魯棒控制H范數(shù)與Riccati

1、H范數(shù)與Riccati方程/不等式7/25/20221系統(tǒng)描述Guy7/25/20222哈密頓矩陣與黎卡提方程 設(shè)，而且，即Q和R是對(duì)稱的， 則哈密頓(Hamilton)矩陣定義為： 關(guān)于的矩陣方程： 稱為黎卡提(Riccati)方程。 7/25/20223其中 且B為列滿秩，C為行滿秩。哈密頓矩陣與黎卡提方程考慮代數(shù)Riccati方程和相應(yīng)矩陣H定義1：如果2n2n矩陣H滿足其中 ，則稱H為Hamilton矩陣。7/25/20224如果Hamilton矩陣H沒有虛軸上的特征值，則H矩陣具有下述性質(zhì)：若 ，i=1,2,n, 則 。即H的特征值以虛軸、實(shí)軸對(duì)稱。如果系統(tǒng)（A,B）能穩(wěn)定，（C,A

2、）能檢測(cè)，則矩陣H沒有虛軸上的特征值，且H的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為即存在H的非奇異特征向量矩陣W，使得即存在H的非奇異特征向量矩陣W，使得哈密頓矩陣與黎卡提方程 7/25/20225定理：矩陣代數(shù)Riccati方程存在唯一解且使 的充分必要條件是（A,B）能穩(wěn)定，(C,A)能檢測(cè)。若還有(C,A)能觀測(cè)，則P0.證明：充分性（1)解的存在性 （2）解的對(duì)稱性 （3） 為穩(wěn)定矩陣 （4）解的非負(fù)定性（5）解的唯一性必要性7/25/20226X=Ric(H)和dom(Ric)的定義定義: 滿足黎卡提方程 ,并且使ARX穩(wěn)定的X，稱為黎卡提方程的穩(wěn)定化解，用XRic(H)表示。定義: 若哈密頓矩陣H在

3、虛軸上沒有特征值，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定特征值的特征向量基 滿足式 ，其中X1是非奇異的，則Hdom(Ric)。7/25/20227有關(guān)哈密頓矩陣和黎卡提方程的結(jié)論結(jié)論1: 若Hdom(Ric)，XRic(H)，則 a) XXT； b) XAATXXRXQ0； c) ARX是穩(wěn)定的。結(jié)論2: 如果H在虛軸上沒有特征值，R是半正定的或半負(fù)定 的對(duì)稱矩陣，而且(A，R)是可穩(wěn)定的，則Hdom(Ric)。結(jié)論3: 若(A, B)是可穩(wěn)定的, (C, A)是可檢測(cè)的, 則哈密頓矩陣 dom(Ric), XRic(H)0。 當(dāng)(C, A)為能觀測(cè)時(shí)，則XRic(H )0成立。7/25/20228關(guān)于H范數(shù)的定理(1

4、)定理1：對(duì)于穩(wěn)定傳遞函數(shù)G(s)=C(sI-A)-1B，定義哈密頓矩陣 其中0，則下述條件式等價(jià)的：a) ;b) H 在虛軸上沒有特征值； c) 黎卡提方程 具有半正定解X0。7/25/20229關(guān)于H范數(shù)的定理(2)定理2： 的充要條件是M在虛軸上沒有特征值。 7/25/202210H范數(shù)計(jì)算的步驟選擇一個(gè)常數(shù)0; 計(jì)算哈密頓矩陣的特征值i；若有i在虛軸上，則增加，否則減少； 通過折半搜索不斷地進(jìn)行迭代計(jì)算，可使的搜索快 速收斂于 ，并且具有任意的精度。7/25/202211H范數(shù)計(jì)算的框圖開 始取兩個(gè)滿足 的初始值1 和2以及精度要求0 結(jié) 束noyesnoyes7/25/202212關(guān)于H范數(shù)的兩個(gè)基本定理(1)定理1：下述四個(gè)命題是等價(jià)的:b) 哈密頓矩陣 在虛軸上沒有特征值； a) ；c) 黎卡提方程 具有使 穩(wěn)定的半正定解X0； d) Hdom(Ric)，Ric(H)0。 7/25/202213定理2：下述兩個(gè)命題是等價(jià)的:a) ； b) 對(duì)于一個(gè)充分小的常數(shù)e 0，黎卡提方程 具有正定解X0。 關(guān)于H范數(shù)的兩個(gè)基本定理(2)7/25/202214H范數(shù)與Riccati不等式設(shè)嚴(yán)格正則有理傳遞函數(shù) ，則 為穩(wěn)定陣，且 的充分必要條件為存在矩陣P0，滿足Riccati不等式7/25/202215設(shè)嚴(yán)格正則有理