng)）設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為 ,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ，假定彈簧的變形與離

6、固定點(diǎn)的距離 成正比，彈筑端點(diǎn)的位移設(shè)為 。將微元長(zhǎng)度 的動(dòng)能在整個(gè)彈簧范圍內(nèi)積分，以計(jì)算彈簧的動(dòng)能 ，得到例1. 試計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量。為彈簧質(zhì)量考慮彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的總動(dòng)能等效質(zhì)量3 瑞利法假定振動(dòng)中梁的變位曲線和梁外端加一靜載荷時(shí)梁的變位曲線的形狀相同。3 瑞利法例2. 試計(jì)算懸臂梁的等效質(zhì)量。設(shè)懸臂梁的長(zhǎng)度為 ,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ，抗彎剛度為 ，其中 和 分別為梁的彈性模量和截面二次矩。計(jì)算梁的動(dòng)能，得到：為梁的質(zhì)量等效質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率為：4 等效質(zhì)量和等效剛度在實(shí)際的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)中通常包含有多個(gè)彈性元件和慣性元件，為方便振動(dòng)分析，可將該系統(tǒng)等效為一個(gè)由等效剛度和等效質(zhì)量組成的單自由

7、度振動(dòng)系統(tǒng)。等效的方法有兩種：1)能量法 2)定義法。4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度平行串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度平行串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs

8、 is made of and has five effective turns, mean coil diameter and wire diameter 例2 A hoisting drum, carrying a steel wire ripe, is mounted at the end of a cantilever beam. Determine the equivalent spring constant of the system when the suspended length of the wire rope is Assume that the net cross-se

9、ctional diameter of the wire rope is and the Youngs modulus of the beam and the wire rope is 4 等效質(zhì)量和等效剛度4 等效質(zhì)量和等效剛度斜拉彈簧在某個(gè)位移方向上的等效彈簧剛度為彈簧的伸長(zhǎng)量4 等效質(zhì)量和等效剛度例1 To calculate equivalent stiffness in and directions4 等效質(zhì)量和等效剛度例1.The boom AB of the crane shown in Fig.1.27(a) is a uniform steel bar of length 1

10、0m and area of cross section 2500. A weight W is suspended while the crane is stationary. The cable CDEBF is made of steel and has a cross-sectional area of 100. Neglecting the effect of the cable CDEB. Find the equivalent spring constant of the system in the vertical direction.4 等效質(zhì)量和等效剛度A vertical

11、 displacement x of point B will cause the spring (boom) to deform by an amount (cable) to deform by an amount . and the spring 4 等效質(zhì)量和等效剛度Since the equivalent spring in the vertical direction undergoes a deformation , the potential energy of the equivalent spring is given by 4 等效質(zhì)量和等效剛度Example 1. Th

12、e equivalent mass can be assumed to be located at point A. The linear coordinate specifies the displacement of point A. The static equilibrium position of the system is zero position.The kinetic energy of the original system is The kinetic energy of the equivalent system is By 4 等效質(zhì)量和等效剛度Combination

13、 of MassesIn many practical applications, several masses appear in combination. For a simple analysis, we can replace these masses by a single equivalent mass, as indicated below.Case 1: Translational Masses Connected by a Rigid Bar4 等效質(zhì)量和等效剛度Case 2: Translational and Rotational Masses Coupled Toget

14、her.(1) a single equivalent translational mass (2) a single equivalent rotational mass 1. Equivalent translational mass. 2. Equivalent rotational mass. 4 等效質(zhì)量和等效剛度Example 2 Cam-Follower Mechanism Find : Equivalent mass of the cam-follower system (i) at point A, (ii) at point CApproach : Equivalence

15、of kinetic energy.4 等效質(zhì)量和等效剛度 Similarly, if the equivalent mass is located at point C, 4 等效質(zhì)量和等效剛度1.等直徑軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)2.階梯軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)12等效成具有軸1直徑的當(dāng)量軸原則：等效前后扭轉(zhuǎn)剛度不變推廣：5 扭振專題3.兩端各帶一轉(zhuǎn)動(dòng)體軸的扭振周期mnlabJ1J2由動(dòng)量矩守恒兩端的物體永遠(yuǎn)做相反方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，則必有截面mn是不動(dòng)的，稱節(jié)截面.截面左右兩部分振動(dòng)周期相等.5 扭振專題4.傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振周期及等效軸的長(zhǎng)度AJAJDBCD略去軸及齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)升X輪外嚙合，運(yùn)動(dòng)方向始終相反，故等效軸的節(jié)截

