高中數(shù)學第六章平面向量初步6.1.1向量的概念學案新人教B版必修第二冊

1、- -1.1 向量的概念導學I聚I焦考點學習目標核心素養(yǎng)向量的概念理解向量的有美概念及向量的幾何表示數(shù)學抽象共線向量、相等向量理解共線向量、相等向量的概念數(shù)學抽象向量與幾何的關(guān)系正確區(qū)分向量平行與直線平行直觀想象研犢導學曾飽 W問題導學預習教材P133 P136的內(nèi)容，思考以下問題：.向量是如何定義的？怎樣表示向量？.向量的相關(guān)概念有哪些？.兩個向量能比較大小嗎？上新知初蒐.位移與向量(1)向量的概念一般地，像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量(也稱為矢量).向量的大小也稱為向量的模_(或長度)；只有大小的量稱為標量，長度、面積等都是標量.(2)向量的表示方法始點為a終點為b的有向線段表示的

2、向量，可以用符號簡記為AB此時向量XB勺模用i AB表示.除了用始點和終點的兩個大寫字母來表示向量外，還可用一個小寫字母來表示向量：在印刷時，通常用加粗的斜體小寫字母如a, b, c等來表示向量；在書寫時，用帶箭頭的小寫字母如E,蒼等來表示向量.始點和終點相同的向量稱為零向量.零向量的模為0.零向量的方向是不確定.模不為0的向量通常稱為非零向量.模等于1的向量稱為單位向量.e是單位向量的充要條件是|e|=1.名師點撥向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段.向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向 線段是規(guī)定了起點和終點的線段.向量的相等與平行一般地，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量.如果兩

3、個非零向量的方向相同或相反，則稱這兩個向量平行.因為零向量的方向不確定，因此通常規(guī)定零向量與任意向量平行.兩個向量a和b平行，記作 ajb.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.名師點撥共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.F.自我臨測:O判斷正誤（正確的打“，”，錯誤的打“X”） TOC o 1-5 h z （1）零向量沒有方向.（）（2）向量AB勺長度和向量BA勺模相等.（）（3）單位向量都平行.（）（4）零向量與任意向量都平行.（）答案：（1）X （2） V （3） X （4）， 在下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風速.其中可以看成是向量的 有（）A. 1個B.

4、2個C. 3個D. 4個解析：選B.不可以看成向量，可以看成向量. 關(guān)于零向量，下列說法中錯誤的是 （）A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為 0C.零向量只與零向量相等D.零向量的方向是任意的答案：A則圖中相等的向量是E）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，（填序號）. AteBb Ob| b| ,則ab;(2)若向量| a| = | b| ,則a與b的長度相等且方向相同或相反；對于任意向量| a| = | b| ,若a與b的方向相同，則a=b;(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.【解】(1)不正確.因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大小.(2)不

5、正確.由|a| =|b|只能判斷兩向量的長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系.(3)正確.因為|a| =|b|,且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得 a=b.(4)不正確.因為向量 a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定.規(guī)律疔r法(1)理解零向量和單位向量應注意的問題零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.(2)共線向量與平行向量平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別.共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.給出下列命題:若 a/ b, b / c,則 a / c；若單位向量的起點相同，則終點相

6、同；起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；向量XB與Cte共線向量，則 A, B, C, D四點必在同一直線上.其中正確命題的序號是 .解析：錯誤.若 b=0,則不成立.錯誤.起點相同的單位向量，終點未必相同.正確.對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的.錯誤.共線向量即平行向量， 只要求方向相同或相反即可.并不要求兩個向量Ah CD、須在同一直線上.答案：探究點直I向量的表示及應用例2(1)如圖，B, C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出個向量.(2)在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:OA使|OA = 44

7、2,點A在點O北偏東450處；危使|俞=4,點B在點A正東處；BC使|的=6,點C在點B北偏東30處.【解】可以寫出12個向量，分別是：AhACAb, BCBbSBACADA CB,db DC 故填 12.(2)由于點A在點O北偏東45處，所以在坐標紙上點 A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向 小方格數(shù)相等.又| OA = 442,小方格邊長為1,所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方 格數(shù)都為4,于是點A位置可以確定，畫出向量 0及口圖所示.由于點B在點A正東處，且AB =4,所以在坐標紙上點 B距點A的橫向小方格數(shù)為 4, 縱向小方格數(shù)為0,于是點B位置可以確定，畫出向量 AB如圖所示.由于點C在

