試驗(yàn)利用DFT分析離散信號(hào)頻譜

1、實(shí)驗(yàn)二 利用DFT分析離散信號(hào)頻譜一 .一 .一 ,、一3 兀._ ._ .1.利用FFT分析信號(hào)xk =cos(k), k =0,1，31的頻譜； 8確定DFT計(jì)算的參數(shù)；進(jìn)行理論值與計(jì)算值比較，討論信號(hào)頻譜分析過(guò)程中誤差原因及改善方法。答：(1)信號(hào)xk的周期 N=16,角頻率 w0=2*pi/N=pi/8; 作fft 的點(diǎn)數(shù)N=16。 (2)計(jì)算程序：N=16;k=0:N-1;x=cos(3*pi/8*k);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X);ylabel(幅度譜) xlabel(m)subplot(2,1,2);st

2、em(k-N/2,angle(fftshift(X);譜度幅ylabel(相位譜) xlabel( m) 計(jì)算結(jié)果： 8 6 4 2 0-8-6-4-202468譜位相m 4 2 0 -2 -4-8-6-4-202468m我們還可以利用ifft函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的傅里葉反變換，以得到時(shí)域上的xk,分析程序如下：N=16;k=0:N-1;x1=cos(3*pi/8*k);X=fft(x1,N);subplot(2,1,1)1 / 11stem(k,x1)ylabel(,傅里葉變換前的時(shí)域波形,)xlabel( k)x2=ifft(X,N);subplot(2,1,2)stem(k,x2)ylabel(

3、傅里葉反變換后的時(shí)域波形)xlabel( k)結(jié)果如下:-0.50.50-1101510.50-0.5-11015形波域時(shí)的前換變?nèi)~里傅 形波域時(shí)的后換變反葉里傅可以看出：經(jīng)過(guò)傅里葉變換和相應(yīng)反變換后的信號(hào)與原信號(hào)的時(shí)域波形完全相同。2.利用FFT分析信號(hào)xk =(1)kuk的頻譜；(1)確定DFT計(jì)算的參數(shù)；(2)進(jìn)行理論值與計(jì)算值比較，討論信號(hào)頻譜分析過(guò)程中誤差原因及改善方法。答：(1)信號(hào)無(wú)限長(zhǎng)，因此需要對(duì)其進(jìn)行截短。該序列單調(diào)衰減，當(dāng) k=10時(shí)，序列已幾 乎衰減為0,因此只取序列在區(qū)間0, 10上的數(shù)值進(jìn)行分析。(2)計(jì)算程序：k=0:10;x=(1/2).Ak;subplot(2,

4、1,1);stem(k,x);subplot(2,1,2);w=k-5;plot(w, abs(fftshift(fft(x);ylabel(幅度譜)2 / 11xlabel( w)計(jì)算結(jié)果:譜度幅-5-4-3-2.有限長(zhǎng)脈沖序列xk =2,3,3,1,0,5;k =0,1,2,3,4,5,利用FFT分析其頻譜，并繪出其幅度譜與相位譜。答：計(jì)算程序：k=0:5;x=2 3 3 1 0 5;w=k-3;subplot(2,1,1);stem(w,abs(fftshift(fft(x,6);ylabel(幅度譜)xlabel( w)subplot(2,1,2);stem(w,angle(fftsh

5、ift(fft(x,6);ylabel(相位譜)xlabel(w)計(jì)算結(jié)果：52， 1-35 0 5 01 1譜度幅-2-4-3-2.5-24 2 0-2譜位相-1.5-1-0.500.5wFFT的點(diǎn)數(shù)N?此3個(gè)頻率分別對(duì)應(yīng) FFT計(jì)算結(jié)果X m中FFT計(jì)算出白頻譜 X m會(huì)出現(xiàn)什么情況？.某周期序列由3個(gè)頻率組成:利用FFT分析其頻譜。如何選取的哪些點(diǎn)？若選取的 N不合適，,7 %、，,9 %xk = cos( k) cos(-1616答：序列xk的周期為N=32,取FF硒點(diǎn)數(shù)N=32行頻譜分析，程序如下: N=32;k=0:N-1;x=cos(7*pi/16*k)+cos(9*pi/16*

