第10講空間中平行關(guān)系的判定與性質(zhì)

1、第24講 空間中平行關(guān)系的判定與性質(zhì)一.基礎(chǔ)知識(shí)整合1.線(xiàn)面平行的判定定理文字語(yǔ)百圖形語(yǔ)百ra / b a a、b 雁若平囿外一條直線(xiàn)與此平囿內(nèi)的一條直 線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與平面平行七/ a2.面面平行的判定定理文子語(yǔ)百圖形語(yǔ)百符號(hào)語(yǔ)后如果一個(gè)平囿內(nèi)有兩條相父直線(xiàn) 都平田另一個(gè)平囿,則兩平囿平 行a 3, b 3a a, baan b= Aa/ B, b/_B，? a/ 3r3.線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理文子語(yǔ)百符號(hào)語(yǔ)后圖形語(yǔ)百如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平囿平行，那 么過(guò)該直線(xiàn)的任意一個(gè)平面與已 知平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行a / aa BaCl 片 bj?a / b4.面面平行的性質(zhì)定理文子語(yǔ)百符號(hào)語(yǔ)后圖形語(yǔ)百如

2、果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)a/ 3限a= a們3= b? a / b平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行.典例精析題型一：線(xiàn)面平行的判定例1:如圖，四邊形 ABCD, ADEF都是正方形，M C BD , NC AE,且BM = AN.求證：MN/平面CED.證明：如圖，連接 AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G,連接GE,因?yàn)锳B心D,所以AMMGBM 一、， AM方.所以MBMAM BM -，即 定=品.又因?yàn)?BD = AEMD+BMAG BD且AN= BM ,所以瞿=AN.所以MN /GE.又GEAG AE平面CED, MN2平面 CED,所以MN /平面CED.變式遷移1:在四棱錐P-ABCD中，四邊形

3、ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB、PC 的中點(diǎn)，求證：MN /平面PAD.1證明：取PD中點(diǎn)F,連接AF、NF、NM；M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，NF觸-CD, AM山 1一一 ，_ 觸CD,AM觸NF.，四邊形AMNF為平行四邊形，MN AF .又AF?平面PAD, MN?平面PAD,，MN/平面PAD.題型二：面面平行的判定例2:已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)分別在 PA、BD、PD 上，且 PM ： MA = BN ： ND= PQ ： QD.求證：平面MNQ/平面PBC.BP平面PBC, NQPBC,，NQ/平面PBC.又底面ABCD為平行四邊形,. BC

4、 /AD, . .MQ /BC.,.BC平面PBC, MQ1c 戶(hù)平面PBC, .MQ /平面PBC.證明： PM MA= BN ND = PQ QD,MIQ /AD, NQ BP.又MQ A NQ = Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 得平面MNQ /平面PBC.變式訓(xùn)練2:如圖在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M、N、P分別是CC1、 B1C1、C1D1 的中點(diǎn).求證：平面MNP /平面A1BD.證明：如圖所示，連接 B1D1, .P N分別是D1C1、B1C1的中點(diǎn)，2 乂ZP陷平面A，面.PN /B1D1.又 B1D1/BD,PN BD,又 PN平面 ABD,BD 平面 ABD

5、,.PN /平面A1BD,同理可得 MN /平面A1BD,又tMN n PN = N ,平面PMN/平面ABD.題型三：平行關(guān)系判定的綜合應(yīng)用例3:如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面 DBQ/平面PAO?解：Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面 DBQ/平面PAO.證明如下：設(shè) Q為CC1則PD觸QC,連接PQ,則由PQ觸DC觸AB,可知四邊形 ABQP是平行四邊形，.AP /BQ.平面面c沖面.APi=平面 DiBQ, BQ 平面 DiBQ,AP/平面 DiBQ.O、P分別為BD、DDi的中點(diǎn)，OP/BDi

