高考數(shù)學復習專題19《利用導數(shù)求函數(shù)的最值高考數(shù)學復習專題》講義及答案

1、專題19 利用導數(shù)求函數(shù)的最值一、單選題 1若函數(shù)yx3x2m在-2，1上的最大值為，則m等于（ ）A0B1C2D2已知函數(shù)，若對于任意的，存在唯一的，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A（e，4）B（e，4C（e，4）D（，43已知函數(shù)，對于任意都有，則實數(shù)的最小值為（ ）A0B2C4D64設(shè)函數(shù)當時（e為自然對數(shù)的底數(shù)），記的最大值為，則的最小值為（ ）A1BCeD5函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（ ）ABCD6已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，則以下結(jié)論正確的為（ ）A函數(shù)僅有一個零點，且在區(qū)間上單調(diào)遞增；B函數(shù)僅有一個零點，且在上單調(diào)遞減，在遞增；C函數(shù)有二個零點，其中一個零點為0，另一個零點為負數(shù)

2、；D函數(shù)有二個零點，且當時，取得最小值為.7函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（ ）ABC11D8某企業(yè)擬建造一個容器(不計厚度，長度單位：米)，該容器的底部為圓柱形，高為，底面半徑為，上部為半徑為的半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費用為3萬元，半球形部分每平方米建造費用為4萬元，則該容器的建造費用最小時，半徑的值為（ ）A1BCD29下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）的解集是；是極大值，是極小值；沒有最大值，也沒有最小值；有最大值，沒有最小值；有最小值，沒有最大值.A1個B2個C3個D4個10函數(shù)的最小值是（ ）ABCD二

3、、多選題11在單位圓O：上任取一點，圓O與x軸正向的交點是A，將OA繞原點O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角記為，若x，y關(guān)于的表達式分別為，則下列說法正確的是（ ）A是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；B在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；C在上恒成立；D函數(shù)的最大值為.12若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）A在內(nèi)單調(diào)遞增B和之間存在“隔離直線，且b的最小值為4C和間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是D和之間存在唯一的“隔離直線”三、解答題13已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，判斷是否存在

4、實數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求出的值；若不存在，請說明理由；14已知函數(shù)在x=1處取得極值-6. （1）求實數(shù)a，b的值； （2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.15已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在平面直角坐標系中，直線與曲線交于，兩點，設(shè)點的橫坐標為，的面積為.（i）求證：；（ii）當取得最小值時，求的值.16已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.17已知函數(shù)，.（1）當時，求在上的最大值和最小值；（2）若在上單調(diào)，求的取值范圍.18已知直線與拋物線交于A、B兩點，P是拋物線C上異于A、B的一點，若重心的縱坐標為，且直線

5、、的傾斜角互補（）求k的值（）求面積的取值范圍19某市作為新興的“網(wǎng)紅城市”，有很多風靡網(wǎng)絡(luò)的“網(wǎng)紅景點”，每年都有大量的游客來參觀旅游。為提高經(jīng)濟效益，管理部門對某一景點進行了改造升級，經(jīng)市場調(diào)查，改造后旅游增加值y萬元投入萬元之間滿足：（a，b為常數(shù)），當萬元時，萬元；當萬元時，萬元.（參考數(shù)據(jù)：）（1）寫出該景點改造升級后旅游增加利潤萬元與投入萬元的函數(shù)解析式；（利潤=旅游增加值投入）（2）投入多少萬元時，旅游增加利潤最大？最大利潤是多少萬元？（精確到0.1）20已知函數(shù)，（1）若曲線在點處的切線與直線重合，求的值；（2）若函數(shù)的最大值為，求實數(shù)的值；（3）若，求實數(shù)的取值范圍21已知函

6、數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點.22已知函數(shù)，且.（1）若函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，為的導函數(shù).若存在，使成立，求的取值范圍.23已知函數(shù)在時有極值0（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值24已知，函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值25已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）已知，若，求x的取值范圍；（2）若，存在最小值，且最小值為k，（i）若，求b的值；（ii）證明：.26已知函數(shù)的極值為.（1）求的值并求函數(shù)在處的切線方程；（

