計算機軟件及應用dsp第6章II課件

1、利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程：IIR數(shù)字濾波器設(shè)計設(shè)計技術(shù)成熟有相當簡便的公式和圖表模擬濾波器AF由此設(shè)計數(shù)字濾波器DF要求DF特性模仿AF的特性實際上是個映射問題Mapping離散時間域(Z平面)轉(zhuǎn)換關(guān)系連續(xù)時間域(S平面)1轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求：(1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的(2)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關(guān)系。Re(z)jIm(z)0z平面1z1z2j0S平面S1xS2x2兩種常用的映射變換方法一、脈沖響應不變法二、雙線性變換法3利用模擬濾

2、波器理論設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。 脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期。 如以 Ha(s) 及 H（z）分別表示 ha(t) 的拉氏變換及 h(n) 的 Z 變換，即 Ha(s)=LTha(t) , H(z)=ZTh(n) Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時域采樣h(n)ZTh(n)H(z)所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法6.3 用脈沖響應不變法設(shè)計4計算 H(Z) :脈沖響應不變法特別適

3、用于用部分分式表達傳遞函數(shù)，模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù) NM，則可表達為部分分式形式； 其拉氏反變換為： 單位階躍 對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列 5再對h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話， 所以有 必有 6比較看到： S平面上的極點 S=Si 變換到Z平面上是極點 ,而Ha(s)與H(Z)中部分分式所對應的系數(shù)不變，但要注意，這種Ha(s)到H(Z)的對應變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立。穩(wěn)定性： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點 Si 都在S左半平 面，即 Resi0 ,

4、 那么變換后H(Z)的極點 也都在單位圓以內(nèi)，即 ,因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。 7根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系 理想采樣 的拉氏變換 與模擬信號 的拉氏變換 之間的關(guān)系。 理想采樣 的拉氏變換 與采樣序列 的 Z 變換 之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。8s平面與z平面的映射關(guān)系 9以上表明，采用脈沖響應不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是以前所討論的拉氏變換到Z變換的標準變換關(guān)系，即首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 Z 平面上。10映射關(guān)系 ： S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重疊地映射到Z

5、平面的整個平面上: 每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對應于繞單位圓一周。11S 平面Z 平面12 應指出，Z=esT的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延拓與 H（Z）的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H（Z）的關(guān)系，因此，使用脈沖響應不變法時，從Ha(s)到H(z)并沒有一個由S平面到Z平面的一一對應的簡單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。混迭： 由式，還可看到，數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓： 周期為 13 正如第一章的采樣定律中所討論的，如果模

6、擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率S/2 以內(nèi)，即 14 這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率S/2以內(nèi)） 但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這時，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 15脈沖響應不變法中的頻響混淆16例 將一個具有如下傳遞函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。 解： 17模擬濾波器的頻率響應為: 18數(shù)字濾波器的頻率響應為: 顯然 與采樣間隔T有關(guān)T越小,衰減越大

7、,混疊越小,當 fs=24Hz ,混疊可忽略不計,為什么混迭呢? 1920實際應用中的問題：（1）實用公式：此時，21（2）復數(shù)乘法器的問題：22若AF的二階基本節(jié)的形式為則相應的DF的二階節(jié)的形式為23若AF的二階基本節(jié)的形式為則相應的DF的二階節(jié)的形式為24脈沖響應不變法的優(yōu)缺點優(yōu)點： 1、頻率變換是線性關(guān)系; w=T ，模數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)模擬濾波器的頻響特性； 2、數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域特性逼近好； 3、如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。25 缺點：1. 有頻譜混迭失真現(xiàn)象；(S平面到Z平面有多值映

8、射關(guān)系) 因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中2. 由于頻譜混迭，使應用受到限制。(T失真，但運算量,實現(xiàn)困難)26 6.4 雙線性變換法 脈沖響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標準變換zesT的多值對應關(guān)系導致的,為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過標準變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對應的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。27s平面

9、s1平面z平面雙線性變換法的映射關(guān)系28雙線性變換法消除頻譜混迭的原理非線性壓縮：(S平面S1平面映射)雙線性變換法用正切變換實現(xiàn)非線性頻率壓縮，設(shè)Ha(s)，s=j，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)， s1=j1 表示。則：上式表明：當1從/T經(jīng)過0變化到-/T時，則由經(jīng)過0變化到-，這樣實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。0/T-/T1T：時域采樣間隔；29 將這一關(guān)系解析擴展至整個S平面，則得S平面到S1平面的映射關(guān)系： 再將 S1 平面通過標準變換關(guān)系映射到Z平面，即令30考慮z = ej, 31最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系： 雙線性換法的主要優(yōu)點是

10、S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個j)對應于Z平面 單位圓的一周，S平面的=0處對應于Z平面的=0處，對應即數(shù)字濾波器的頻率響應終 止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應。通常取C=2/T，32 現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器時，從 S平面到Z平面映射變換的二個基本要求： 當 時，代入（1）式，得： 對單位圓 ,即S平面的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。33 代入（2）式 34 即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。如圖1。 圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)

11、系 35 1) 與脈沖響應不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：S平 面與Z平面是單值的一一對應關(guān)系（靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到的），即整個j軸單值的對應于單位圓一周，關(guān)系式為： 可見，和為非線性關(guān)系。36說明：s平面上 與z平面的成非線性正切關(guān)系，當增加時， 增加得很快，當 趨于 時，趨于，由于這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。代價：影響數(shù)字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。37 2) 與成非線性關(guān)系，會導致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關(guān)系上發(fā)生畸變)。 例如，一個模擬微分器，它的幅

