前面我們實(shí)際上學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的四個(gè)基本原理

1、 前面我們實(shí)際上學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的四個(gè)基本原理：原理1微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述原理2力學(xué)量可以用厄米算符來描述原理3體系狀態(tài)的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)來展開原理4體系狀態(tài)的波函數(shù)要滿足Schrodinger方程。今天我們開始學(xué)習(xí)第五個(gè)基本原理全同性原理5.5全同粒子系統(tǒng)和波函數(shù)的交換對稱性1、全同粒子經(jīng)典粒子：有軌跡，可分辨熱統(tǒng)中有介紹概念：在量子力學(xué)中，把固有性質(zhì)如電荷、質(zhì)量、磁矩、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子稱為全同粒子。故全同粒子在本質(zhì)上是不可分辨的。因而不能編號，交換任意兩粒子不影響體系。性質(zhì)：用量子力學(xué)的的第五個(gè)基本原理描述全同性原理：全同粒子體系的狀態(tài)不因粒子的交換而改變

2、。全同粒子具有的性質(zhì)：任何可觀測量，特別是Hamiltonian量，對于任何兩個(gè)粒子的交換是不變的，即交換對稱性。例1He原子中兩個(gè)電子組成的體系（我們只研究電子的運(yùn)動規(guī)律）電子的Hamiltonian表達(dá)式可以寫為2m2m2e22e2e2rIrrI212兩電子動能，兩電子與核庫侖能，兩電子相互作用能）顯然當(dāng)兩個(gè)電子交換時(shí)，Hamiltonian不變。設(shè)交換算符為P12則有？P2HP=H故估H=0。例2考慮N個(gè)全同粒子組成的多粒子體系，其量子態(tài)用波函數(shù)來描述。其中q.（i二1,2,N）表示第i個(gè)粒子的全部坐標(biāo)（空間和自旋）。i若P-.表示第i個(gè)粒子與第j個(gè)粒子的全部坐標(biāo)變換，即ijP屮（q,q

3、，,q，q，,q）ij12ijN三屮（q,q，,q，q，,q）12jiN根據(jù)全同性原理，有屮（q,q，q，q，q）TOC o 1-5 h z12jiNc屮（q,q，,q，q，,q）12ijN但P2屮（q,q，q，q，,q）ij12ijNPP屮（q,q，,q，q，,q）ijij12ijNcP屮（q,q，q，q，q）ij12ijNc2屮（q,q，q，q，,q）12ijN因而P21（想一想，為什么？），所以c21nc1。ij可見，全同粒子滿足下列關(guān)系之一：P屮+屮，（交換對稱）ijP屮-W（交換反對稱）ij結(jié)論：對全同粒子波函數(shù)的一個(gè)很強(qiáng)的限制，即全同粒子的波函數(shù)對兩個(gè)粒子的交換要么是對稱的，要么是

4、反對稱的。這一點(diǎn)務(wù)必記住全同粒子的本征態(tài)對于全同粒子，由前述可知PHP-1H，P,H0（i主j）ijijij而P是不顯含時(shí)間的，故所有P都是守恒量，且與H有共同的本征態(tài)。ijij容易證明，不是所有的P都對易，ij比如對任意全同粒子系的波函數(shù)V（rrr）ijkP（P屮（r廠廠）屮（r廠廠）ijjkijkjkiP（PV（r廠廠）屮（r廠廠）jkijijkkij屮（rrr）二屮（rrr）?jkikij即在此情況下，我們推不出PP=PP或P,P=0,ijjkjkijijjk即不是所有的P都對易，但容易看出，如果屮（rrr）滿足交換對稱或反對ijijk稱，則所有的P都是對易的ij試分析。事實(shí)上，對全同粒

5、子體系來說，所有的Pj所處的地位應(yīng)該是相同的。唯一可能的選擇ij是量子態(tài)是所有Pij的共同本征態(tài)。仔細(xì)分析表明，這種共同本征態(tài)是存在的完全對稱波函數(shù)或完全反對稱波函數(shù)。既然所有P.都是守恒量，所以其對稱性不隨時(shí)間變化即全同粒子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（Bose或Fermi統(tǒng)計(jì)）是不變的。全同粒子的分類所有的基本粒子可分為兩類：玻色子和費(fèi)米子1）玻色子：凡是自旋為方整數(shù)倍，波函數(shù)滿足交換對稱，遵從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)的粒子。如n介子（s=0）、光子（s=1）等。2）費(fèi)米子：凡自旋為方/2的奇數(shù)倍（s二1/2,3/2,），波函數(shù)對粒子的交換是反對稱，遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)的粒子。如電子、質(zhì)子、