8、點B北偏東30。處，且|的=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標紙上點 C距點 B的橫向小方格數(shù)為 3,縱向小方格數(shù)為 343=5.2,于是點C位置可以確定，畫出向量 Bb 口 圖所示.規(guī)律方法(1)向量的兩種表示方法幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點.字母表示法：為了便于運算可用字母a, b, c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如Ab, S(2)兩種向量表示方法的作用用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎.用字母表示法表示向量，便于向量的運算.跟踞訓一練某人從A點出

9、發(fā)向東走了 5米到達B點，然后改變方向按東北方向走了102米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點.(1)作出向量AB,配由(2)求AD勺模.解：(i)作出向量AB, BC CD如圖所示:(2)由題意得，BCD直角三角形，其中/ BDC= 90 , BC= 102 米，CD= 10米，所以BD= 10米. ABD直角三角形，其中/ AB氏北西AR東 南90。，AB= 5 米，BD= 10 米，所以 AD= .52+ ( 10) 2 =5(米)，所以|而=5。5米.探究點圖相等向量和共線向量例引 如圖所示， 混正六邊形 ABCDE的中心，且QA= a, OB= bOC= c.(1)

10、與a的長度相等、方向相反的向量有哪些?(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與 a, b, c相等的向量.【解】(1)與a的長度相等、方向相反的向量有 OD BC Ab FE與c相等的向量有電(2)與a共線的向量有EF, BCOdFE,CB 而 AODAAD(3)與a相等的向量有EF, DO CB;與b相等的向量有DC EQ FA互動探究.變問法本例條件不變，試寫出與向量 BG目等的向量.解：與向量Bb目等的向量有 Od AO FE.變條件，變問法在本例中，若|a|=1,求正六邊形的邊長.解：由正六邊形性質(zhì)知， FO秋等邊三角形，所以邊長 AF= |a|=1.相等向量與共線向量的探求方法

11、(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向 共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反 向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.如圖所示，四邊形ABC/ ABD是平行四邊形.(1)找出與向量AB共線的向量；(2)找出與向量AB等的向量.解：(i)依據(jù)圖形可知DC ED EbfAB方向相同，BA, Cd DE； CE與麗向相反，所以與 向量AB共線的向量為BA, Cb DC Eh DE EC CE(2)由四邊形ABCDf ABDE1平行四邊形，知 DC 亂AB長度相等且方向相同

12、，所以與向 量A卷目等的向量為向口 ED驗證反情達標.下列結(jié)論正確的個數(shù)是 ()溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；向量的模是一個正實數(shù)；向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；若 | a| b| ,則 ab. TOC o 1-5 h z A. 0B. 1C. 2D. 3解析：選B.錯誤.溫度是數(shù)量不是向量；錯誤.零向量的模為 0.正確.因為零向 量與任意向量共線；錯誤.向量不能比較大小.設O是正方形 ABCD勺中心，則向量 AO BO Oc OD1 ()A.相等的向量B.平行的向量D.模相等的向量C.有相同起點的向量解析：選D.由正方形的性質(zhì)知|麗=| BO = |而=|而.在下列判斷中，

13、正確的是 （）長度為0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；單位向量的長度都相等；單位向量都是同方向向量；任意向量與零向量都共線.A.B.C.D.解析：選 D.由定義知正確，由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方向是否 相同不確定，故不正確.顯然正確，不正確，故選 D.在下列命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等；相等向量 一定共線；長度相等的向量是相等向量；平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量.正確命題的序號是.解析：由向量的相關(guān)概念可知正確.答案：強化培優(yōu)A 基礎達標1 .下面幾個命題:(1)若 a= b,則 | a| = | b|;(2)若|a|