12、度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器 38b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。c.要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段恒定的，故雙線性變換只能用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器3940 雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 41 例如，一個

13、考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點的畸變可以通過預畸來加以校正。42五、雙線性變換法的預畸變對邊緣臨界頻率點產(chǎn)生的畸變，可通過頻率的預畸變加以校正。例：數(shù)字低通濾波器的兩個截止頻率： p和s，如果按照線性變換所對應的模擬濾波器的截止頻率分別為：再利用非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率就不等于原來的頻率 。解決方法：數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理：pp /Tss /T43雙線性變換時頻

14、率的預畸44計算H(Z) 雙線性變換比脈沖響應法的設(shè)計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過程:頻響：45 這些都比脈沖響應不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應時，采用脈沖響應不變法較好，而其他情況下，對于IIR的設(shè)計，大多采用雙線性變換。 46對于采樣間隔T的選擇：脈沖響應不變法：雙線性變換法：T可任意取。47例1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計一個三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法求解。 解：a. 脈沖響應不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系

15、是線性的，所以可直接按c =2fc設(shè)計Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率c 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率，得：48 為進行脈沖響應不變法變換，計算Ha(S)分母多項式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)： 對照前面學過的脈沖響應不變法中的部分分式形式 有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 49并將 代入，得： 合并上式后兩項，并將 代入，計算得： 50 可見，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對增益越大，這是不希望的。為此，實際應用脈沖響應不變法時稍作一點修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與 fc/fs有關(guān)，即只與fc和fs的

16、相對值wc有關(guān)，而與采樣頻率fs無直接關(guān)系。 例如， 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計。51b. 雙線性變換法 （一）首先確定數(shù)字域臨界頻率 （二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 s/c 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將c=2/T代入上式。 （四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。5253 圖1為兩種設(shè)計方法所得到的頻響，對于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折 疊頻率處 形成一個三階傳輸零點,這個三階零點正是模擬濾波器在 處的三階傳輸零點通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄

17、,對頻率的選擇性改善,而脈沖響應不變法存在混淆,且沒有傳輸零點。脈沖響應不變法雙線性變換法54556.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻 濾波器的設(shè)計56設(shè)計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器的兩種方法： 先設(shè)計一個相應的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過脈沖響應不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 模擬原型 模擬高通、帶通、帶阻 數(shù)字高通、帶通、帶阻 設(shè)計方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計。 即確定 轉(zhuǎn)換為相應的 高通、帶通、帶阻 模擬濾波器的設(shè)計 Ha(s) H(Z) 57 直接利用模擬濾波器的低通原型，通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計。 頻率變換模擬低通原型 數(shù)字低通、高通、 帶通

18、、帶阻58模擬AF的頻率變換 模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計指標模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)相應的模擬高通、帶通、帶阻濾波器的傳輸函數(shù)59一、低通到高通的頻率變換假設(shè)低通傳輸函數(shù)用G（s）表示，sj，歸一化頻率用 表示；pj ，p稱為歸一化拉氏復變量。 所需類型（例如高通）濾波器的傳輸函數(shù)用H（s） 表示，sj ，歸一化頻率用 表示；令qj并將q稱為歸一化拉氏變量，H（q）稱為歸一化傳輸函數(shù)。60低通到高通的頻率變換公式：低通G（j ）和高通H（j ）轉(zhuǎn)換公式：61二、模擬高通濾波器的設(shè)計步驟：（1）確定高通濾波器的技術(shù)指標：通帶下限頻

19、率 ，阻帶上限頻率 ，通帶最大衰減 ，阻帶最小衰減62（2）確定相應低通濾波器的技術(shù)指標。1）LF通帶截止頻率 2）LF阻帶截止頻率3）通帶最大衰減仍為 ， 阻帶最小衰減仍為 。63（3）設(shè)計歸一化低通濾波器G（p）；（4）求模擬高通的H（s）。高通的3dB截止頻率或者64三、數(shù)字高通濾波器的設(shè)計步驟：1）確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標；2）將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成相應的模擬高通 高通濾波器的技術(shù)指標；653）設(shè)計模擬高通濾波器（由模擬低通設(shè)計模擬高通）；4）采用雙線性變換將模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通 濾波器；66例：要設(shè)計一巴特沃斯高通濾波器，其通帶截止頻率(-3dB點處） 為3kH

20、z，阻帶上限截止頻率 2kHz，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于14dB，抽樣頻率 10KHz。其幅頻特性如圖所示67（2）模擬高通的技術(shù)指標：令T168（3）模擬低通濾波器的技術(shù)指標：（4）設(shè)計歸一化的模擬低通濾波器G（p）：這里對3dB截止頻率歸一化69令則N可表示為：查表得歸一化低通傳輸函數(shù)G（p），去歸一化得到G（s）70（5）將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通（6）采用雙線性變換將模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通 濾波器；71 變換方法的選用： 脈沖響應不變法：對于高通、帶阻等都不能直接采用，或只 能在加了保護濾波器后才可使用。因此，使 用直接頻率變換（第二種方法），對脈沖響 應不變法要有許多特殊的考慮，它一般應用 于第一種方法中。 雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實際使用中多數(shù)情況也是如此。第二種方法因其簡捷便利，所以得到普遍采用。72基于雙線性變換法的高通濾波器設(shè)計： 在模擬濾波器的高通設(shè)計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應用于