7、2）已知函數(shù)，存在，使得成立，求得最大值.27已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為（1）求b的值；（2）求函數(shù)的最值；28已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.29如圖，某校園有一塊半徑為的半圓形綠化區(qū)域（以為圓心，為直徑），現(xiàn)對其進行改建，在的延長線上取點，在半圓上選定一點，改建后綠化區(qū)域由扇形區(qū)域和三角形區(qū)域組成，設(shè).（1）當時，求改建后的綠化區(qū)域邊界與線段長度之和；（2）若改建后綠化區(qū)域的面積為，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，試問為多大時，改建后的綠化區(qū)域面積取得最大值.30已知函數(shù)(其中)，為的導數(shù).（1）求導數(shù)的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.

8、專題19 利用導數(shù)求函數(shù)的最值一、單選題 1若函數(shù)yx3x2m在-2，1上的最大值為，則m等于（ ）A0B1C2D【答案】C【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找出最值，解方程即可得到答案.【詳解】，易知，當時，當或時，所以函數(shù)yx3x2m在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當時，當時，所以最大值為，解得.故選：C2已知函數(shù)，若對于任意的，存在唯一的，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A（e，4）B（e，4C（e，4）D（，4【答案】B【分析】結(jié)合導數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，從而可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導函數(shù)為g（x）=2xex+x2ex=x（

9、x+2）ex，當時，由時，時，可得g（x）在1，0上單調(diào)遞減，在（0，1上單調(diào)遞增，故g（x）在1，1上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對于任意的，因為開口向下，對稱軸為軸，又，所以當時，當時，則函數(shù)在，2上的值域為a4，a，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對稱，在（，2上，函數(shù)單調(diào)遞減由題意，得，可得a40e，解得ea4故選:B【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點是這一條件的轉(zhuǎn)化.3已知函數(shù)，對于任意都有，則實數(shù)的最小值為（ ）A0B2C4D6【答案】C【分析】由題可得，只需滿足即可.【詳解】對于任意都有，即，當時，單調(diào)遞增；當時

10、，單調(diào)遞減；當時，即的最小值為4.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將不等式化為，利用導數(shù)求最值即可.4設(shè)函數(shù)當時（e為自然對數(shù)的底數(shù)），記的最大值為，則的最小值為（ ）A1BCeD【答案】C【分析】由，分，三種情況分別討論出函數(shù)在上的單調(diào)性，從而求出的最大值，再根據(jù)的解析式求的最小值.【詳解】當，即時，在時，則此時，在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增，則當，即時，在時，則所以在上單調(diào)遞增，則當，即時，若，則，此時單調(diào)遞增，則，此時單調(diào)遞增又時，兩段在處的函數(shù)值相等，所以在上單調(diào)遞增所以綜上所述可得：由一次函數(shù)的單調(diào)性可得當時，有最小值 故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本

11、題考查求含絕對值的函數(shù)的最值問題，解答本題的關(guān)鍵是打開絕對值得到，然后由時，當時， ，時，再由單調(diào)性得出最大值，屬于中檔題.5函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】對于函數(shù)，.當時，；當時，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，.故選：C.【點睛】利用導數(shù)求解函數(shù)在區(qū)間上的最值時，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在內(nèi)所有使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得6已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，則以下結(jié)論正確的為（ ）A函數(shù)僅有一個零

12、點，且在區(qū)間上單調(diào)遞增；B函數(shù)僅有一個零點，且在上單調(diào)遞減，在遞增；C函數(shù)有二個零點，其中一個零點為0，另一個零點為負數(shù)；D函數(shù)有二個零點，且當時，取得最小值為.【答案】D【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后可得最值及零點【詳解】是增函數(shù)，時，遞減，時，遞增，顯然，又時，在上也有一個零點，因此共有兩個零點故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的零點與最值解題方法是求出導函數(shù)，確定導函數(shù)的零點與正負，從而得原函數(shù)的單調(diào)性與極值，得最值，利用零點存在定理確定零點的存在性7函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（ ）ABC11D【答案】A【分析】先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法判定其在給定區(qū)