6、中子等，s=1/23）復(fù)合粒子：由基本粒子組成，視其總自旋而定。奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的粒子仍為費(fèi)米子；由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子或玻色子組成的粒子均為玻色子。一般粒子的標(biāo)記：A。l:中子數(shù)，n:質(zhì)子數(shù)，m:質(zhì)量數(shù)（核子數(shù)）ml女口：2H，4He核子數(shù)為偶數(shù)，玻色子；3H,3He核子數(shù)為奇數(shù)，費(fèi)米子。11221221全同粒子波函數(shù)的構(gòu)造方法在忽略粒子間相互作用的情況下，完全對稱和反對稱波函數(shù)可通過單粒子態(tài)基矢乘積形式構(gòu)造出來；若有相互作用，則可按無相互作用基矢進(jìn)行展開。我們下面分別以雙全同粒子體系和N全同粒子體系為例來進(jìn)行說明。2、兩個(gè)全同粒子組成的體系簡介：忽略相互作用，Hamiltonian可表為HH二h(

7、q)+h(q)12qoqnH不變，故P,H二0。1212設(shè)h(q)的單粒子本征態(tài)為9(q)，本征能為，則有kkh(q)9(q)=9(q)kk其中k為力學(xué)量(包含H)的一組完備量子數(shù)。設(shè)一個(gè)粒子處于9態(tài)，另一個(gè)粒子處于9態(tài)，則它們組成的雙粒子態(tài)9(q)9(q)、9(q)9(q)k11k22k12k21對應(yīng)的能量都是+能量交換簡并k1k2按照全同粒子波函數(shù)的特點(diǎn)滿足交換對稱但任意兩粒子態(tài)的乘積不一定滿足這種交換對稱，比如若khk，則129(qi)9k(q2)與9(q2)9k(qi)不滿足交換對稱。1212T如何構(gòu)造對稱波函數(shù)？針對不同體系!波函數(shù)的構(gòu)造1)對玻色子，交換對稱，分兩種情況a.khk(

8、量子態(tài)不同)12歸一化波函數(shù)可表成屮汕1q2)=12譽(yù)吃(qi)9k(q2)k(q2)9k(qi)(1+P12)9k1(q1)9k2(q2)12其中為歸一化因子,P12是交換算符。b.k=k(量子態(tài)相同)12歸一化波函數(shù)可表成屮S(q,q)=9(q)9(q)kk12k1k2這是自然的結(jié)果。以上兩種情況所構(gòu)造的波函數(shù)都是交換對稱的。2）對費(fèi)米子，交換反對稱，歸一化波函數(shù)可表成）=+叩丘（%）卩（q2）一卩（q2）P（q1）1申（q）kiv2芯（qj=丄（1一P加（q加（q）y212ki1k22屮汕1q2i2k11k21k22申(q)ki2申(q)k22k12k21同樣2為歸一化因子,P2是交換算

9、符。由上式可知，若k=k，則屮A=0（不存在）12kkT泡利不相容原理泡利不相容原理：在全同費(fèi)米子體系中，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子處于同一個(gè)單粒子態(tài)中（包括坐標(biāo)、自旋量子數(shù)完全相同）T統(tǒng)計(jì)排斥性全同性原理對散射體系的影響設(shè)有兩個(gè)全同的自由粒子都處在動量本征態(tài)，本征值為札叫，討論它們在空間距離的幾率分布（1）無交換對稱性（或不考慮交換對稱性）兩粒子的波函數(shù)可表示為屮（r,r）=1ei（爲(wèi)+kpr2）Jkp12（2兀）3作變換r=r-r，R=三（r+r），以及k=（k-k），K=k+k，122122aBa卩上式中，rT相對坐標(biāo)，RT質(zhì)心坐標(biāo)，hkT相對動量，方KT質(zhì)心總動量。r-占r-K-K-

10、貝Ir=R+，r=R一一，k=+k，k=-k。1222a2P2此時(shí)波函數(shù)可表為1屮(rei(K-R+k-r)匚kp12(2兀)3二屮(R)(r)Kk屮K（R）質(zhì)心運(yùn)動（不考慮），。k相對運(yùn)動（研究目標(biāo)）即k(r)=初加eik-r。這樣，對于一個(gè)粒子在半徑（r,r+dr）的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的幾率為r2drJI甲(r)|2dQ=14兀廠2drk(2兀)3令其等于二4兀r2P（r）dr。的幾率。這里p=（常數(shù)），即均勻分布。因?yàn)榍驓んw積為4兀r2dr，則P（r）為幾率密度一一單位體積2）考慮交換反對稱波函數(shù)費(fèi)米子rrK根據(jù)前述R+2,與=R2，ka=2+k現(xiàn)在讓1分2nR不變，K不變，但r變號。

11、但由于ka，k0為量子態(tài)標(biāo)記與粒子占據(jù)無關(guān),k不變。這樣由前面的知識可知屮嚴(yán)）=當(dāng)1-P12）R7如2ieik-re-ik-r2i(2兀)3/2=2sin(k-r)(2兀)3/2因此對于一個(gè)粒子，在半徑（r,r+dr）的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的幾率為（幾率密度仍4兀r2Pa(r)dr=r2kdrjl申a(r)Ik2dQJd申Jsin2(krcos0)sin9d0(2兀)3004兀r2dr(2兀)34兀r2dr(2兀)3即Pa(r)=1(2兀)3此時(shí)屮S(r)=k1krJsin2(krcos0)d(krcos0)0sin(2kr)12krsin(2kr)2kr這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對稱時(shí)在空

