拋物線的綜合問(wèn)題

1、一對(duì)一輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名性別年級(jí)學(xué)科授課教師上課時(shí)間年 月曰第（）次課 共（）次課課時(shí)：課時(shí)教學(xué)課題拋物線的綜合問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)初步掌握與拋物線有關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、垂直等問(wèn)題的一些重要解題技巧；進(jìn)一步樹(shù)立數(shù)形結(jié)合、 函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想教學(xué)重點(diǎn) 與難點(diǎn)利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與拋物線的位置關(guān)系和有關(guān)弦長(zhǎng)等綜合問(wèn)題教學(xué)過(guò)程考點(diǎn)一、拋物線的基本概念拋物線的定義（1）文字形式：平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于它到一條定直線/ （點(diǎn)F不在直線l上）的距離的點(diǎn)的軌跡.其中F 叫焦點(diǎn)，定直線l叫準(zhǔn)線.（2）集合形式：M|MF| = d（M為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為定點(diǎn)，d為點(diǎn)M到定直線l的距離）

2、.拋物線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（p 0）y 2 = 2 pxy 2 = -2 pxx 2 = 2 pyx 2 = -2 py圖形L y.、Fx/xyl/O Fx性質(zhì)開(kāi)口方向向石1向左向上向下范圍x 0, y e Rx 0, x e Ry 0,=一p2，心=寫M = B = -P2)2 = P TOC o 1-5 h z 112 2 p 2 p4 p 24 p 24(2)由拋物線的定義，則AB = AF + bF = x + p + x + p = x + x + p 11122212由方程(1)得 y y = 2pm，工 + 工=m(y + y ) + p = 2pm2 + p1 21212

3、=2 p sin2 0 又, 0為直線| AB |的傾斜角，則m = cot 0. |AB = 2p(cot2 0 +1) = 2p csc2 0【例題5】【題干】已知點(diǎn)A(x ,y ),B(x , y ) (xx。0)是拋物線y2 = 2px(p 0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量 11221 2OA, OB 滿足 OA + OB = OA OB .設(shè)圓 C 的方程為 x2 + y2 (x + x )x (y + y )y = 0.(1)證明線段AB是圓C的直徑；2(5(2)當(dāng)圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為二一時(shí)，求P的值.【答案】(1)略(2)p = 2【解析】證明1：OA

4、 + OB = OA OB ,. (OA + OB)2 = (OA OB)2OA2 + 2OA - OB + OB -= OA 2% OB+ OB2整理得：OAOB =0，設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則MA MB =0，即(x x )(x x ) + (y y )(y y ) = 0，整理得:xi+ yi(x + x )x (y + y ) y = 0， 12121212故線段AB是圓C的直徑.證明 2： OA + OB = OA OB ,. (OA + OB)2 = (OA OB)2，OA2 + 2OAOB +OB2A2 2OAOB +OB2，整理得OA- OB = 0

5、，口1 x2 01% = 0頊 TOC o 1-5 h z 設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即虹七-虹約=1(x豐x ,x豐x )， x x x x12去分母得：(x x )(x x ) + (y y )(y y ) = 0，1212點(diǎn)(x , y ),(x , y ),(x , y )(x , y )滿足上方程，展開(kāi)并將(1)代入得:11122122X 2 + y 2 - (X + X ) X - ( V + V ) V = 0， 1212故線段AB是圓C的直徑.證明3:OA + OBOA - OB , (OA + OB)2 = (OA - OB)2，OA2 + 2OAOBOB2-OA

6、2- 2OAOB FB2，整理得:oaob =0，x_4X2 + yy產(chǎn)0以線段人嚇直徑的圓的方程為X +X、 V + V、1(X )2 + (V )2 = (X - X)2 + (V - V )2，2241212展開(kāi)并將(1)代入得:X2 + V2 (X + x )X - (V + V ) V = 0 ,1212故線段AB是圓C的直徑解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則_ X + XX = 12 2y = VV2V 2 = 2 pX , v 2 = 2 pX (p 0)，112-V 2 V 2 一一八-，又因 X X + y y2 = 0，=-4 p2，X - X 豐 0,. V - V

7、豐 01212X = X1 :X2 =(v 2 + V 2)=二(V2 + V 2 + 2y V ) - V_V2 = (V2 + 2p2)，24 p124 p121 24 pp所以圓心的軌跡方程為V2 = px - 2p2，設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則I L(y2 + 2p2)-2y II x - 2y I pI y2 - 2py + 2p21 I (y - p)2 + p21v；5p=75= 三 =，pp 2布當(dāng)y=p時(shí),d有最小值二5,由題設(shè)得5 = 5 ， - - p = 2.解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則_ X + XX = 12 2y = VV2y 2 - 2