13、間的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，由得，由得或；又，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增；因此.故選：A.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在上的極值，再與，比較，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大（或最?。┲迭c，此結(jié)論在導數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.8某企業(yè)擬建造一個容器(不計厚度，長度單位：米)，該容器的底部為圓柱形，高為，底面半徑為，上部為半徑為的半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米.假設(shè)該容器的建

14、造費用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費用為3萬元，半球形部分每平方米建造費用為4萬元，則該容器的建造費用最小時，半徑的值為（ ）A1BCD2【答案】C【分析】根據(jù)體積公式用表示出，得出費用關(guān)于的函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極小值點即可.【詳解】解：由題意知，故，由可知. 建造費用，()，則.當時，時，.當時，該容器的建造費用最小.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)學建模能力，利用導數(shù)求解最值問題，考查運算能力，是中檔題.9下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）的解集是；是極大值，是極小值；沒有最大值，也沒有最小值；有最大值，沒有最小值；有最小值，沒有最大值.A1個B2個C3個D4個【

15、答案】B【分析】直接不等式可判斷；對函數(shù)求導，求函數(shù)的極值，可判斷；利用導數(shù)求函數(shù)的最值可判斷【詳解】解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以正確；由，得，令，則，解得或，當或時，當時，所以是極小值，是極大值，所以錯誤；因為是極小值，且當時，恒成立，而是極大值，所以有最大值，沒有最小值，所以正確，錯誤，故選：B【點睛】此題考查導數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)極值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題10函數(shù)的最小值是（ ）ABCD【答案】C【分析】對函數(shù)求導分析單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值【詳解】解：因為，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，有最小值，又，當時，有最小值，且故選：C【點睛】本題解

16、答的關(guān)鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值；二、多選題11在單位圓O：上任取一點，圓O與x軸正向的交點是A，將OA繞原點O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角記為，若x，y關(guān)于的表達式分別為，則下列說法正確的是（ ）A是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；B在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；C在上恒成立；D函數(shù)的最大值為.【答案】ACD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷A、B；根據(jù)輔助角公式知，再利用三角函數(shù)求值域可判斷C；對于D，先對函數(shù)求導，從而可知函數(shù)的單調(diào)性，進而可得當，時，函數(shù)取得最大值，結(jié)合正弦的二倍角公式，代入進行運算即可得解【詳解】由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，對于A，

17、函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確；對于B，由正弦，余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故B錯誤；對于C，當時，故C正確；對于D，函數(shù)，求導，令，則；令，則，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當即，時，函數(shù)取得極大值，又當即，時，所以函數(shù)取得最大值，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.12若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)

18、的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）A在內(nèi)單調(diào)遞增B和之間存在“隔離直線，且b的最小值為4C和間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是D和之間存在唯一的“隔離直線”【答案】AD【分析】求出的導數(shù)，檢驗在內(nèi)的導數(shù)符號，即可判斷選項A；選項B、C可設(shè)、的隔離直線為，對一切實數(shù)x都成立，即有，又對一切都成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出、的范圍，即可判斷選項B、C；存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線的方程為，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的最值.【詳解】對于選項A：，當時，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；故選項A正確對于選項BC：設(shè)、的隔離直線為，則對一切實數(shù)x都成立，即有

19、，即，又對一切都成立，則，即 ，即有且，可得，同理可得：，故選項B不正確，故選項C不正確；對于選項D：函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線的方程為，即，由，可得對于恒成立，則，只有，此時直線方程為，下面證明，令，當時，當時，當時，則當時，取到極小值，極小值是，也是最小值.所以，則當時恒成立.所以和之間存在唯一的“隔離直線”，故選項D正確.故選：AD【點睛】本提以函數(shù)為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對新定義的理解，考查函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題13已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，判斷是否存在實數(shù)，使函

20、數(shù)的最小值為2？若存在求出的值；若不存在，請說明理由；【答案】（1）答案見解析；（2）存在，.【分析】（1）先求，再對求導，對參數(shù)a進行討論確定導數(shù)的正負，即得函數(shù)單調(diào)性；（2）對參數(shù)a進行討論確定導數(shù)的正負，即得函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定最值等于2，解得符合條件的參數(shù)值即得結(jié)果；【詳解】（1）由，知，故 .當時，即在為減函數(shù)，當時，在上，所以在為減函數(shù)，在上，所以在增函數(shù).（2）當時，在為減函數(shù)，所以.故不存在最小值3.當時，在為減函數(shù)，所以，所以，不合題意，舍去.當時，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，由此，所以.解得，故時，使函數(shù)的最小值為2.【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最