6、.又OP平面 DiBQ, BDi 平面 DiBQ ,，OP/平面 DiBQ.又APP PO=P, 平面 DiBQ/平面PAO,當(dāng)點(diǎn)Q為CCi的中點(diǎn)時(shí)，平面 DiBQ/平面PAO.D變式訓(xùn)練3:如圖，正三棱柱 ABC AiBiCi的底面邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E, F分別是棱CC1, BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AC上的點(diǎn)，EC=2FB=2.則當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，MB /平面AEF ?試給出證明.解：當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí),MB /平面AEF.證明：如圖，當(dāng) M為AC中點(diǎn)時(shí)，過(guò) M作MG CE,交AE于G,連接GF.一 , 一 1. M為 AC中點(diǎn)，M(MCE又 FB/ CE EC= 2FB，M鍬 FB .四邊形 B

7、FGM一鏟。而m而咐1工為平行四邊形，GF/ MB又GF平面AEF MB 平面AEF所以MB/平 面AEF題型四：線(xiàn)面平行性質(zhì)的應(yīng)用例4:如圖所示,在DM上取一點(diǎn)證明：如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn),G,過(guò)G和AP作平面交平面 BDM于GH,求證：AP / GH.連接AC,交BD于O,連接MO.二四邊形ABCD是平行四邊形,. O為AC中點(diǎn)，又.M為PC中點(diǎn)，AP/OM.又. ApC 平面BDM ,OM 平面BDM ,. AP / 平面BDM ,又AP 平面 APGH ,且平面 APGH n 平面 BDM =GH ,AP GH.變式訓(xùn)練4:如圖所

8、示，已知異面直線(xiàn)AB, CD都平行于平面 “ 且AB, CD在的兩側(cè)，若AC,BD與a分別交于M,證明：如圖所示,連接 AD交平面aACD、平面 ABDDQ DN AMBNAQ NB MC-ND.于Q,與a的交線(xiàn).CD /a, ABAM BNN兩求證：MC=ND.例5:已知：平面 a/平面題型五：面面平行性質(zhì)的應(yīng)用初平面丫，兩條異面直線(xiàn)I、m分別與平面a、3、丫相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F.求證:AB DEBC EF-證明：如圖，連接DC,設(shè)DC與平面3相交于點(diǎn)G,則平面ACD與平面“、3分別相交于 直線(xiàn)AD、BG.平面DCF與平面3、丫分別相交于直線(xiàn) GE、CF.“DG DE內(nèi)有 GC=

9、EF.AB DG .因?yàn)閍/3,初% 所以BG/AD, GEQF.于是在4ADC內(nèi)有二=有不，在4DCFBC GCAB DE-=BC EF.變式訓(xùn)練5:如圖所示，設(shè) AB, CD為夾在兩個(gè)平行平面 ”，3之間的線(xiàn)段, 且直線(xiàn)AB, CD為異面直線(xiàn)，M, P分別為AB, CD的中點(diǎn).求證：直線(xiàn) MP /平面3 證明：過(guò)點(diǎn)A作AE心D交平面 3于E,連接DE, BE, .AE/CD , . AE CD確定一個(gè)平面，設(shè)為%則aCl尸AC, 3rlkDE .由于a/&AC DE (面面平行的性質(zhì)定理)WAE中點(diǎn)N,連接M、P 分別為 AB、CD 的中點(diǎn)，NP/DE, MN BE.又 NpC 氏 DEB

10、E 3,，NP/& MN 俯又 NPAMN=N, 平面 MNP/3 .MP . MP /限 題型六：平行關(guān)系性質(zhì)的綜合應(yīng)用例6:如圖，直線(xiàn) CD、AB分別平行于平面 EFGH , E、F、G、H分別在AC、AD、BD、BC 上，且 CD=a, AB = b, CD LAB.(1)求證：四邊形 EFGH是矩形；(2)點(diǎn)E在AC上的什么位置時(shí)，四邊形 EFGH的面積最大？解：(1)因?yàn)?CD/平面EFGH ,所以 CDEF, CD /GH ,所以 GH EF .同理EHGF,所以四邊形 EFGH為平行四邊形.又因?yàn)?AB1CD,所以HEJEF.所以四邊形 EFGH是矩形.(2)設(shè)CE=x, AC=

