數(shù)值分析考試及答案

1、數(shù)值分析考試及答案作者日期班級. . 學(xué)號 姓名宓 |_|_| 東北大學(xué)研究生院考試試卷2011 0 ，課程名稱：數(shù)值分析（共3頁）2012學(xué)年第一學(xué)期. 一、解（每題5分，共30分）1.設(shè)近似值x具有5位有效數(shù)字，則x的相對誤差限為多少?解：記x*0時2.10m，則x的相對誤差為:0.5 10m 50.aa210mo. 即，相對誤差限. 為：0.5 1050.5 100.10.5 10總分四五4.對方程 f (x) (x3 a)2斂？若收斂，收斂階是多少?解：Newton迭代格式為：f(xk)由于迭代函數(shù)為：（x）0建立Newton迭代格式，并說明此迭代格式是否收f (Xk)Xka6x26X

2、k，方程根 為：xk56k 6：k2,k012-3 a,所以,2.問a, b滿足什么條件時，矩陣A4 2 02 5a有分解式A GGt，并求a b 2時所以，此迭代格式收斂，收斂階是 1.2/942 0210解：由于A 25 a12a/2（A對稱正定時）0b 50b/25ab/4所以，當2 .5a b 25時有分解式A GGt，a b 2 時有：4 2 02 0 02 1 0A2 5 21 2 00 2 10 2 50 1 20 0 23.解線性方程組X1 2x22的Jacobi迭代法是否收斂，為什么？2x1 9x23的分解式（其中g(shù)是對角線元素大于零的下三角形矩 陣）解：Jacobi迭代矩陣

3、為：B(B)2/3 12,所以, 設(shè) f (x)4x3 3x 5，求差商 f0,1, f1,2,3,4和 f 1,2,3,4,5。的C 牛 f(1 f(0C / 匚 7 TOC o 1-5 h z 解：f 0,12 ( 5)71 0f1,2,3,44, f1,2,3,4,50設(shè)p2 (x)是區(qū)間0, 1上權(quán)函數(shù)為x的二次正交多項式，計算積分x2p2 (x) dx.01 2 1 /解：0 x P2 (x) dx 0 x x P2(X)dx x, P2 (x) 0所以，Jacobi迭代法是否收斂、解答下列各題：(每題8分，共48分)2c 1，a be 2， ac。，解得：ac 1/2,b1,x1

4、0.3x2 0.2x3 11.用Gauss-Saidel迭代法求解方程組x2 0.4x3 2，如果取初值XI X31所以，H3(x)4 .確定求積公式1(x 2)( x 2 2x 1)211if(x)dx2f( 1(X1T23x 2)。A2f (1)中的待定系數(shù)，使其代數(shù)XO (0,0,0)t,試估計迭代10步的誤差| |xioX*1 OO1O0.30.2O 0.30.2密G (D L) u 1O 1OOO0.4OO0.41 O1OOOO 0.30.2解：由于Gauss-Saidel迭代矩陣為:所以，p| 0.5,由于Gauss-Saidel迭代格式為:X(k 1)0.3x2O-2x3k)1x

5、2k 1)0.4x32，所以,X3k 1)x1k 1 1X(1)(1,2, 2)t， X(1)X(0)2，于是1 gG m x(0)2 .給定離散數(shù)據(jù)O.510O.5280.00390625Xi-1O12V2-113256試求形如y a bx2的擬合曲線解：由于o(x)1,1(X) X2,所以。(1,1,1,1)T,1(1,0,1,4)t,f (2, 1,1,3)t，所以，正則方程組為:4a 6b 56a 18b 15精度盡可能高，并問此公式是不是插值型求積公式.解：令公式對f(x)1,X都精確成立，得：A1A2 3/2, A1/2,i11所以，A 1, A2 1/2時，公式f(x)dx 1

6、f( 1) f(0)1 f(1)代數(shù)精度最高.122又由于公式對f(x)x2不能精確成立，所以，代數(shù)精度為1,不是插值型求積公 式。利用復(fù)化Simpson公式S?計算定積分I sinxdx的近似值，并估計誤差。3.解：I S2 sin O sin 2sin4sin 4sin (12 2)2.00456122446由于f(x) si nx的4階導(dǎo)數(shù)在O,上的最大值為：M4 1,所以.5m誤差為：| I S2 | 44 = 0.0066412880 2求解初值問題y sin(x 2y), x 2的改進Euler方法是否收斂？為什y(o)1么？解：由于 |sin(x 2y) sin(x 2y)| |

7、2qos(x 2 )(y y) | 2 | y y |即，函數(shù)f (x, y) sin(x 2y)連續(xù)，且關(guān)于變量y滿足Lipschitz條件，所以，改進Euler 方法收斂。所以，a O, b 5/6，擬合曲線為：y 5/6x23.求滿足條件f(O) 1,f(1)2,f(2)O,f(1) O的三次插值多項式H3(X)的表達式三、(9分)說明方程2x sinx 2收斂的迭代格式，使對任意初值x0 階。0在區(qū)間1 ,內(nèi)有唯一根，并建立一個2 2上，一都收斂，說明收斂理由和收斂2 21 1解：記 f(x) 2x si nx 2, f (x)2 cosx建立迭代格式:由于，迭代函數(shù)1 , -120,

8、Xk 1則 f (x) C ,且 f( )0, f ( )0,而且，所以，方程2x sinx必2 2 0在區(qū)間內(nèi)有唯一偵2Asin x.2k k(x) 2sin x232 2,(x)所以，此迭代格式對任意初值X。1又由于，()1 cos1, k 0,1,2,.11在區(qū)間,上滿足條件: 22 1 1(X)| 1 cosx |11,都收斂。2 20,所以此迭代格式1階收斂。四、(9分)已知求解常微分方程初值問題：y f(x,y), x a,s的差分公式：y(a)Yn 1Ynhf(Xh2，Ynh2f(xn， Yn)y。求此差分公式的階 解：由于Yn 1YfnhYfi)I2Jn7 f 2) O(h4)x Y nY(Xn1)Y (Xn) hY (xn)h21心)h3S (Y (Xn)所以，y(xYnfnhh2h3yQ 6y(Xn) O(h4)1) Yn 1O(h3)五、(4分)設(shè)矩陣M是n階方陣，M有一個絕對值小于1的特征值，且方程組x Mx g有唯一解x，證明：存在初始向量乂使迭代格式：x(k 1Mx(k) g, k 0,1,2,.產(chǎn)生的序列x(k)收斂到x*.解：由 x(k Mx(k) g 和 x* Mx*g 可得：x(k1) x*