21、值的步驟：寫定義域，對函數(shù)求導；在定義域內(nèi)，討論不等式何時和對應(yīng)得到增區(qū)間和減區(qū)間及極值點，進而比較端點和極值點的值確定指定區(qū)間的最值即可.14已知函數(shù)在x=1處取得極值-6. （1）求實數(shù)a，b的值； （2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1） ；（2）【分析】（1）求導，根據(jù)函數(shù)在x=1處取得極值-6，由求解. （2）由（1）知，分別求得極值和端點的函數(shù)值求解.【詳解】（1）由得：. 由題意知： 即 解得：經(jīng)檢驗符合題意. （2）由（1）知，令得：或，當x變化時，的變化情況如下：x-2(-2, 1)1(1, 2)2-0+21單調(diào)遞減-6單調(diào)遞增5由表可知：【點睛】方法點睛

22、：（1）導數(shù)法求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0的點，再計算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得；（2）已知函數(shù)的最值求參數(shù)，一般先用參數(shù)表示最值，再列方程求解參數(shù)15已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在平面直角坐標系中，直線與曲線交于，兩點，設(shè)點的橫坐標為，的面積為.（i）求證：；（ii）當取得最小值時，求的值.【答案】（1）的增區(qū)間為和；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）求導，令，再利用導數(shù)法研究其正負即可.（2）（i）設(shè)，(其中)，則的面積，即，由，得到，然后再由及，利用斜率公式得到求解；（ii）由（

23、1）得到為增函數(shù)，則最小最小最小，令，再利用導數(shù)法求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.，令，則.因為；，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).當時，即，當時，即.所以當時，所以在區(qū)間和上都是增函數(shù).因此的增區(qū)間為和，沒有減區(qū)間.（2）（i）證明：，設(shè)(其中)，由題意，得的面積，即.由，得，由及，得，所以，故成立.（ii）由（1），得為增函數(shù)，于是最小最小最小.令，則，再令，則，所以當時，單調(diào)遞增.又，所以存在唯一的，使得，即.當時，即；當時，即，所以是的極小值點，也的最小值點，所以當時，取得最小值，等價于最小，此時，所以.【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)與函數(shù)的最值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的

24、思想和運算求解的能力，屬于較難題.16已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對函數(shù)進行求導得，易得在上恒成立，即可得答案；（2）由題意得：恒成立，即在恒成立.構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；【詳解】（1）當時，顯然在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以；（2）因為，所以恒成立，即在恒成立.令；則當時，所以當時，令，因為，所以在單調(diào)遞減，所以，所以時，綜上，當時，恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以.【點睛】根據(jù)導數(shù)的正負研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立問題，常用參變分離進行求解.17已知函數(shù)，.（1）當時，求

25、在上的最大值和最小值；（2）若在上單調(diào)，求的取值范圍.【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）.【分析】（1）代入，對函數(shù)求導，利用導數(shù)正負確定單調(diào)性即可；（2）先利用極限思想進行估值時，來確定在上單增，再對分離參數(shù)，研究值得分布即得結(jié)果.【詳解】（1）當時，在和上為正，在和上為負，在和上單增，在和上單減，有，故在上的最大值為，最小值為；（2）由知，當時，若在上單調(diào)則只能是單增，在恒成立，即，令，則，在遞減，.【點睛】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：寫定義域，對函數(shù)求導；在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；利用單調(diào)性判斷極值點，比較極值和端點值得到最值即可.（2）函數(shù)在區(qū)間I上遞增，則恒成立