6、k)+cos(pi/2*k);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X);ylabel(幅度譜) xlabel( m) subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X);ylabel(相位譜) xlabel( m)分析結(jié)果： / 11i 120 0 5 0 5 02 2 11譜度幅-20-15-10-50m510154 2 0譜位相-4信號(hào)xk的三個(gè)頻率分別對(duì)應(yīng) FFT十算Z果Xm中的m=7,m=9,m=8對(duì)于離散周期序列進(jìn)行 FFT頻譜分析時(shí)取計(jì)算的點(diǎn)數(shù)為序列的周期 N,如果計(jì)算的點(diǎn)數(shù)不是此

7、離散周期序列的周期時(shí)， Xm會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)并不表示序列xk的頻譜，而相當(dāng)于將序列 xk的周期擴(kuò)大或者縮減后得到新信號(hào)的頻譜。在本例中，若取N=2032,則可以得到另外不同的幅度譜和相位譜，這里不再詳細(xì)畫(huà)出。5 / 11.某離散序列由 3 個(gè)頻率組成：xk = cos(2 7tk)+0.75cos( - 7tk), 0 k 63 1515利用FFT分析其頻譜。(1)對(duì)x k做64點(diǎn)FFT,繪出信號(hào)頻譜，能分辨出其中的兩個(gè)頻率嗎？(2)對(duì)xk補(bǔ)零到256點(diǎn)后計(jì)算FFT,能分辨出其中的兩個(gè)頻率嗎？(3)選用非矩形窗計(jì)算 FFT,能夠分辨出其中的兩個(gè)頻率嗎？(4)若不能夠很好地分辨出其中的兩個(gè)頻譜，

8、應(yīng)采取哪些措施？答：(1)對(duì)xk做64點(diǎn)FFT,程序如下：k=0:63;x=cos(2*pi/15*k)+0.75*cos(2.3*pi/15*k);X=fft(x,64);stem(k-32,abs(fftshift(X) ylabel(幅度譜) xlabel( m)可以得到幅度譜和相位譜如下：302520譜度15幅1050 -40Ell, ,：r . . MLLI：*III %,|l Uji 1 Iki m j i n j il Ti-30-20-10010203040102030-2-40-30-20-10O 譜位相40很明顯，根據(jù)上面的幅度譜不能分辨出信號(hào)xk中的兩個(gè)頻率。(2)對(duì)xk

9、補(bǔ)零后做256點(diǎn)FFT:k=0:63;x=cos(2*pi/15*k)+0.75*cos(2.3*pi/15*k);X=fft(x,256); n=-128:127 stem(n,abs(fftshift(X) 運(yùn)行結(jié)果如下：150根據(jù)上面的幅度譜不能分辨出信號(hào)xk的兩個(gè)頻率。(3)選用非矩形窗(主要有漢寧窗、哈明窗、布拉克曼窗和凱塞窗)計(jì)算fft ,能夠分辨其中的兩個(gè)頻率，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程我將在下學(xué)期和數(shù)字信號(hào)處理這門(mén)課一起學(xué)習(xí)。r (0.1k)2.已知序列xk=/e 2 ，k W500,others利用FFT分析下列信號(hào)的幅頻特性，頻率范圍為QW -%向,N=500點(diǎn)。yk =x2kgk =x

10、4k若將上述xk乘以cos(p k/2),重做(1)和(2)。答：序列xk是關(guān)于原點(diǎn)左右對(duì)稱(chēng)的，因此我只考慮原點(diǎn)右側(cè)信號(hào)的幅頻特性。程序如下:k=0:50; / 11 x=exp(-0.5*(0.1*k).A2);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,1) stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( xk的傅里葉變換,)xlabel( n)k=0:25;x=exp(-0.5*(0.2*k)A2);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,2) stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x2k的傅里

