數理統計題目

1、已知維尼綸纖維在正常條件下服從正態(tài)分布，且標準差0.048，從 某天產品中抽取5根纖維，測得其纖度為1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，問 這一天纖度的總體標準差 否（是/否）正常。解：這是一個關于正態(tài)總體方差的雙側檢驗問題，待檢驗的原選擇和 備擇假設分別為H ：。2 = 0.0482VSH：b 2,0.0482此處n=5，若取顯著性水平偵=0.05，查表知y 2 ( 4)=0.4844, x 2 ( 4)0.0250.975=11.1433，故拒絕域為 W= X 2 11.1433，由樣本數據可計算得到X 2 =（ 一1）2 = 0.03112 = 13.5069 11.143

2、3Q 20.04820因此拒絕，認為這一天纖度的總體標準差不正常。設總體XN（ 0，。2）*.頃10,.頃15為總體的一個樣本.則Y= X+ X； +八+ XJ。2 ）服從分布，參數2 X 2 + X122 + A + X；/為.【解】X M0,1）,i=1,2,.,15.那么 bX 2 =耳 X K X 2（10）,X 2 =耳 X L X 2（5）1i=1 C ,=11 J且X 2與X 2相互獨立， 12所以X 2/101X 2/52F (10,5)Y_ X 2 + L + X12 =2( Xi+ L + X；)所以YF分布，參數為（10,5）設總體X服從二項分布b ( n , p ),

3、n已知，X1，%，X。為來自X的樣本，求參數p的矩法估計.【解】E(X) = np,E(X) = A1 = X,因此 np= X所以p的矩估計量p = Xn 設的(X1,X2, .,Xn)是。的估計量，若，則稱的為。的無偏 估計量，否則稱為。的有偏估計量?！窘狻?對一切6e0，E(A0)=0設總體為均勻分布U(0, 0 )，X1 ,X n是樣本,考慮檢驗問題H0 : 0 3 vs H1 ：0 3，拒絕域取為W = ( x (n) 2.5，若要使得 該最大值a不超過0.05, n至少應取_.答案為17解】因均勻分布最大順序統計量褊 的密度函數為乩=寫廠心= =丁 = |S J a J要使得0,0

4、5,甘0.05 .佇型陛=16,43，ln(5/6)故神至少為17.6 .從一批電子元件中抽取8個進行壽命測試，得到如下數據(單 位：h )：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，試對這批元件的平均壽命以及壽命分布的標準差給出矩估計.解：平均壽命U的矩估計r = X =1143.75 ；標準差。的矩估計U 八=s* = 89.8523 . 設隨機變量X的概率密度為：f, 0 0，X 1,A ,X是來自X的樣本，求。的矩估計； TOC o 1-5 h z 解：E(X) = J+8xf (x)dx = fdx = -0， fo 0 23令e(X)= X=2

5、0，得0”=3 X為參數0的矩估計量。328.設總體Xn(0,. 2)，且x ,x A x是樣本觀察值，樣本方差s2 = 2， 1210求b 2的置信水平為0.95的置信區(qū)間；解：g的置信水平為0.95的置信區(qū)間為18 , 18 ，即為7 2 (9) y 2 (9)M 0.025 (9) 7 0.975(9(0.9462，6.6667 )；9.設x 1； X 2, X 3, X 4為取自總體x *3,42)的樣本，對假設檢驗問題H0：口 = 5,H1：5，在顯著性水平0.05下求拒絕域拒絕域為I=解： 乙0 025 = 1.96=4/ v410.設x ,x ,L ,x是來自正態(tài)分布N S,b2

6、)的樣本，在日已知時給 12n出b2的一個充分統計量；解：在日已知時，樣本聯合密度函數為p (x , x ,L , x ;b 2) = (2 兀b 2) - w /2 exp-z ( x 一日)212 n2b 2i=1令T = Z (x -R)2 ,取 i i=1g(t；b2) = (2兀b2)-n/2 exp-_L_,h(x) = 1,由因子分解 2b 2定理，T = Z (x -P )2為b 2的充分統計量。i=111.設總體X項(0,b 2)，且，,A x是樣本觀察值，樣本方差s2 = 2，已1210知y = X!z2(1)，求D11的置信水平為0.95的置信區(qū)間；b2lb3解：(X o

7、 975 (9) = 20，lb 3 J b 2X 0.025 =19.023)。Dlb2 JD X 2(1) =lb 3 J即為(0.3000，2.1137)。由于】擋=是b 2的單調減少函數，置信區(qū)間為_!, b 212.以下是某工廠通過抽樣調查得到的10名工人一周內生產的產品數149 156 160 138 149 153 153 169 156 156Fn（ x）二0, x 138, 0.1,138 x 149, 0.3,149 x 153, 0.5,153 x 156 0.8,156 x 160, 0.9,160 x 169則這批數據構造經驗分布函數解：此樣本容量為10,經排序可得到

8、有序樣本x = 138, x = x = 149, x = x = 153,x = x = x = 156, x = 160, x = 169,則經驗分布函數為Fn（ x）二0, x 138, 0.1,138 x 149, 0.3,149 x 153, 0.5,153 x 156 0.8,156 x 160, 0.9,160 x 169若把樣本中的數據與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之和為.解：0若統計量T是充分統計量，統計量S與統計量T 一一對應，則解：統計量S也是充分統計量(是，否)是統計量.15.設X ,X ,X是取自總體X的一個樣本，a是X X X未知參數，則 123a 123X

9、1 + X 2 + X 3解：統計量不含有未知量樣本均值的相合估計是，樣本標準差的相合估計是.解：樣本均值的相合估計是總體均值，樣本標準差的相合估計是總體 標準差.設總體X的概率密度為f (x)=(9 +1) x 0 ,0 V x V 10, 其他其中未知參數0 -1，X , X,A X是取自總體的簡單隨機樣本，用極 大似然估計法求0的估計量。解：設似然函數面)=S 1)xe (0 V xi V 1； i = 1,2,a，n)i =1+ X ln xii =1對此式取對數，即：ln L(0) = nln(0 +1) +0 XIn x.且= i=1令dnL = o,可得。=_一，此即0的極大似然

10、估計量。d0寸L ln xii =1設某機器生產的零件長度(單位：cm)x N(口q2)，今抽取容量 為16的樣本，測得樣本均值x = 10，樣本方差占2 = 0.16.檢驗假設 H0 2 2 0.1 (顯著性水平為0.05).(附注) 七05(16) = 1.746, t005(15) = 1.753, t0025(15) = 2.132,X2 (16) = 26.296, %2 (15) = 24.996, %2 (15) = 27.488.0.050.050.025解：H0:a 2 0.1的拒絕域為x2小和-1).15S 2x 2 15 X 1.6 24 , X 2 (15) 24.99

11、60.10.05因為 X 2 24 24.996 = x (15), 所以接受H.設某廠生產的一種鋼索：其斷裂強度x kg/cm2服從正態(tài)分布N (R ,402). 從中選取一個容量為9的樣本，得X = 780 kg/cm2.能否據此 認為這批鋼索的斷裂強度為800 kg/cm2 (a = 0.05).解：H0 : u=800.采用統計量U=又-u 0其中。=40, u0=800, n=9,a 005，查標準正態(tài)分布表得u =1.96 e 5aIU l=|780-800 I15,1 401I U l U ,應接受原假設,即可以認為這批鋼索的斷裂強度為 a 2 800kg/cm2.20.已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112)，現在測定了 9爐鐵水，含碳量平均數x =