14、=0,則 a=0；(3)若|a| =|b| ,則 a=b；| a| = | b|,(4)若向量a, b滿足，則a=b.a/ b, TOC o 1-5 h z 其中正確命題的個數(shù)是()B. 1A. 0C. 2D. 3解析：選B.（1）正確.（2）錯誤. |a| =0,則a = 0.（3）錯誤.a與b的方向不一定相同. 錯誤.a與b的方向有可能相反.在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是（）B. 一段弧A.單位圓C.線段D.直線解析：選A.平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的軌跡是圓. TOC o 1-5 h z .如圖，在。o中，向量Ob Oc瓦是（）A.有相

15、同起點的向量/B.共線向量IC.模相等的向量D.相等的向量解析：選c.由圓的性質(zhì)可知iOB=iOc=iXcO.以下命題：| a|與|b|是否相等與a, b的方向無關(guān)；兩個具有公共終點的向量, 一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.其中，正確命題的個 TOC o 1-5 h z 數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：選C.正確；錯誤；終點相同方向不一定相同或相反；正確.C.RAf CRd.pAiQr解析：選B.向量相等要求模相等，方向相同，因此由狗R著B是和山目等的向量.6.下列命題正確的是（）A.共線向量一定在同一條直線上B.所有零向量都相等C.向量a與b共線，b

16、與c共線，則a與c共線D.平行四邊形兩對邊所表示的向量一定是相等向量解析：選B.A錯誤，兩個向量的方向相同或相反都是共線向量，而兩個向量所在直線平 行時也稱它們?yōu)楣簿€向量，即共線向量不一定在同一條直線上，也可能在兩條平行直線上.B顯然正確.C錯誤，注意到零向量與任意向量共線，若b=0,此結(jié)論不成立；若 bw0,此結(jié)論成立.D錯誤，平行四邊形兩對邊所表示的向量可能方向相反.7.若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：| a| | b| ；a/ b；| a| 0；| b| = 1.其中正確的是 （填序號）.，一I1.解析：錯誤.| a| =2時，| a| v | b| ;錯誤.a與b的方向

17、關(guān)系無法確定；正確，錯誤.|b|=1.答案：.在？ABC珅，O是兩對角線 AC BD的交點，設點集 S=A, B, C, D, O,向量集合T = MnM Ne S,且M N不重合，則集合 T中元素的個數(shù)為 .解析：S=A, b, G D, q, S中任意兩點連成的有向線段有： AB, AC 的 AO BA, BC BbBOCXChCDCODADBDCDOOAOBOc Od由平行四邊形的性質(zhì)可知 (如 圖所示)，共有 8 對向量相等，即 ab=dc ba=cd ad=bc da=cBao=Oc oa=co do= Ob Od=bO又集合中元素具有互異性，所以集合 t中的元素共有12個.答案：1

18、2. O是正方形 ABCD寸角線的交點，四邊形 OAED OCF驪是正方形， 在如圖所示的向量中：(1)分別找出與AO BO1等的向量；(2)找出與A決線的向量；(3)找出與AOI相等的向量；(4)向量AOrCOi否相等？解：(1) AO=BF, BO=ae(2)與AO線的向量有：Bf, CO) De(3)與AOm相等的向量有：CO DO BO BF, CF, AZ de(4)向量尺濟亦相等，因為它們的方向不相同.如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A, B點C為小正方形的頂點，且 | AC= 5.(1)畫出所有的向量AC(2)求| BC的最大值與最小值.解：

19、(1)畫出所有的向量AC如圖所示.(2)由(1)所畫的圖知，當點C位于點?；?。時，|的取得最小值 寸12+22 = &當點C位于點Q或G時，|BC取得最大值 .42+ 52= W.所以|的的最大值為回,最小值為小.B能力提升HE與CGf交于點M.四邊形ABCDCEFG CGH嘟是全等的菱形,則下列關(guān)系不一定成立的是 ()a. 麗=角b.ABFH共線c.BbrEH奘線D.DfeEC 線解析：選C.因為三個四邊形都是全等的菱形，所以| AB = | EF| , AB/ CD/ FH,故XBFH族線.又三點D, C, E共線，所以DCEC共線，故A, B, D都正確.故選 C.若| AB = | AD且BA=CD則四邊形 ABCD勺形大為()A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析：選C.因為BA=CD所以BA/ CD且BA= CD所以四邊形 ABC時平行四邊形.又因為| AB = | AD,Ar所以四邊形ABC師菱形.1.如圖，A