11、1,因?yàn)镠E AB,HE CE .所以所以 HE = xAB= xb.向理，EF= (1 x)DC = (1 x)a.所以 S 矩形 efgh=HEEF =AB CAx(1-x)ab=-(x- 2)2+：ab,當(dāng)且僅當(dāng)x=；時(shí)，S矩形efgh最大，即當(dāng)E為AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 EFGH的面積最大.變式訓(xùn)練6:如圖所示，已知 P是？ABCD所在平 面外一點(diǎn)，M, N分別是 AB, PC的中點(diǎn)，平面 PAD n平面 PBC=l.(1)求證:l/BC;(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.證明：(1) .AD/BC, ADW=平面 PBC, BC 平面 PBC,. AD/平面 PBC. 又平

12、面 PBCn 平面 RAD = l,，l/AD/BC.(2)平行.證明如下：設(shè) Q是CD的中點(diǎn)，連接 NQ, MQ, /M, N分別是AB, PC的中點(diǎn)，MQ /AD, NQ /PD.而 MQ n NQ = Q , ADA PD = D, 平面 MNQ/平面PAD. .MN 平面 MNQ ,，MN/平面PAD.三.方法規(guī)律總結(jié).直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理作為線(xiàn)線(xiàn)平行的依據(jù)，可以用來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)平行.直線(xiàn)與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行，即要證直線(xiàn)與平面 平行，先證直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化.證明面面平行時(shí)，要按“線(xiàn)線(xiàn)平行”、“線(xiàn)面平行”、“面面平行”的

13、證明順序進(jìn)行.當(dāng)題目中有多個(gè)平面平行時(shí)，要注意平行平面的傳遞性.兩平面平行的判定定理的條件中直線(xiàn) 相交很重要，而且在解題中常常被忽視.平行、4.線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)面平面平行化關(guān)系行、面的轉(zhuǎn)B選項(xiàng)，我們將異面直平面與平面平行的性質(zhì)四.課后練習(xí)作業(yè)一、選擇題1.下列說(shuō)法正確的是（B ）A.平行于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行B.同時(shí)與兩異面直線(xiàn)平行的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)C.如果一條直線(xiàn)上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面外，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行D,直線(xiàn)l不在平面a內(nèi)，則l/ a【解析】：A選項(xiàng)，若兩直線(xiàn)相交且同時(shí)與此平面平行也是可以的；線(xiàn)都平移到空間中的某一點(diǎn)相交，則它們確定一個(gè)平面，與此平面平行的平面平行于這兩條異面直線(xiàn)，顯然這樣的

14、平面有無(wú)窮多個(gè)；C、D選項(xiàng)，若直線(xiàn)與平面相交，則直線(xiàn)有兩點(diǎn)在平面外，直線(xiàn)也不在平面內(nèi)，但l與a不平行.2.若M,N分別是 ABC邊AB,AC的中點(diǎn)，MN與過(guò)直線(xiàn)BC的平面3的位置關(guān)系是（C ）A. MN / 3B. MN 與 3 相交或 MN 3C. MN / 3或 MN 3 D. MN / 3或 MN 與 3相交或 MN 3【解析】：當(dāng)平面3與平面ABC重合時(shí)，有MN 3;當(dāng)平面3與平面ABC不重合時(shí)，則3n平面ABC=BC.,.M, N分別為 AB, AC的中點(diǎn),MN BC.又 MN 8 BC .MN /限綜上有.若all 3, a %下列三個(gè)說(shuō)法中正確的是（D ）a與3內(nèi)所有直線(xiàn)平行；a

15、與3內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行； a與3無(wú)公共點(diǎn).A. B. C. D.【解析】a與平面3內(nèi)的直線(xiàn)可能平行，也可能異面，但與3無(wú)公共點(diǎn)，故選B.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（B ）兩平面平行，夾在兩平面間的平行線(xiàn)段相等；兩平面平行，夾在兩平面間的相等的線(xiàn)段平行；如果一條直線(xiàn)和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么它和另一個(gè)平面也平行； 兩平行直線(xiàn)被兩平行平面截得的線(xiàn)段相等.A. 1B . 2C. 3D . 4【解析】 易知正確，不正確，直線(xiàn)可能在平面內(nèi)，故不正確.如果AB、BC、CD是不在同一平面內(nèi)的三條線(xiàn)段，則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線(xiàn)AC的位置關(guān)系是（A ）A.平行 B.相交 C. AC在此平面內(nèi) D.平行或相交【