8、px , y 2 - 2 px (p 0) TOC o 1-5 h z y 2 y 2 一八y2 yI-y1 -約=一| )，又因x -x + y - y - 0，X -x =-y - y， 12121212X - X 豐 0,. y - y 豐 0，12121 /、1y y 1(y2 + y 2) -(y2 + y 2 + 2y y )- =(y2 + 2p2)，24 p 124 p 121 24 pp所以圓心的軌跡方程為y2 - px - 2p2，設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為;，則m 二 2，因?yàn)閤-2y+2=0與y2 = px 2p2無(wú)公共點(diǎn),，c ，一，2(5所以當(dāng)

9、x-2y-2=0與y2 = px- 2p2僅有一個(gè)公共點(diǎn)吐該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為飛一x - 2 y - 2 - 0 (2)y2 - px - 2p2 (3) I 將(2)代入(3)得2 - 2py + 2p2 - 2p = 0p 0. = 4p2 - 4(2p2 - 2p) - 0，:p - 2.I 二(y 2 + y 2) - (y + y )| 4 p 1212:.d 二 0)XX1 2，又因 x - x + y - y = 01212當(dāng)y + y = 2p時(shí),d有最小值-,由題設(shè)得-% =三一， p = 212555【例題6】 【題干】已知橢圓C：號(hào)+ ： = 1,拋物線C

10、2: (y - m)2 = 2px(p 0),且C、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn).當(dāng)AB X軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)m=0 p = 9焦點(diǎn)不在直線AB上 8(2)當(dāng)m = 3時(shí)，直線AB的方程為y = -t6(x-1)當(dāng)m = - 3時(shí)，直線AB的方程為y = v 6 (x -).（1， 3 ）或2【解析】(1)當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1， 3 ).因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物

11、線上，所以9 = 2p，即p = 9.此時(shí)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，該 248216焦點(diǎn)不在直線AB上.(2)解法一 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由(I)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y = k(x -1).y = k (x-1)x2 V2消去 y 得(3 + 4k2)X2 -8k2X + 4k2 -12 = 0 .43設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X%) , (x2，y2),則x1,x2是方程的兩根，x1+x2= 8k .因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)的弦，所以|AB| = (2-2%) + (2-2x2) = 4-；(X + x2)，且=(x + ) + (x + ) = x

12、 + x + p . 1222-1，.、 從而 x + x + p = 4 二(x + x ). 12212AB+二=14 - 6 p8k 2所以x1+ x 2=-，即3解得k2 = 6,即k = ：6 .因?yàn)镃2的焦點(diǎn)礦(,m)在直線y = k(x-1)上，所以m = - k .當(dāng)m = 土?xí)r，直線AB的方程為y = f k(x -1); 當(dāng)m = - 3時(shí)，直線AB的方程為y = i6(x -1).解法二 當(dāng)C的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由(I)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程 TOC o 1-5 h z /X O 8(y 頂2 = 3X 消去 y 得(kx- k - m)2 = x .y =

13、k (x -1)3因?yàn)镃2的焦點(diǎn)尸弓，m)在直線y = k(x-1)上，所以 m = k(-1)，即 m = - k .代入有(kx- )2 = x .3333即 k 2 x 2 - |(k 2 + 2)x + 專=0 .設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X%),(x2，y2), 則x1，x2是方程的兩根，X+x2= 二上:2).y = k (x -1)x2y2消去 y 得(3 + 4k2)x2 -8k2x + 4k2 -12 = 0.+ = 143由于x1，x2也是方程的兩根，所以x1+x2= 3氣日-從而 4(k 2 + 2) = 8k 2 .解得 k 2 = 6,即k = *6. 3k 23 + 4

14、k 2因?yàn)镃2的焦點(diǎn)Ff(3,m)在直線y = k(x-1)上，所以m = -k即 m = - 或 m =-史 .3一直線AB的方程為y = M(x -1);當(dāng)m = -時(shí)，3直線AB的方程為y =七6(x -1).當(dāng)m =-時(shí)3解法三設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為g*) , (x2,y2), 因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn)F(1,0)，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)F，(：, m)， 所以|aB = (x1 + p) + (x2 + p) = x1 + x2 + p = (2-2x1) + (2-2x2).即 x1 + x2 = 3 (4 - p) = ?.由(I)知x豐x，于是直線AB的斜率k = &1 = Q = 3

