易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

1、2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目（請(qǐng)先閱讀“對(duì)論文格式的統(tǒng)一要求”）C題：易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料（例如飲料量為355毫升的可口可 樂、青島啤酒等）的飲料罐（即易拉罐）的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥恚@并非 偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說，這種最優(yōu) 設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的 話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。現(xiàn)在就請(qǐng)你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說，請(qǐng)你 們完成以下的任務(wù)：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測(cè)量你們

2、認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù) 據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明出處。設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你 們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè) 正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀 和尺寸。利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和 尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫一篇短文（不超過 1000字

3、，你們的論文中必須包括這篇短文），闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步 驟，以及難點(diǎn)。易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)摘要本題在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，用LINGO實(shí)證分析了各種標(biāo)準(zhǔn)下 易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和模型摸擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分 析。結(jié)論表明，易拉罐的設(shè)計(jì)不但要考慮材料成本（造價(jià)），還要滿足 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、美觀、方便使用等方面的要求。在第二個(gè)問題中，易拉罐被假定為圓柱體，針對(duì)材料最省的標(biāo)準(zhǔn)， 得到了不同頂部、底部與側(cè)面材料厚度比時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。針對(duì)材料 厚度的不同，建立兩個(gè)模型：模型一，設(shè)易拉罐各個(gè)部分厚度和材料單 價(jià)完全相同，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為半徑與高的比（為圓柱的高，為圓柱的半 徑）；模型二

4、，設(shè)易拉罐頂蓋、底部厚度是罐身的3倍，通過計(jì)算得到 半徑與高時(shí)，表面積最小。一般情況下，當(dāng)頂蓋、底部厚度是罐身的倍 b時(shí)，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為R: H = 1：6。在第三問中，針對(duì)圓柱加圓臺(tái)的罐體，本文也建立了兩個(gè)模型：模 型三，設(shè)易拉罐整體厚度相同，利用LINGO軟件對(duì)模型進(jìn)行分析，得 出當(dāng)（為圓臺(tái)的高，為圓臺(tái)上蓋的半徑）時(shí)，設(shè)計(jì)最優(yōu)；模型四，假設(shè)罐 頂蓋、底部的厚度是罐身的3倍，同樣利用軟件LINGO對(duì)其進(jìn)行分析， 得出，時(shí)材料最省，即頂部為圓錐時(shí)材料最省，模型的結(jié)果在理論上成立， 但與實(shí)際數(shù)據(jù)不符。原因是廠商在制作易拉罐時(shí)，不僅要考慮材料最省， 還要考慮開蓋時(shí)所受到的壓力、制造工藝、外形美觀、

5、堅(jiān)固耐用等因素。在第四問中，本文根據(jù)第三問中模型最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的誤 差，調(diào)整了的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，在材料最省的基礎(chǔ)上，加入了方便使用，物理 結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定等標(biāo)準(zhǔn)。通過比較發(fā)現(xiàn)，前面四個(gè)模型中，模型二和模型四 體現(xiàn)了硬度方面的要求。進(jìn)一步對(duì)模型二、四進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)模型四的 結(jié)論更優(yōu)。為此，將模型四結(jié)論中的底部也設(shè)計(jì)為圓錐。此時(shí)，材料最 省。但是，兩端都設(shè)計(jì)為圓錐時(shí)，無法使用。因此，將項(xiàng)部和底部設(shè)計(jì) 為圓臺(tái)，并考慮拉環(huán)長(zhǎng)度和手指厚度（易于拉動(dòng)拉環(huán)）時(shí)，得到圓臺(tái)頂 端和底部半徑都為2.7。此時(shí)，易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)。如果設(shè)計(jì)為旋 轉(zhuǎn)式拉環(huán)，r = 2.2, h = .075, R = 3.93, H =

6、 6.86時(shí)，可以得到優(yōu)于現(xiàn)實(shí)中易 拉的設(shè)計(jì)方案。關(guān)鍵詞：最優(yōu)設(shè)計(jì) 體積結(jié)構(gòu) 材料最省lingo一、問題的提出隨著社會(huì)的變化，大量的瓶裝灌裝飲料應(yīng)運(yùn)而生，我們只要稍加 留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料（例如飲料量為355毫升的可口可樂、青 島啤酒等）的飲料罐（即易拉罐）的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?， 這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易 拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是 生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。測(cè)量各個(gè)品牌間不同的易拉罐的高度、直徑、厚度等，利用所得 到的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。需要使用什么樣的方法才能驗(yàn)證

