2022年函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案

1、學習好資料 歡迎下載函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案 教學目的 1使學生學會根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的定義推導出函數(shù)導數(shù)的四則運算法則；2使學生掌握函數(shù)導數(shù)的四則運算法則，并能熟練地運用這些法則去求由 基本初等函數(shù)的和、差、積、商構(gòu)成的較復雜的函數(shù)的導數(shù)教學重點和難點本節(jié)課的重點是求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)的運算法則難點是求函數(shù) 的積和商的導數(shù)的運算公式及其推導方法教學過程一、復習提問1求導數(shù)的三個步驟是什么？(先讓全體學生回憶，再請一名學生單獨回答若答錯或不完善則請另外學 生糾正或補充 ) (1)求函數(shù)的增量： y=f(x x)f(x)；2試用導數(shù)的定義求函數(shù) yxx2的導數(shù)(要求全體學生在課堂練習本上做，

2、同時找一至兩名學生板演) 解： 設(shè) y=f(x) xx2，則 y=f(x x)f(x) (x x)(x x)2(xx2) x(12x x)，學習好資料 歡迎下載二、引入新課 讓學生觀察復習提問 2 的結(jié)果：y=12x從這個結(jié)果可以得到以下兩點啟示：1函數(shù) yxx2是兩個函數(shù) (yx 和 yx2)的和，它的導數(shù)可以用導數(shù)的 定義直接求得；2函數(shù) yxx2的導數(shù) y=12x，恰好是函數(shù) yx 和 yx2導數(shù)的和那 么，任意兩個函數(shù)的和的導數(shù)是否都是這兩個函數(shù)導數(shù)的和呢？結(jié)論是肯定的三、講解新課 1和(差)的導數(shù)法則 1 兩個函數(shù)的和 (差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和 (差)即其中 u 和 v

3、 都是 x 的可導函數(shù)證明： (可讓學生自己完成 ) 設(shè) y=f(x)u(x)v(x)，則 y=u(x x)v(x x)u(x) v(x) =u(x x)u(x) v(x x)v(x) = u v，學習好資料 歡迎下載即 y=(uv)=u v追問：條件“ u 和 v 都是可導函數(shù)” 有沒有必要？它在證明法則的過程中用于 何處？說明：這個法則可以推廣到任意有限個函數(shù)，即例 1 求函數(shù) yx3sinx 的導數(shù)解： y(x3)(sinx) 3x2cosx 設(shè)問 (繼續(xù)引入新課 )：既然有 (uv)uv，那么是否也有呢？就上述“ 設(shè)問” 給出兩個反例，以防止極限運算中，積和商的法則在此處的負遷移：把函

4、數(shù) yx3看作函數(shù) u(x)=x 和函數(shù) v(x)=x2的乘積，即 y=xx2按(1)求導有：y(xx2)(x)(x2)=2x 顯然與 y(x3)3x2的正確結(jié)果不符可見該 (1)為謬學習好資料 歡迎下載那么，正確的法則是什么呢？我們可以由導數(shù)的定義直接推導出來2積的導數(shù)法則 2 兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加 上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)即其中 u 和 v 都是 x 的可導函數(shù)證明： 設(shè) yf(x)u(x)v(x)，則 y=u(x x)v(x x)u(x)v(x) u(x x)v(x x)u(x)v(x x)u(x)v(x x)u(x)v(x)，因為 v(x)

5、在點 x 處可導，所以它在點v(x)，從而即 y=(uv)=uv uvx 處連續(xù)，于是當 x0 時， v(x x)若 c 為常數(shù)，則從 法則 2立即可以推出：(cu)=cu cu=0 cu=cu 學習好資料 歡迎下載就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)積以函數(shù)的導數(shù)即例 2 求函數(shù) y(2x23)(3x 2)的導數(shù)4x(3x 2)(2x23)3 18x28x93商的導數(shù)法則 3 兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方即因為 v(x)在點 x 處可導，所以它在點 x 處連續(xù)，于是當 x0 時，v(x x)v(x) ，從而學習好資料 歡迎下載即解

6、：例 4 求證當 n 是負整數(shù)時，公式 (xn)=nxn-1 仍然成立證明： 設(shè) n=m(m 為正整數(shù) ) 說明：當 n0 時， (xn)nxn-1也成立，所以對于一切整數(shù) n，公式 (xn)nxn-1成 立四、小結(jié) 1通過用導數(shù)的定義求導數(shù)的方法，可直接推導得函數(shù)和 (或差 )、積、商 的導數(shù)公式：(1)(u v)=u v；(2)(uv) uvuv；(cu)cu(c 為常數(shù) )；其中 u 和 v 是 x 的可導函數(shù)學習好資料 歡迎下載2公式 (2)對于 u 和 v 是對稱的，而公式 (3)對于 u 和 v 卻不是對稱的，這 一點要特別注意3和(或差)的導數(shù)法則可以推廣到任意有限個函數(shù)的情況那么，對于任意有限個函數(shù)的積的導數(shù)又怎樣呢？思考，下一節(jié)課將給予回答) 五、布置作業(yè)(此問題要求學生在課后1閱讀課本中“ 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)” 這一節(jié)的課文；2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y5x53x3x25；(2)y=ax4bx