15、m，.1%-%2-13且直線AB的方程是y = -3m(x -1),所以 y1 + y 2 = -3m( x1 + x 2 - 2) = m.又因?yàn)?2+4*=12，所以3(x + x ) + 4(y + y, = 0 .3x 2 + 4 y 2 = 121212 x2 - x1廠 r 將、代入得m 2 = 2，即m =-或m =-.333時(shí)，直線AB的方程為y = f 6(x -1);時(shí)，直線AB的方程為y = *E(x -1).【例題7】【題干】如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2 = 8x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；若a為銳角，作線段AB的垂

16、直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明IFPI-IFPIcos2a為定值，并求此定值.【答案】(2, 0)x = -28【解析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 = 2px，則2p = 8，從而p = 4,因此焦點(diǎn)F(p ,0)的坐標(biāo)為(2，0).2又準(zhǔn)線方程的一般式為x = -P ,從而所求準(zhǔn)線l的方程為x = -2.2(2)解法一：如圖(21)圖作ACl，BDl，垂足為C、D，則由拋物線的定義知IFAI=IFCI,IFBI=IBDI.記 A、B 的橫坐標(biāo)分別為 x x，則FAI=IACI= x + =I FA I cos a + + =I FA I cos a + 4 解得 I FA I=，x zx 222

17、1 一 cos a類似地有I FB I= 4-1 FBI cos a，解得I FB I=41 + cos a4) 4 cos a=1 + cos a J sin 2 a記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則I FE I=I FA I -1 AE I=I FA I - FA + FB = -(I FA I -1 FB I) = 12211 - cos a所以 I FPI= FEI = .故I FPI -1 FPI cos 2a = (1 - cos 2a) = 2血 a = 8 . cos a sin2 asin2 asin2 a解法二：設(shè)A(xA, yA)，B(xB, yB)，直線AB的斜率為k = t

18、an a，則直線方程為y = k(x - 2).將此式代入 y 2 = 8x ,得 k 2x2 = 4(k 2 + 2)x + 4k 2 = 0，故 xa + xBk (k 2 + 2)記直線m與AB的交點(diǎn)為E(xE, yE)，則x + xB2(k 2 + 2)44，yE = k(xE - 2)=-，故直線m的萬(wàn)程為y 一 -2k 2 + 4 x+ 4 故1 FP I= xP 2 = 4令y=0，得p的橫坐標(biāo)xP k 2從而 I FP I 一 I FP I cos 2a = - (1 一 cos 2a) =a = 8 為定值.k 2 sin 2 asin2 asin2 a三，課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1

19、.如果P，1P是拋物線y 2 = 4 x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為xx，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若 8x, x，x(n e N *)成等差數(shù)列且x + x + x = 45，則IPF1=(1295).A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】B【解析】根據(jù)拋物線的定義，n)/氣,x2,x (n e N*)成等差數(shù)列且x + x + + x = 45,x = 5,| PF |=6129552.已知點(diǎn)A (3,4),F是拋物線y2 = 8x的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|MA| + |MF|最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是( )A. (0, 0)B. (3, 20C. (2, 4)D. (3, - 2 拓)【答案】C

20、【解析】設(shè)m到準(zhǔn)線的距離為mk |,則i ma i + mf i= ma+|mk|，當(dāng)ma+mk最小時(shí)，m點(diǎn)坐標(biāo)是(2, 4)，3.已知?jiǎng)訄AM與直線j =2相切，且與定圓C： x2 + (y + 3)2 =1外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為【答案】x 2 = -12 y【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M (x，y)，半徑為r，則由題意可得M到C (0，-3)的距離與到直線y=3的距離相等， 由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0, -3)為焦點(diǎn)，以y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2 = -12y .4已知過(guò)拋物線y2 = 9x的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12,則直線AB傾斜角為【答案】七或紅33【解析】由結(jié)

21、論：若AB是拋物線y2 = 2pp 0）的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為a,則AB |= 2P ，有 sin 2 a12= （其中a為直線AB的傾斜角），則sin a =3，所以直線AB傾斜角為J或當(dāng).sin2 a233【鞏固1.過(guò)拋物線J = ax2（a 0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p，q，則1 1+ =.p q【答案】1 +1 = 4a p q【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得x 2 =1J （a 0），從而2 p =1.取特殊情況，過(guò)焦點(diǎn)F的弦PQ垂直于對(duì)稱軸，則PQ aa1 11 1為通徑，即 |pq| = 2p =，從而 p = q =，故一+ = 4aa