12、間相對距離的幾率分布，見下圖。3)考慮交換對稱波函數(shù)玻色子13(2兀)3/2(1+P)eik-r12(2兀)3/2eik-r+eik-r=cos(k-r)(2兀)3/2同理可得PS(r)=1(2兀)31+sin(2kr)2kr可以看出，在空間波函數(shù)對稱情況下，兩個(gè)粒子靠近的幾率最大，而在交換反對稱的情況下兩個(gè)粒子靠近的幾率最小。無交換對稱時(shí)，P(r)r0、1這說明，玻色子統(tǒng)計(jì)吸引，費(fèi)米子統(tǒng)計(jì)排斥當(dāng)rTa時(shí)，P(r)T1說明交換對稱性只在兩單粒子波函數(shù)交疊處起作用，即此時(shí)才明顯地體現(xiàn)出交換對稱性。注意：全同粒子相對距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對稱性密切相關(guān)。這是可觀測效應(yīng)，尤其在電子-電子散射及

13、介子-介子散射中，這種全同性效應(yīng)可觀測到3、N個(gè)全同費(fèi)米子體系波函數(shù)的特點(diǎn)：反對稱(1)先考慮三個(gè)全同費(fèi)米子體系，無相互作用，即波函數(shù)可以用單粒子態(tài)波函數(shù)來進(jìn)行展開。設(shè)三個(gè)粒子處于不同的單粒子態(tài)9,9,P，其中kkk表示量子數(shù)集,TOC o 1-5 h zk1k2k3123即不僅僅表示動量，還可能同時(shí)表示其它量子數(shù)，如自旋量子數(shù)等。則反對稱波函數(shù)為 HYPERLINK l bookmark28 9(q)9(q)9(q)1k123屮A(q,q,q)9(q)9(q)9(q)ki，k2，k3123v3!k2,k2、k3、9(q)9(q)9(q)k31k32k33=9(q)9(q)9(q)+9(q)9

14、(q)9(q)k11k22k33k12k23k31+9(q)9(q)9(q)一9(q)9(q)9(q)k13k21k32k11k23k32-9(q)9(q)9(q)一9(q)9(q)9(q)k12k21k33k12k21k33=A9(q)9(q)9(q)k11k22k33其中A=丄1+PP+PP-P-P-P。J3!23132312231213稱為反對稱算子。(2)考慮N個(gè)全同費(fèi)米子體系設(shè)N個(gè)全同費(fèi)米子體系處于不同的單粒子態(tài)9,9,9，k1k2kN同樣k,k2,kN表示量子數(shù)集，則9(q)k19q)k2.1(qN)TOC o 1-5 h z9(q)9k1219(q)9(q)9k(q1)N9k(q

15、2)9k(qN)NNk22k2N=A9k(q1)9k(q2)9k(qN)12N其中A=芻乞8pP稱為反對稱算子。上述行列式稱為Slater行列式。丄為歸一化因子。8p=?N!p對N個(gè)粒子，單粒子態(tài)有N個(gè)。排列數(shù)？N!個(gè)P表示允許的置：換奇置換，偶置換比如原序123則：231123偶置換(2次)；321123奇置換(3次)很明顯，所有置換奇偶各半。此時(shí)81，分別對應(yīng)奇置換和偶置換。114、N個(gè)全同玻色子體系波函數(shù)的特點(diǎn)：對稱由于不受Pauli原理的限制，可以有任意數(shù)目的粒子處于同一狀態(tài)。設(shè)有n個(gè)Bose子處在k態(tài)上(i二1,2,N)，工n二N。在這些n態(tài)中有的為0,iiiii有的1，所以N個(gè)粒子

16、波函數(shù)可寫成工PP(q)甲(q)P(q)甲(q)k11k1nik2ni+1k2ni+n2Pn1個(gè)粒子n2個(gè)粒子P指那些只對處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對換而構(gòu)成的置換。比如也可以有：n個(gè)粒子處于k態(tài)，n個(gè)粒子處于k態(tài),2112這種置換共有N!/(n!n!n!)二N!/口n!12Nii因此歸一化對稱波函數(shù)為k1k2k叫，qN)二nn!:iiZN!pPg(q)甲(q)k11kNN特例：(1)N=2粒子體系，單粒子態(tài)有2Zkk2粒子的填充情況有兩種對稱波函數(shù)有兩個(gè)(見前面的討論)屮Skk12叫q2)=(1+P12吧(心匕)12wkk(q1，q2)卄W(q2)k1k2N=3粒子體系單粒子態(tài)有3Z叮111則對稱波函數(shù)可以寫為TOC o 1-5 h z屮S(q,q,q)=申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)111123,.3!112233122331+申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)132132132231+申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)122133112332=丄(1+PP+PP)+(P+P+P)(p(q網(wǎng)(q)申(q).J3!23132312131223112233這種對稱態(tài)有1個(gè)LJ!L2II210則對稱波函數(shù)可以寫為屮210(q1，q2,q3)=吉咔嚴(yán)1(q2)P2(q3)+1(q1)1(q3)2(q2)+1(q2)9