16、解析】如圖：E、F、G分別為AB、BC、CD的中點(diǎn).、F分別是AB, BC的中點(diǎn)，EFAC.又 EF 平面 EFG,且 AC平面 EFG .AC/平面EFG.在正方體 ABCD AiBiCiDi中，下列四對(duì)截面中彼此平行的一對(duì)截面是（A ）A,平面AiBCi和平面ACDiB,平面BDCi和平面BiDiCC.平面 BiDiD和平面 BDAi D,平面 ADCi和平面 ADC【解析】：如圖，AC /Ai CiADi /BCiACAADi=A在截面AiBCi和截面ADiC中，AiCi 門(mén) BCi = C3.如圖所示，在正方體BCCiBi的位置關(guān)系是（A ）A,平行B.相交C.在平面內(nèi)D.相交或平行平

17、面 add iAi /平此CCiBi【解析】? MD /平面BCCiBi.DM 平面 ADD iAi.已知平面 all 3, P是3外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)m與a、3分別交于點(diǎn)A、C,過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)n與a、3分別交于點(diǎn) B、D,且PA= 6, AC =9, PD=8,則BD的長(zhǎng)為（B ）24-A. i6 B. 24 或gC. i4 D. 2?！窘馕觥?第種情況，當(dāng) P點(diǎn)在“、3的同側(cè)時(shí)，設(shè) BD = x,則PB=8-x,PA PB 24PD PBAC = BD.BD = 5.第種情況，當(dāng) P點(diǎn)在a, 3中間時(shí)，設(shè)PB = x.PC=PA. x= 6Y8 =i6, .-.BD = 24.3.若不在同一

18、直線(xiàn)上的三點(diǎn)A、b、C到平面a的距離相等，且 A?%則（A. ”平面abcC. ABC中至多有兩邊平行于D. ABC中只可能有一邊與 a相交【解析】若三點(diǎn)在平面 a的同側(cè)，則a/平面ABC,有三邊平行于 a若一點(diǎn)在平bb. abc中至少有一邊平行于.Pi小面a的一側(cè)，另兩點(diǎn)在平面 a的另一側(cè)，則有兩邊與平面 a相交，有一邊平行%故BC中至少有一邊平行于5.如圖，在空間四邊形 ABCD中,=i：4,又H、G分另1J為BC、CD的中點(diǎn)，則（B ）E、F分別為邊 AB、AD上的點(diǎn)，且 AE : EB= AF : FDBD /平面EFGH ,且四邊形 EFGH是矩形B.EF /平面BCD ,且四邊形

19、EFGH是梯形C.HG /平面ABD,且四邊形 EFGH是菱形D.EH /平面ADC,且四邊形 EFGH是梯形i【解析】：.AE ：EB=AF FD = I 4, . EF BD且EF=BD.又H、G分別為BC、CD的中點(diǎn), 5iHG 觸 2BD.EF/HG 且 EFWHG.四邊形 EFGH 為梯形.BD 平面 BCD 且 EF 平面 BCD. EF /平面BCD.二、填空題6.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，MCAB, NCAD,若罌=黑，則MN與平面BDCMB ND的位置關(guān)系是AM AN【斛析】：加=ND, .二/BD.又MN平面 BDC, BD 平面 BDC ,. MN /平面BDC.

