抽象向量組線性相關(guān)性的判定與證明

1、I三3.抽象向量組線性相關(guān)性的判定與證明對(duì)于抽象給出的向量組，判斷或證明其線性相關(guān)與線性無關(guān)常采用以下方法方法1定義法：先設(shè)y+w+炕電=，然后對(duì)其作恒等變形，如用某個(gè)矩 陣同乘該式兩邊，或?qū)υ撌讲痦?xiàng)重新組合等.究竟用什么方法應(yīng)當(dāng)從已知條件去尋找信息， 通過一次或多次恒等變形來分析*必土能夠不全為零還是必須全為零，從而得知 叫,，冬是線性相關(guān)還是線性無關(guān).方法2求秩法：要論證，冬線性相關(guān)或線性無關(guān)，可將其構(gòu)成矩陣0，利用 rankle刑或赫工=刑來說明.方法3利用有關(guān)結(jié)論，如“等價(jià)的向量組有相同的秩”等方法4反證法.例1已知向量組仁皿淄線性無關(guān).設(shè)舟二嶼一+臨 =飼+角 月=2%-電+ 3何討

2、論丹滿月的線性相關(guān)性.解法1利用定義.設(shè)m + M+M=。，代入外禺月的表達(dá)式，有上1（用緯+飽）+片+仔）+片（2% 純+ 3飼）=0整理得內(nèi)+%），+ f +片f炕+熊+片+%厄由于線性無關(guān)，所以有+ 2 鑫=0-3 = 0其系數(shù)行列式從而方程組有非零解，即*血?jiǎng)⒉蝗珵榱悖ɑ蚯蟮梅匠探M的通解*1 = 2t 任意；取得先1 二 一小二-1,焰=1），故崗房房線性相關(guān).法2利用矩陣的秩.將看做行向量，令&1-11B =A011=CAC =011,A =6，其中3-16因?yàn)?臨線性無關(guān)，所以rankj4=3,又可求得detC=0,從而rankC3.又知rank B = rank（ CA） min

3、rank j4,rank C）因此皿槌Q，故月弟羌線性相關(guān).注上題中，如將看做列向量，則有102、E =（盡也花）=（%皿）-1 1 -1 =ACI 1 1刃其余證明同法2.例2已知向量組弓任，令同=巧+包知=耳-1 + 8 危y+飼，證明：（1）當(dāng)幽為偶數(shù)時(shí)，向量組儀AA線性相關(guān);當(dāng)刑為奇數(shù)時(shí)，向量組丐皿盡與AA同時(shí)線性相關(guān)或線性無關(guān).證（1）法1當(dāng)幽為偶數(shù)時(shí)，由于鑫一月+蟲一成+危_1一亂二。所以氏AA線性相關(guān).法2設(shè)數(shù)組把*土，使得(*)獨(dú)崗+灼& +知彪二。代入X的表達(dá)式并整理得g +侃）駕+ （由+也詢+穌一1 +2% =令先1 +也=岫+炳如,蜘_1 +知=0,則上式成立.該齊次方

4、程組的系數(shù)行列式（兩條線行列式）故有非零解，即存在不全為零的數(shù)y使（*）式成立，從而崗，禺，彪線性相關(guān).（2）當(dāng)刑為奇數(shù)時(shí)，將看做列向量，則有（崗房，點(diǎn)）=（嶼皿，,耳）P:、苴中其中,det P = D = 1+= 2 u匚 1、【尸II77由于快 ，所以廣可逆，從而g =(氏 asF這表明向量組皿與崗房，亂可以互相線性表出，即它們等價(jià)，從而有相同 的秩.故當(dāng)向量昭叫皿線性無關(guān)，即秩為幽時(shí)，向量組故如、瓦的秩也是部， 即線性無關(guān)；而當(dāng)皿線性相關(guān)時(shí)，崗滿，點(diǎn)也線性相關(guān).注上題中，如將A A A看做行向量，則有向量組巧叫代皿線性無關(guān)，則下列線性無關(guān)的向量組是.(A)(B)(C)(D)遂一四應(yīng)填：

5、(B).分析法1.觀察可知(嶼 + 電)+ 臨)+ & + %)(%+飼)=0(A)線性相關(guān);（C）線性相關(guān);（嶼+做）一（電+曜）+（電一電）+（電一）=。（D）線性相關(guān).由排除法可知應(yīng)選（B）.法2 .對(duì)（B）,設(shè)燈（OJ +胃）+止 +死）+奴（缶+耳）+燈（緝一叫）二0拆項(xiàng)重組為化1 -知）電 +化1 +炳）電 +電）電 + 傀 +燈）電 =0由電皿皿線性無關(guān)知=也，系數(shù)行列式所以方程組只有零解，知，從而（B）線性無關(guān).用此法可知（A）, （C）,（D）均線性相關(guān).法3 .對(duì)（B）,設(shè)A二嶼 + 電 A =+a3 供=但+ 儀 A =，形式記為0 0 -P（崗關(guān)，&成）=（耳電皿皿）0