11、葉變換)xlabel( n )k=0:12;x=exp(-0.5*(0.4*k).A2);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,3) stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x4k的傅里葉變換) xlabel( n )根據(jù)上述程序，我得到的上述三個(gè)信號(hào)的幅頻特性如下圖所示：8 / 11變?nèi)~里傅的50100150200250換變?nèi)~里傅可以看出：信號(hào)在時(shí)域上進(jìn)行壓縮，對(duì)應(yīng)則在頻域上進(jìn)行擴(kuò)展，時(shí)域和頻域上的變換存在 著一種相反的關(guān)系。(3)若將上述x k乘以cos(p k/2),取p=3,則與前問(wèn)相同進(jìn)行頻譜分析，程序如下:symspp=3;k=

12、0:50;x=exp(-0.5*(0.1*k)A2).*cos(0.5*p*k);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,1)stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( xk的傅里葉變換)xlabel( n) k=0:25;x=exp(-0.5*(0.2*k).A2).*cos(p*k);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,2)stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x2k 的傅里葉變換) xlabel( n)9 / 11k=0:12;x=exp(-0.5*(0.4*k).A2).*cos(

13、2*p*k);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,3)stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x4k的傅里葉變換,) xlabel( n)運(yùn)行結(jié)果如下圖:100-250-200-150-100-500n501001502002506420 -250-200-150-100-500 n50100150200250n四.實(shí)驗(yàn)思考題.既然可直接由DTFT定義計(jì)算序列 DTFT為何利用DFT分析序列的頻譜？答：在時(shí)域，兩者都是離散時(shí)間序列，在頻域，DTFT是連續(xù)周期曲線 X(jw),而DFT則是與時(shí)間序列同長(zhǎng)的離散序列頻譜X(k)。matlab無(wú)

14、法計(jì)算連續(xù)變量 w,只能在范圍內(nèi)把w賦值為很密的、長(zhǎng)度很長(zhǎng)的向量k*dw來(lái)近似連續(xù)變量。也就是說(shuō)，能夠用計(jì)算機(jī)以很高效率計(jì)算的，只有離散傅里葉變換DFT,所以利用DFT分析序列的頻譜。.若序列持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，且無(wú)解析表達(dá)式，如何利用DFT分析其頻譜？答：當(dāng)序列為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，需要根據(jù)能量分布， 進(jìn)行截短。確定作FFT的點(diǎn)數(shù)N然后使用fft 函數(shù)作N點(diǎn)FFT計(jì)算X m。.在利用DFT分析離散信號(hào)頻譜時(shí)，會(huì)出現(xiàn)哪些誤差？如何克服或改善？答：DFT是DTFT在主值區(qū)間的等間隔采樣，DTFT則是DFT在密集的頻點(diǎn)上的插值，并作周10 / 11期延拓。插值肯定存在精度的問(wèn)題，因此用DFT分析離散信號(hào)頻譜時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差，我認(rèn)為可以通過(guò)增加作fft的點(diǎn)數(shù)N來(lái)減小插值間隔，從而克服或改善因插值帶來(lái)的誤差。.在利用DFT分析離散信號(hào)頻譜時(shí)，如何選擇窗函數(shù)?答：(1)若序列為離散周期序列，則先確定離散周期序列xk的基本周期N,然后利用fft函數(shù)求其一個(gè)周期的 DFT,得到Xm；(2)若序列為離散非周期序列，當(dāng)序列為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，需要根據(jù)能量分布，首先進(jìn)行截短。然后確定fft的點(diǎn)數(shù)N,使用fft函數(shù)作N點(diǎn)FFT計(jì)算Xm；(3)如果序列中有兩個(gè)非常接近的頻率，用矩形窗進(jìn)行fft計(jì)算難以分辨時(shí)，可以通過(guò)選擇