7、 易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)呢？易拉罐的實(shí)際尺寸是否有要求、有什么樣的要 求呢？在已有的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上我們能不能自己設(shè)計(jì)易拉罐的形狀和尺寸 的的最優(yōu)化呢？二、分析問題對(duì)于問題一的分析：?jiǎn)栴}一測(cè)量易拉罐的具體數(shù)值，沒有問題。只 需注意易拉罐的多樣化就好。對(duì)于問題二：在假設(shè)最優(yōu)化條件為保證容積的情況之下，使易拉罐 所需材料最省，也就是所需材料的表面積最小。在表面積最小時(shí)，設(shè)圓 柱的體積V為常數(shù)，求半徑r與高度h的比值，如果能求出一定比例， 就能找到模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)。在建立模型之前我們需要考慮易拉罐的材料 和材料的受力情況。對(duì)于問題三：本設(shè)計(jì)要在保證容積最優(yōu)化的情況之下，使易拉罐所 需的材料最省。由于易拉罐的外形不

8、是純正的圓柱體，所以在建模之時(shí) 要對(duì)模型作出假設(shè)。假設(shè)易拉罐的上半部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下半部分是 一個(gè)正圓柱體。然后考慮易拉罐的厚度，在厚度一致時(shí)，利用lingo軟 件，計(jì)算出模型的最優(yōu)解；通過觀察發(fā)現(xiàn)易拉罐頂蓋的厚度是罐身的3 倍，所以，假設(shè)另一種模型當(dāng)易拉罐頂蓋、頂蓋厚度為a，其余部分為 b，且a： b=3:1,體積V=355ml時(shí)，同時(shí)利用lingo軟件，計(jì)算出模型的 最優(yōu)解。對(duì)于問題四：自己設(shè)計(jì)易拉罐的形狀和尺寸，在節(jié)省材料的情況之 下還需要易拉罐自身的承重、外觀的美觀、實(shí)用性等等。易拉罐在設(shè)計(jì) 為圓錐時(shí)是最省材料的，但不實(shí)用，所以需要將易拉罐設(shè)計(jì)為圓柱、圓 臺(tái)的結(jié)合體，考慮拉環(huán)等因素，

9、頂端與頂端要有所側(cè)重。對(duì)于問題五：表達(dá)自己的直觀感受以及對(duì)模型的理解即可。三、模型假設(shè)（1）、易拉罐頂蓋、底蓋厚度為3，其它部分厚度為（2）、易拉罐是正圓柱體（3）、易拉罐整體厚度均相同（4）、易拉罐的上部分是一個(gè)圓臺(tái)，下半部分是一個(gè)正圓柱體（5）、易拉罐整體厚度相同（6）、V 335ml四、符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明R圓柱半徑r圓臺(tái)半徑H圓柱高h(yuǎn)圓臺(tái)高S易拉罐表面積V易拉罐體積MIN :最小化X1在軟件lingo中的圓柱半徑X 2在軟件lingo中的圓柱高X 3在軟件lingo中的圓臺(tái)半徑X 4在軟件lingo中的圓臺(tái)高五、模型的建立與求解問題一的模型解：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉

10、罐，例如355毫 升的可口可樂飲料罐，測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉 罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不 是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明出處。數(shù)據(jù)測(cè)量如表一所示：表一：數(shù)據(jù)測(cè)量結(jié)果1mm2mm3 mm4mm平均（mm）D1 （罐蓋直徑）57.8458.3058.0458.6058.82D2 （罐身直徑）65.7065.5665.5165.5865.60D3 （罐低直徑）47.6247.6247.1847.7447.53X1 （罐蓋厚度）0.3140.3020.3150.3100.310X 2 （罐身厚度）0.1080.1100.1140.1100