6、 Q =0 0 11 ）（嶼，電，臨，）0由于2 ,所以約叫遂皿可由盡缶缶崗線性表出，故這兩個(gè)向量組等價(jià)， 而等價(jià)向量組有相同的秩，從而用缶缶兩的秩為4,即它線性無關(guān).對(duì)(A), (C), (D) 如上處理，并寫成形式記法，其中矩陣的行列式為0,這表明耳電皿皿不能由崗，市， 度亂線性表出，故均線性相關(guān).例4 (98-1-04)設(shè)是階方陣，若存在正整數(shù)先，使線性方程組A%=0有解向量 a,且* J 0 .證明向量組也血，*泌七是線性無關(guān)的.證設(shè)有數(shù)組虹眥，使得4 a+項(xiàng)waF !擠 = 0兩邊左乘*，并注意到a = Ak+1a= - = Au-1a=O,得杯七=0,由于 J。，所以4 二 .此時(shí)

7、有頃mM*=o,再左乘尸可得0.依次 類推知/1=4 = = 4 = ,故心線性無關(guān).例5在向量組叫叫幺中，設(shè)部，且以=2,刑)都不能由矽淄_1 線性表示.證明向量組叫e：皿線性無關(guān).證采用反證法.設(shè)向量組耳a線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)y， 使得y+w+侃耳=.在數(shù)組如穌總中，設(shè)從右到左第1個(gè)不為零的數(shù)為氐 壬 ，止j+i = =止胡-1 = K = o于是有止1昭+氐說 +電巧=0 (電主0)，上式可改寫為如果E，則有棲=，從而駕=，這與題設(shè)叫部矛盾.故J A1這與題設(shè)巧不能由丐：&線性表示矛盾.因此，向量組皿線性無關(guān).例6 (01-4-08)設(shè)磚=0壯1心飛=12-,頃5是理維實(shí)向量，且

8、% %心線性無關(guān).已知片也3是齊次線性方程組沔1電+昭+沔網(wǎng)烏=代體1+代+代M = 0Aixi + 2 + - + fl = 的非零解向量，試判斷向量組嶼叫的線性相關(guān)性.解由假設(shè)知線性方程組的系數(shù)矩陣為L(zhǎng)活，而歹是方程組的非零解向量，即有為=，從而得界=，即心=。(，=12.如)法1由定義.設(shè)止1昭+炳先F虬 +止月=0左乘房并利用心 頊得切=.但所以心我+尻+ +礦 。，于 是有*=*，代入前一式得灑+W+. + &綣=0.由于%,綣線性無關(guān)，所以 = = = = 0,故耳電叫胃線性無關(guān).法2反證.若昭，胃線性相關(guān)，則由惟一表示定理知P二知也+也嶼+把見于是從而*=，這與歹是非零解向量矛盾

9、，故叫叫，胃線性無關(guān).例7證明維向量組叫，電，線性無關(guān)的充分必要條件是維單位坐標(biāo)向量組耳二（頃）號(hào)=（。，,0）忑=（0廣*1），可以由做叫a線性表出.證必要性.已知線性無關(guān)，由于冉+1個(gè)隹向量必線性相關(guān)，所以 七皿*線性相關(guān)，由惟一表示定理知與a = iz：5可由七%皿線性表出.充分性.已知電再可由%知、線性表出，又任意隹向量均可由 日，k線性表出，所以丐皿u可由%再線性表出，故向量組 叫皿,皿與%思等價(jià).由于與,的秩為所以%皿的秩也 為七故耳皿線性無關(guān).例8設(shè)歐5矩陣的秩為氣又設(shè)隹列向量札,線性無關(guān).證明向量組 羽如，如線性無關(guān).證設(shè)數(shù)組勺使得把5執(zhí)+ M也+, &A民=0，即Ag執(zhí) + 灼質(zhì) H= o由于rankTl = ,所以齊次線性方程組施=。只有零解.故由上式得由題設(shè)崗弟廣線性無關(guān)從而只有獨(dú)泌=f = ,故MM如線性無關(guān).占是狀5矩陣，其中株5 .若莉=E，證明的列向量組線性無關(guān).證法1 （由定義，同乘）.將片按列分塊B = &M0，設(shè)工齒+曲質(zhì)+ %亂=0變形為兩邊左乘得 線性無關(guān).*二0EX隹頃2anAB，即=0，從而道=勺=一5=氣故崗，禹，亂法2 （用秩）.因?yàn)閚 = rank? = rank（AE） rank廳又可是m s矩陣且找5，從而rank，故遲的列向量組線性無關(guān).例10設(shè)叫淄是齊次線性方程組施=的線性無關(guān)解向量，胃是非齊次線性 方程組施=占的