20、【答案】平行7.已知a、b、C為三條不重合的直線(xiàn)，a, & 丫為三個(gè)不重合平面，下面三個(gè)命題:b/ c? a / b; 丫/ a,3/ o? 丫/ 3;a/ % a/ -? a / 其中正確命題的序a可能在則平面 ABC【解析】由平行公理，知正確；由平面平行的傳遞性知正確；不正確，因?yàn)椤眱?nèi).【答案】8.在空間四邊形 PABC中，Ai、Bi、Ci分別是 PBC、APCA APAB的重心, 與平面AiBiCi的位置關(guān)系是.【解析】如圖，連接PCi, PAi,并延長(zhǎng)分別交 AB, BC于E、F兩點(diǎn)，由于Ci、Ai分別為PCi PAi一 .重心.,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，連接EF.又交二第二2”

21、.又一EF為9BC邊 AC 上的中位線(xiàn)，EF/AC,AC/AiCi,又 A1C1 平面 ABC, AC 平面 ABC,AiCi /平面 ABC,同理 AiBi /平面 ABC, AiBMAiCi = Ai,平面 AiBiCi /平面 ABC.【答案】平行.空間四邊形 ABCD中，對(duì)角線(xiàn) AC=BD=4, E是AB中點(diǎn)，過(guò)E與AC、BD都平行的截 面EFGH分別與BC、CD、DA交于F、G、H,則四邊形 EFGH的周長(zhǎng)【解析】AC/面EFGH, AC 面 ABC,面 ABC n 面 EFGH = EF ,AC/ii -EF. .E 為 AB 中點(diǎn)，下 為 BC 中點(diǎn)，. .EF = 3AC=2.

22、同理 HG = 2AC=2,iEH = FG = 2BD = 2.，四邊形EFGH的周長(zhǎng)為8.【答案】8ii.如圖，E, F, G, H分別是正方體ABCDAiBiCiDi 的棱 BC, CC，CiDi,證明:取BiDi中點(diǎn)O,連接GO,iOB,勿證 OG /Bi Ci,且 OG = 2BiCi,BE.如圖，平面“/平面 氏4ABC與AA B C分別在 a、3內(nèi)，線(xiàn)段AA 3一一 一BB、CC 都交于點(diǎn) O,點(diǎn) O 在 “、3之間，若 Saabc =2 , OA ： OA = 3 ：2,則 A B C的面積為.【解析】根據(jù)題意有S/Xbc=23.-.AA， BB相交，直線(xiàn)AA、BB確定一個(gè)平面

23、 ABA B,二,平面“/平面應(yīng).AB/A，B,易得ABOs4. 一一 AB OA 3A B O,評(píng)BCs/A，B C,由得a， =f 由得 A B OA 2三三=（3）2,s小乎.【答案】呼Sza b c 299三、解答題.在三棱柱 ABCA B C 中，點(diǎn)E,D分別是B C 與BC的中點(diǎn).求 證：平面A EB/平面ADC.證明：連接DE,二巳 D分別是B C 與BC的中點(diǎn)， DE觸AA ,AA ED是平行四邊形，AE/AD.A E 平面 ADC , AD 平面 ADC .A E/平面 ADC .又 BE 心C , BE平面 ADC , DC 平面 ADC ,，BE/平面 ADC , .A

24、E 平面 A EB,BE 平面 A EB, A EABE=E,.平面 A EB/平面 ADC .如圖，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面是梯形，AB / CD , CD = 2AB, P、Q分別是CCi、CiDi的中點(diǎn)，求證：面 ADiC/面BPQ.1一 i證明：.DiQ = 2DC, AB觸&CD,DiQ觸AB.二.四邊形DiQBA為平行四邊形， . DiA 觸 QB. .Q、P 分別為 DiCi、CiC 的中點(diǎn)， QP 心iC.DiCnDiA=Di, PQAQB=Q.面 ADiC /面BPQ.AA勺中點(diǎn)，求證: (i)GE/平面 BBiDiD; (2)平面 BDF /平面 BiDiH.1/BiCi,且 BE = BiCi,OG/BE 且 OG = BE,四邊形 BEGO 為平行四邊形，.OB/GE. .OB平面BDD1B1, GE平面BDD1B1,GE/平面BDDiBi.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1 /BD, .BiDi平面 BDF , BD 平面 BDF , .-.BiDi /WBDF ,連接HB, DiF,易證 HBFDi是平行四邊形，得 HD i/BF.H