11、.111X 3 （罐底厚度）0.3270.3200.3390.3440.333H1 （罐蓋高度）10.3010.9810.429.9610.42H 2 （罐身高度）101.98102.06102.36101.92102.08H 3 （罐底高度）5.625.305.124.865.23L （罐蓋斜邊長(zhǎng)度）0.1930.2040.2100.2010.202拉環(huán)長(zhǎng)度42.5342.4842.4842.5142.50數(shù)據(jù)來源： HYPERLINK /p-0522616535013.html.%e7%ac%ac%e4%b8%83%e9%a1%b5 /p-0522616535013.html.第七頁(yè)問題二

12、的模型：(一)、設(shè)易拉罐內(nèi)半徑為R，高為H，厚度為a,體積V ,其中r 和h是自變量，所用材料的面積S是因變量，而V是固定參數(shù)，則 s和V分別為：S = 2兀(R + a)2 * a +兀(R + a)2 * H 兀R2H=2 兀 aR 2 + 4兀 a 2 R + 2兀a 3 + 2 兀HRa + nHa 3VV =kR 2 H, H =兀R 2設(shè) g (R, H) =.R 2 H =.R 2 H V模型的建立：min S (r, h)R0, H0g (R, H) = 0其中s是目標(biāo)函數(shù)，g(R,H) = 0是約束，v是已知的，即要在體積一 定的條件下求S的最小值時(shí)，r和h的取值是多少模型求

13、解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知ar，所以帶a2，a3的項(xiàng)可以忽略， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark27 o Current Document V2aV日 H =s(R, H (R) = 2兀 aR2 + 且 兀R2，則有R求s(r,h(r)的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即s(R,H(R) = 0 ,解得臨界點(diǎn)H = 一= 2*3： = 2 RV、3 2兀丸扃)2因?yàn)閟(R) = 4心*則s (g) = 12血0,所以當(dāng)r : h = 1:2時(shí)，是s 最優(yōu)解模型結(jié)論在假設(shè)易拉罐是正圓柱體且厚度均相同的條件下，當(dāng)體積為固定參 數(shù)，而表面積求導(dǎo)，得到高是半徑的兩倍，r :

14、 h = 1:2，此時(shí)，模型最優(yōu)。(二)易拉罐頂蓋、底蓋厚度不同時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型2、確定變量和參數(shù)：設(shè)；飲料內(nèi)半徑為R，高為H，體積為V，易 拉罐頂蓋、底蓋厚度為a，其它部分厚度為b。其中r和h是自變量， 所以材料的體積S是因變量，而a，b，c和V是固定參數(shù)。則S和V分 別為：S=2K(R+a)2 *3a +K(R+a)2 *H -KR2H=6anR 2 + 12a 2kR + 6a 3K + 2nRaH +na 2 HH =V =kR2H ,kR2設(shè) V =k(X)2(x2)g(R,H) = kR2H -V模型建立：min S (R, H)R 0, H 0g (R, H) = 0其中S是目標(biāo)

15、函數(shù)，g(R, H) = 0是約束條件，厚度比例與V是已知的，即要在體積V 一定的條件下求r和h的取值是多少時(shí)體積S最小a2, a3的項(xiàng)可以忽略，且模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知求覽r,h(r)的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即H = S = 6anR 2 + 2兀 R 2，則kR 2，H =， = 6*3：，= 6 R2 2 kS (R, H (R) = 0,解得臨界點(diǎn)為:=48a兀 04aV因此當(dāng)H = 6R時(shí)，S為最優(yōu)S ”(R) = 12 an +，* 因?yàn)镽3貝【J，解。觀察模型(一)與模型(二)，可見當(dāng)厚度不同時(shí)，半徑與高的比 例不同，似乎有一定聯(lián)系，因此我們假設(shè)頂與底蓋的厚度為ab，壁

16、的厚 度為a，其中b為比例系數(shù)，則S = 2n(R + a)2*ba +n(R + a)2*H -kR2H=2nabR 2 + 4na 2bR + 2na 3b + 2nHRa + nHa 2因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)所可知aR，所以帶a2，a3的項(xiàng)可以忽略，且S = 2兀abR 2 +罕求s(r,h(r)的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即 S(R，H (R)二。,解得臨界點(diǎn)的值為2bR,S為最優(yōu)解。對(duì)于問題三的模型有：(一) 第三種易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐頂蓋、底部半徑為R，正圓柱體高為H，正 圓臺(tái)高為h,體積為V，其中R,r,H,h是自變量，所以材料的體積S是因變量， 而V