16、面為BC截面5 扭振專題5.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛度等效問(wèn)題5 扭振專題6.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的慣性等效問(wèn)題5 扭振專題6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)阻尼:使振動(dòng)衰減的作用. 阻尼產(chǎn)生原因：材料的內(nèi)摩擦,連接點(diǎn)、支承面等處的外 摩擦及介質(zhì)阻力等.阻尼力：在振動(dòng)分析當(dāng)中用于代替阻尼作用的阻礙振動(dòng)的力。粘滯阻尼理論假定阻尼力大小與速度成正比,方向與速度相反。6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)為兩個(gè)特解，這兩個(gè)解的和或差乘上任何常數(shù)仍是原方程的解。下面分三種情況討論：6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼令阻尼固有頻率特征根為6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼則通解為：6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼由初始條件代入上式有則6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠

17、阻尼則令6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼由于阻尼的作用，阻尼自由振動(dòng)的周期增加了。6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是振幅被限制在 之內(nèi)，并按時(shí)間指數(shù)衰減的振動(dòng)，最終完全消失。6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼若 很小的話，阻尼對(duì)振動(dòng)周期的影響并不大。6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)臨界阻尼情況由初始條件代入上式有：則有：6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)臨界阻尼情況按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，不發(fā)生振動(dòng)，臨界阻尼是區(qū)分振動(dòng)與不振動(dòng)的的界線.阻尼比臨界阻尼6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)過(guò)阻尼情況由初始條件6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)解里沒(méi)有周期性的因子了，不振動(dòng)，粘性阻尼大到，當(dāng)物體離開(kāi)平衡

18、位置后，只是緩慢地回到平衡位置。過(guò)阻尼情況6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng)都不會(huì)發(fā)生振動(dòng)，但臨界阻尼系統(tǒng)的阻尼為最小，所以物塊回到平衡位置所需的時(shí)間最短，這一特性在工程中有許多應(yīng)用；例如發(fā)射炮彈的回彈機(jī)構(gòu)在發(fā)射炮彈后是不希望振動(dòng)的，而且需以較短時(shí)間回到靜平衡位置，以備進(jìn)行下一次發(fā)射，這個(gè)系統(tǒng)就需要臨界阻尼以滿足這樣的要求。6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)欠阻尼對(duì)自由振動(dòng)有以下兩方面影響：阻尼使系統(tǒng)的周期略有增大阻尼使系統(tǒng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減任意兩個(gè)相鄰振幅的比，振動(dòng)是衰減的。6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率若則阻尼測(cè)量由上面兩式可得：或?qū)嶋H測(cè)量時(shí)可計(jì)n個(gè)循環(huán),則則

19、系統(tǒng)的等效阻尼為：(3)6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)例1: 對(duì)圖示體系作自由振動(dòng)試驗(yàn).用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開(kāi)始作自由振動(dòng).經(jīng)4周期,用時(shí)2秒,振幅降為1cm.求：1.阻尼比 2.剛度系數(shù) 3.無(wú)阻尼周期 4.重量 5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比2cm解:1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無(wú)阻尼周期4.重量6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,周期和阻尼比6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)解:例1: 對(duì)圖示體系作自由振動(dòng)試驗(yàn).用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開(kāi)始作自由振動(dòng).經(jīng)4周期,用時(shí)2秒,振幅降為1cm.求：1.阻尼比 2.剛度系數(shù) 3.無(wú)阻尼周期 4.重量 5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比2cm例2: 摩托車(chē)沖擊吸振裝置，已知阻尼振動(dòng)周期質(zhì)量由于路面不平獲得初速度 導(dǎo)致最大位移，求：6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)解：確定阻尼比確定無(wú)阻尼自由振動(dòng)固有角頻率 N.s/m N.s/m N/m 6 有粘性阻尼的自由振動(dòng)由于 所以上式對(duì)