22、2a p q2,設(shè)拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC1 y 軸.證明：直線A、C、O三點(diǎn)共線.【答案】直線A、C、O三點(diǎn)共線【解析】.拋物線的焦點(diǎn)為F （ p，0），2經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+ %，代入拋物線方程，得y2-2pmy-p2=0.設(shè)A（x1，y1） B（x2，y2），則y1 y2是該方程的兩根，*佻=叩2.BCx軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-p上，.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-p，y）. TOC o 1-5 h z 222.直線OC的斜率為k= 二 =2? = ，即k也是直線OA的斜率. HYPERLINK l boo

23、kmark73 o Current Document _pJ氣211.直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線J = x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)0的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足A。 BO （如圖所重心為G（即三角形三條中線的交點(diǎn)），求其軌跡方程.【解析】顯然直線AB的斜率存在，記為k, AB的方程記為：y=kx+b,0), A(x1,y1),B(x2,y2)，將直線方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,則有：Zl=k2+4b0 ，x1+x2=k ，x1x2= -b ，又 y2, y2=x22 TOC o 1-5 h z Ay1y2=b2；而AO BO = x1x2+ y1y2=0，得:-b+

24、b2=0且b0, Ab=1,代入驗(yàn)證，滿足;故y1+y2=k(x 1+x2)+2=k2+2； 設(shè)AAOB的重心為G(x,y)，則x= x 1 + x2 = k，3y= y 1 + y2 = k2 + 2,由兩式消去參數(shù)k得：G的軌跡方程為y = 3x2 + 2 .3334.已知點(diǎn)F為拋物線C: y2 = 4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m (m主0)，點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn).求直線PF的方程；求ADAB的面積S范圍；設(shè)AF =人FB，AP =目PB，求證冗+ 口為定值.【答案】(1)mx + 2 y 一 m = 0(4, +8)冗+ 口為定

25、值0【解析】(1)由題知點(diǎn)P,F的坐標(biāo)分別為(-1,m)，(1,0)，于是直線PF的斜率為-竺，2_m， 一、一 -所以直線PF的方程為y = - (x-1)，即為mx + 2y -m = 0 .(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x , y ),(x , y )，1122y 2 = 4 x,2 m2 +16 m 得m2x2 一 (2m2 +16)x + m2 = 0，所以 x + x =24m2 +16_.2| m |于是| AB |=氣+ x2 + 2 =克.點(diǎn)D到直線mx + 2y - m = 0的距離d = j耳，所以S_ 1 4( m 2 + 4) 2| m |2m 2扣 m 2 + 4

26、因?yàn)閙 e R且m。0，于是S 4，所以ADAB的面積S范圍是(4, +8).(3)由(II)及 AF =人 FB , AP 二目 PB，得H 曰。1 - x 于是人=，目=x -12-1 - x1x + 1（1-x1，中=人（寧1，j （-1-x，m- y）= * （x +1，又頂，(x 主 1).所以人+ 卜=E + 土 = 0 .2x -1 x +1(x - 1)(x +1)【拔高】已知點(diǎn)P在拋物線y2= 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q （2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為【答案】3 【解析】過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)R，由拋物線的定義知，pQ + PF = pQ + PR，

27、當(dāng)P點(diǎn)為拋物線與垂線l的交點(diǎn)時(shí)，PQ + PR取得最小值，最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，因準(zhǔn)線方程為x=-1，故最小值為32.已知拋物線y2 = 2px（p 0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)牛七，七），P2（x，y）I PF I成等差數(shù)列，則有P （x，y3）在拋物線上，且I PF I、I PF I、）A. x + x = xC. x + x = 2xB.D.【答案】C【解析】由拋物線定義，2( x 2 + p)=(氣 + p) + (x 33.已知點(diǎn)A （3,4），F(xiàn)是拋物線y2 = 8x的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|MA| + |MF|最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是（A. (0, 0) B.(3，23)C(2, 4)

28、 D.(3， 2 0【答案】C【解析】設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MK 則 I MA I + MF I= MA + |MK|，當(dāng) MA + M 最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），選C若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且I AM I= 17,I AF I= 3，求此拋物線的方程 【答案】x 2 = 4 y或x 2 = 8 yp、【解析】設(shè)點(diǎn)A是點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影，則AA , = 3，由勾股定理知I MA七2還，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（22,3 ），代入方程工2= 2 py得p = 2或4,拋物線的方程工2 = 4 y或x2= 8 y5 .設(shè)A、B為拋物線y2= 2px