17、是固定參數(shù)，則S和V分別為：S =兀(R 2 + r 2) + 2 兀RH +兀(R + r )h 2 + (R r )2V =兀R 2 H + 3 兀(R 2 + Rr + r 2 )h 設(shè):g (R, r, H, h)=兀R 2 H + 3 兀(R 2 + Rr + r 2)h - V建立模型：min S (R, r, H, h)R0, r0, H0, h0g (R, r, H, h) = 0其中S是目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)，g(R，r，H，h) = 0是，R約束條件，V是已知的， 即要在體積一定的條件下求表面積最小時(shí),R,r,H,h的取值各是多少 模型求解：利用 L ING O 求解，設(shè) R=x1,

18、r=x3,H=x2,h=x4，貝S =兀(x1)2 + (x3)2) + 2兀(x1)(x2) +兀(x1) + (x3)(x4)2 + (x1) -(x3)21 V =(X1)2(X2) + 3 (x1)2 + (x1)(x3) + (x3)2)(x4)利用LINGO計(jì)算結(jié)果，得H + h = 2R = 4r時(shí)S為最優(yōu)解。在易拉罐的上半部是一個(gè)正圓臺(tái)，下半部 是一個(gè)正圓柱體，且厚度均相同的前提下，當(dāng)體積為固體參數(shù)，表面 積最小，利用l ing o軟件計(jì)算，得到圓臺(tái)的高與圓柱的高等于兩倍圓柱的 半徑，同時(shí)也等于四倍的圓臺(tái)半徑，H + h = 2R = 4r，模型最優(yōu)。(二)、第四種易拉罐形狀和

19、尺寸設(shè)計(jì)的最優(yōu)模型設(shè)易拉罐頂蓋半徑為r,底蓋半徑為R，正圓柱體的高為H，正圓臺(tái)的 高為h,體積為V ,其中R，r, H, h是自變量，所用材料的體積S是因變量， 而V是固定參數(shù)，則S和V分別為：S = a 冗(R 2 + r 2) + 2兀RHb + 冗 b(R + r h 2 + (R r )21V =穴R 2 H + 3 兀(R 2 + Rr + r 2)h1g (R, r, H, h)=R 2 H + 兀(R 2 + Rr + r 2)h V設(shè)：3則有模型：min S (R, r, H, h)R0, r0, H0, h0g (R, r, H, h) = 0其中S是目標(biāo)函數(shù)，g(R,r,H

20、,h)= 0是約束條件，V是已知的，即要 在體積一定的條件下求表面積最小值，R,r,H,h的取值各是多少。模型求解:利用1 ing o 軟件求解，設(shè) R = x1,r = x 3, H = x 2, h = x 4,且 a = 0.333, b = 0.111 貝 |J：S = 0.333兀(x1)2 + (x 3)2) + 2 兀(x1)( x 2) *0.111 +0.111* 兀(x1) + (x 3)J(x 4)2 +(x1) - (x 3)2)1、/c、 /、/八V =兀(x1)2(x 2) + 3 ”(x1)2 + (x1)( x 3) + (x 3)項(xiàng) x 4)利用lingo求解

21、得，H + h .5R ,r - 0時(shí)，S為最優(yōu)解。在假設(shè)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體，且厚度不 同，頂蓋、底部半徑是罐身的3倍的條件下，當(dāng)體積為固體參數(shù)，而表 面積最小時(shí)，通過1 ing。軟件得到H + h .5R，r - 0時(shí)，S為最優(yōu)解。對(duì)于問題四的模型有：考慮到易拉罐的穩(wěn)定性和使用的方便性，在考慮穩(wěn)定性時(shí)，只能采 用模型二和模型四的設(shè)計(jì)，將厚度比例視為本題的已知條件，帶入測(cè)量 所得的數(shù)據(jù)，并利用1 ing o求解模型得：目 標(biāo)函數(shù)：求minS = a兀(6r2 + 12ar + 6a2 + 2rh + ah)約束條件：V =兀r 2h設(shè)r = x1,h = x2,V