26、；函數(shù)在區(qū)間I上遞減，則恒成立.（3）解決恒成立問題的常用方法：數(shù)形結(jié)合法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法.18已知直線與拋物線交于A、B兩點，P是拋物線C上異于A、B的一點，若重心的縱坐標為，且直線、的傾斜角互補（）求k的值（）求面積的取值范圍【答案】（）2；（）.【分析】（）設(shè)，利用斜率公式得到直線、的斜率，根據(jù)直線、的傾斜角互補得到，根據(jù)三角形的重心的坐標公式可得，從而可得；（）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出邊上的高，根據(jù)面積公式求出面積，再利用導數(shù)求出取值范圍即可.【詳解】（）設(shè)，則，同理可得，因為直線、的傾斜角互補，所以，即，又重心的縱坐標為，根據(jù)三角形的

27、重心的坐標公式可得，所以，所以（）由（）知直線，與拋物線方程聯(lián)立，并整理得，其判別式，所以而，因此，又由（）知，所以，所以，到直線的距離為，所以令，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故.【點睛】結(jié)論點睛：本題中用到的結(jié)論：三角形的重心的坐標公式，若三角形的三個頂點的坐標為，則三角形的重心的坐標為，弦長公式：，本題考查了運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.19某市作為新興的“網(wǎng)紅城市”，有很多風靡網(wǎng)絡(luò)的“網(wǎng)紅景點”，每年都有大量的游客來參觀旅游。為提高經(jīng)濟效益，管理部門對某一景點進行了改造升級，經(jīng)市場調(diào)查，改造后旅游增加值y萬元投入萬元之間滿足：（a，b為常數(shù)），當萬元時，萬元；當萬元時，萬元

28、.（參考數(shù)據(jù)：）（1）寫出該景點改造升級后旅游增加利潤萬元與投入萬元的函數(shù)解析式；（利潤=旅游增加值投入）（2）投入多少萬元時，旅游增加利潤最大？最大利潤是多少萬元？（精確到0.1）（1）；（2）投入25萬元時，旅游增加利潤最大，最大利潤為11.9萬元.【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出，即可得答案；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最值；【詳解】（1）由已知得：，化簡得：，則該景點改造升級后旅游增加利潤為：；（2）由（1）得：則，令得，當時，單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；時，取得最大值，且，當投入25萬元時，旅游增加利潤最大，最大利潤為11.9萬元.【點睛】待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一般是

29、根據(jù)條件列出方程，再求參參數(shù)值；利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，可求得函數(shù)的最值.20已知函數(shù)，（1）若曲線在點處的切線與直線重合，求的值；（2）若函數(shù)的最大值為，求實數(shù)的值；（3）若，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）求出導函數(shù)，得切線斜率，得切線方程，與已知直線方程比較可得值，從而得；（2）求出導函數(shù)，由和正負確定單調(diào)區(qū)間，得最大值，由最大值為5可求得值；（3）不等式變形為即，令，即證然后分類討論，和，分別證明即可得【詳解】（1）因為，所以，則，點的坐標為，故切線方程為，即，由于它與直線重合，所以，解得，故 （2）因為，所以，由，解得，由，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)

30、遞減，而，所以，解得 （3）因為，即即，令，即有當時，所以不合題意；當時，當時，遞減，當時，遞增所以當時，取得最小值，最小值為，從而，符合題意；當時，（放縮）；又由知，符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)求最值，不等式恒成立問題，解題時要掌握用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的方法，由此才能確定函數(shù)的極值、最值，對不等式問題常常需要變形不等式，然后轉(zhuǎn)化，可能分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，也可以分類討論，利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化簡化原不等式，得到問題的解決21已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點.【

31、答案】（1）；（2）.【分析】（1）由在上有解可得的取值范圍（2）求出，由在兩個零點確定在上最小值是或，比較它們的大小得最小值，可得的零點【詳解】解：（1）在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，在上有解，又是對稱軸為的二次函數(shù)，所以在上的最大值大于0，而的最大值為，解得：.（2），由得：，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當時，在上的最大值點為，最小值為或，而，當，即時，得，此時，的零點為；當，即時，得（舍）.綜上的零點為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，用導數(shù)求函數(shù)的最值，及零點的概念求出導函數(shù)，解不等式（或）確定函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）是求單調(diào)性的基本方法求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般由單調(diào)性