29、上的點(diǎn)，且/ kcB = 90(O為原點(diǎn)),則直線AB必過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】(2p, 0)【解析】設(shè)直線OA方程為y =奴，由y = kx 解出A點(diǎn)坐標(biāo)為(2P 2P)、y 2 = 2 pxk 2，ky = -L X, / c 7、 4，而通徑的長(zhǎng)為 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線x2 = 4y上的點(diǎn)p到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 ()A. 3B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】利用拋物線的定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線y = - 1的距離為5,故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是2，一個(gè)等比中項(xiàng)是2后，且a八,則拋物線y 2 = (b - a) x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

30、()A. (0,-7)B. (0,1)C (-7,0)D. (-土。)424【答案】D【解析】 TOC o 1-5 h z 如果P, P，P是拋物線y 2 = 4 x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x , x，x , F是拋物線的焦點(diǎn)，若 128128x ,x，,x (n e N*)成等差數(shù)列且x + x + x = 45，則IP尸1=()12 n1295A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】B【解析】根據(jù)拋物線的定義，可知|pf| = x + P = x +1(, ，2,，n)，x , x，,x (n e N *)成等差I(lǐng) i I i 2 i= 11 2 n數(shù)列且 x + x + x = 45,

31、x = 5,I PF I=612955【鞏固1.拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為1，l與X軸相交于點(diǎn)E，過(guò)F且傾斜角等于60的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AB1，垂足為8，則四邊形ABEF的面積等于()A. 3切 B. 4(3C. 6*D. 8氣3【答案】C 【解析】過(guò)A作X軸的垂線交X軸于點(diǎn)岳，設(shè)a s ,計(jì))，則好=AB =m + 1, FH = OH - OF = m - 1，m + 1 = 2(m - 1) m = 3,n = 2,3SABEF12 + (3 + 1) x 2、3 = 6。322.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A

32、與x軸正向的夾角為60，則|OA為.【答案】M.【解析】過(guò)A作aD x軸于DC FD = m，則FA = 2m即2 + m = 2 m，解得m =:.A(3,2、R)OA = *32 + (2t3)2 =由3.在拋物線y = 4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y = 4x _ 5的距離為最短，求該點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1，1)2|4丫2_45I I4( x -上)2 + 4I【解析】解法1：設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(x,4x2)，點(diǎn)p到直線的距離d = 14x2 把心= 冬， TOC o 1-5 h z v17vi7 17當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取等號(hào)，故所求的點(diǎn)為(1，1)22解法2：當(dāng)平行于直線y = 4 x-

33、5且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點(diǎn)為所求，設(shè)該直線方程為y = 4 x + b代 入拋物線方程得4 x 2 - 4 x - b = 0由A = 16 + 16 b = 0得b = -1, x = 1，故所求的點(diǎn)為(1，1)22俄高】1.已知拋物線C : y = ax 2 (a為非零常數(shù))的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與拋物線c相切 的直線記為/ . (1)求F的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)F到直線l的距離最小？【答案】(o,土)(2) P (0,0)【解析】(1)拋物線方程為x 2=1 y故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,) TOC o 1-5 h z a4 a(2)設(shè)P(x , y

34、 )貝y = ax2 0000y = 2 ax , 在P點(diǎn)處拋物線(二次函數(shù))的切線的斜率k = 2 ax。直線 l 的方程是 y - ax2 = 2ax (x - x )即 2ax x y - ax2 = 0l00000八1 C0 ax2.d =, 物=1a 2 x 2 +1 _L. (2ax )2 + (1)24a|04|a|Y 0當(dāng)且僅當(dāng) 尤口 = 0時(shí)上式取“=”此時(shí) p的坐標(biāo)是 (0,0)當(dāng)P在(0,0)處時(shí)，焦點(diǎn)F到切線L的距離最小.2.設(shè)拋物線y2 = 2px ( p 0 )的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上， 且BCX軸.證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【解析】證明:因?yàn)閽佄锞€y2 = 2px (0 )的焦點(diǎn)為F P 0，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為I 2 Jx = my + p，代人拋物線方程得y2 2pmy - p2 = 0 .2若記A (x , y )，B (x , y )，則y , y是該方程的兩個(gè)根，所以yy = p 2.1 12 21 212因?yàn)锽CX軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x = p上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜p , yJ，故直線CO的斜率為k = 4P22P =七.