22、= 35第=O.111，在1 mgo中求解。比較模型二與第三 問中的模型四的結(jié)果，可以知道模型四比較優(yōu)化，但模型四脫離了實(shí)際， 所以r必須大于0。在r取不同的值時(shí)，模型的優(yōu)化如下所示，模型為：minS =0.333冗(x1)2 + (x3)2) + 2冗(x1)(x2)*0.111 +0.111* 冗(x1) + (x 3)( x 4)2 + (x1) - (x 3)2)1 7 2(x1)2( x 2) + 3 兀(x1)2+( x1)( x 3) + (x 3)2)( x 4)由表2可見當(dāng)r大于3時(shí)，圖形已經(jīng)不是最優(yōu)，省去后面的結(jié)果。即當(dāng) r小于3時(shí)，S的值都小于模型二的結(jié)果，因此可以得出結(jié)

23、論：模型四比 模型二的設(shè)計(jì)更優(yōu)。既然模型四比模型二更優(yōu)，那么是否可以吧模型四 的正圓柱底部也改成一個(gè)正圓臺(tái)？考慮上下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案(模型五)，材料體積S的方程如下：min S = 2anr2 + 2nRHb + 2瀝(R + r：:h2 + (R - r)2 1 、， 7 = nR 2 H + _ 兀(R 2 + Rr + r 2)h = 355利用 L ING O 計(jì)算，得 S=30.20864將上述S與模型四的結(jié)果比較，容易看出上下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案更 優(yōu)。但考慮到存放方便時(shí)，這樣易拉罐“站”不穩(wěn)，同時(shí)“易拉罐”一 定需要有一個(gè)拉環(huán)，如果設(shè)計(jì)在頂部(考慮使用方便)，r必須大于零。 進(jìn)一

24、步考慮上下都為圓臺(tái)時(shí)，r的合理取值。min S = 2 anr 2 + 2nRHb + 2瀝(R + r )(h 2 + (R r)2 1 、， V = nR 2 H + _ 兀(R 2 + Rr + r 2)h = 355利用LINGO分析r分別取，模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)，0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8， 2.9，3.0 得出的最優(yōu)解時(shí) R， H，h,S的值r0.51.01.52.02.1R3.91343.91443.91733.92343.9252H6.91066.89056.874476.89516.8570h1.22

25、651.09120.95870.81630.7859S30.549231.580433.315835.770736.6495r2.22.32.42.52.6R3.92713.92933.91383.93453.9375H6.85546.85436.85376.85386.8545H0.75460.72250.68950.65550.6205S36.957937.596138.264238.962536.6911r2.72.82.93.03.5R3.94093.94453.94853.95293.9815H6.85606.85836.86146.86556.9013h6.85600.54750.

26、50940.47020.2566S40.450141.239742.060242.911747.6418在現(xiàn)實(shí)中，拉環(huán)的測(cè)量值為4.25，手指的大小約1.11，則最優(yōu)設(shè)計(jì) 就是拉環(huán)穿過直徑，所以r=(4.25+1.11)/2=2.68，r近似為2.7,此時(shí)H=6.85。對(duì)于問題五：剛開始接觸數(shù)學(xué)建模讓我覺得很困難，原本數(shù)學(xué)成績(jī)就不甚理想， 我也只是抱著試試看的心態(tài)參加了數(shù)學(xué)建模大賽。在接觸之后我發(fā)現(xiàn)， 數(shù)學(xué)建模其實(shí)就是把每一個(gè)問題實(shí)際化，同時(shí)他也解釋了我們?yōu)槭裁磳W(xué) 數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)建模主要是問題提出、問題分析、問題重述、模型假設(shè)、符號(hào) 說明、模型的建立與求解、模型的評(píng)價(jià)與推廣、參考文獻(xiàn)、附錄這幾大 步驟組成。其中，最為困難、最為費(fèi)事的是模型的建立與求解。模型的建立與 求解是整篇論文的關(guān)鍵。就如同本文。本文在研究易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案時(shí)還涉及到了力學(xué)、美學(xué)、工程 學(xué)等等方面的知識(shí)。建立一個(gè)有用的模型，要經(jīng)過多方面的考量，以及 數(shù)據(jù)的查驗(yàn)。所以說，模型的建立是數(shù)學(xué)建模的最重要部分。數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用，他不是單一的數(shù)學(xué)， 而是數(shù)學(xué)與各個(gè)學(xué)科的結(jié)合。于我們的生活息息相關(guān)。其次