32、確定極值，同時考慮區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值的大小才能得出最值22已知函數(shù)，且.（1）若函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，為的導函數(shù).若存在，使成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是，；（3）.【分析】（1）先求導函數(shù)，再由函數(shù)在處取得極值，得，代入求解參數(shù)，（2）由（1）可得，再求出函數(shù)的導函數(shù)，利用令和求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）將代入化簡，再求，然后得，令其為0，得，令，則問題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上的值域，利用導數(shù)求解【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為.，由題知即解得，所以函數(shù).（2）令得或，令得或.所以函數(shù)的單調(diào)遞

33、增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，（3），由條件存在，使成立，得，對成立，又對成立，化簡得，令，則問題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上的值域，求導得，令，為二次函數(shù)，圖象開口向上，則，又，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，值域為，所以的取值范圍是【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理23已知函數(shù)在時有極值0（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值【答案】（1），；（2）最小值為0，最大值為4【分析】（1）已知函數(shù)在處有極值0，即，通過求導函數(shù)，再代入列方程組，即可解得、

34、的值；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可【詳解】（1），由題知：，聯(lián)立（1）、（2）有或當時在定義域上單調(diào)遞增，故舍去；所以，經(jīng)檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或，由得，由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，減區(qū)間為：函數(shù)在取得極大值，在取得極小值；經(jīng)計算，所以函數(shù)的最小值為0，最大值為4【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是求出后，求出，然后，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，屬于基礎(chǔ)題24已知，函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由題得，再利用導數(shù)求

35、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得解；（2）證明，列出表格得出單調(diào)區(qū)間，比較區(qū)間端點與極值即可得到最大值【詳解】（1）由題得，令或，因為，所以，所以不等式組的解為或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；令或，解之得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）令，所以在，上是減函數(shù)，（1），即所以，隨的變化情況如下表：，0極小值，對任意的，的圖象恒在下方，所以，所以，即，所以函數(shù)在，上的最大值【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵點有兩個，其一：是構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)比較的大小；其二：是比較的大小，確定函數(shù)的最大值.25已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）已知，若，求x的取值范圍；（2）若，存在最小值，且最

36、小值為k，（i）若，求b的值；（ii）證明：.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）變形不等式得，然后證明恒成立，從而可得的范圍；（2）（i）利用，令可得，下面在的情況下求函數(shù)的最小值，利用導數(shù)的導數(shù)確定中有唯一零點，也是的最小值點，得，右邊先作為的函數(shù)，求出最小值是，又作為的函數(shù)，再用導數(shù)求其最小值為5，這樣由同時取最小值，因此可得值；（ii）先確定只有才有最小值，然后證不等式恒成立即可引入新函數(shù)，證明恒成立，即得原結(jié)論成立【詳解】（1）由題意，則，設(shè)，時，遞減，時，遞增，恒成立，（2）（i）由題意，取，則，又，令，則，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，存在最小值，存在唯一零點，

37、時，時，在上遞減，在上遞增，設(shè)，是增函數(shù)，設(shè)，則，令，則，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，時，遞減，時，遞增，上述最小值需同時取到，（ii）若，則時，無最小值，舍去；，設(shè)，則，時，遞減，時，遞增，即，又，【點睛】本題考查解函數(shù)不等式，函數(shù)的最值問題，用導數(shù)證明不等式，解題的基本思想是求導數(shù)，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的增減，得函數(shù)的最小值在確定導函數(shù)正負時需要對導函數(shù)再一次求導，通過多次求導才能最終確定函數(shù)的最值對多元函數(shù)問題需要簡化思路，一次只對其中一個變量研究其最值，在解決了一個變量后再研究第二個變量，最終達到目的，本題難度較大，對學生的邏輯思維能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想的掌握要求較高26已知函數(shù)的極值為.（1）求的值并求函數(shù)在處的切線方程；（2）已知函數(shù)，存在，使得成立，求得最大值.【答案】（1），切線方程為：；（2）最大值為.【分析】（1）利用切線方程的公式求解即可（2）將問題轉(zhuǎn)化為，經(jīng)過放縮得，轉(zhuǎn)化成，再利用導數(shù)判斷的最值情況，進而可求得最終答案【詳解】解：（1）定義域為R因為若則在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意，舍去若則令得所以解得經(jīng)檢驗，符