2021-2022學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高一5月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高一5月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級、座號、姓名；考生務(wù)必認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考號、姓名”與考生本人考號、姓名是否一致.2.作答選擇題時，選出等案用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的等案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后再涂選其它答案標(biāo)號；作答非選擇題時，請將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效.3.考試結(jié)束，考生只須將答題卡交回.4.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、單選題：本大題8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個正確答案.1. 復(fù)數(shù)z滿足，則z的實部為（ ）A. 0B. 1C.

2、 D. 【答案】A【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的乘方求得，進而求得，即可求得z的實部.【詳解】由，可得，故z的實部為0.故選：A.2. 設(shè)，向量，且，則（ ）A. B. C. D. 5【答案】D【解析】【分析】先由求得，再求出，再求模長即可.【詳解】由可得，解得，則，.故選：D.3. 從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（ ）A. 至少有一個白球與都是紅球B. 恰好有一個白球與都是紅球C. 至少有一個白球與都是白球D. 至少有一個白球與至少一個紅球【答案】B【解析】【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】解：對于A，

3、事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球” ，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.4. 已知，是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則下列命題中錯誤的是（ ）A. 若，且，則B. 若，則C. 若

4、，則D. 若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線、線面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)即可判斷空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系.【詳解】對于A選項，則，由線面垂直的性質(zhì)知，垂直于內(nèi)的任意直線，又，則平行于內(nèi)的某直線，所以.對于B選項，則平行于內(nèi)的某直線，又，所以內(nèi)的某直線也垂直于，則.對于C選項，由線面平行的性質(zhì)可得.對于D選項，則或，又，則與相交或平行.故選：D.5. 投擲兩枚骰子，分別得到點數(shù)a，b，向量與向量的夾角為銳角的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量夾角公式可得，向量與向量的夾角為銳角得到，利用列舉法和古典概型即可得到所求概率.【詳解】設(shè)向量與向量

5、的夾角為，則，又因為向量與向量的夾角為銳角，則；可知，投擲兩枚骰子，分別得到點數(shù)，共有種等可能情況；當(dāng)時，即有：時，有種情況；時，有種情況；時，有種情況；時，有種情況；時，有種情況；所以，共有種等可能情況，則向量與向量的夾角為銳角的概率.故選：C.6. 二面角是直二面角，設(shè)直線與、所成的角分別為和，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作出直線與、所成的角，由最小角定理可得：，即可判斷出.【詳解】如圖，作出，連結(jié)BC，AD.因為二面角是直二面角，所以，所以為與所成的角.同理：為與所成的角.由最小角定理可得：又，故選：C7. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，AB邊

6、上的角平分線長度為t，則（ ）A. 3B. 6C. 3或6D. 【答案】A【解析】【分析】在中由余弦定理可得，令，由角平分線，由正弦定理可得：在中，在中， ，聯(lián)立可得，即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，令， 則，解得：（負(fù)舍），在中，；又為角平分線，由角平分線性質(zhì)可得，所以，中，在中， ，由可得：，所以,故選：A.8. 在三棱錐A-BCD中，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（ ）A. 12B. 13C. D. 【答案】B【解析】【分析】如圖1，取中點，由棱錐體積求得面積，并得出為二面角的平面角，由面積求得此角，然后求出，由此知四面體可以放置在一

7、個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，長方體的外接球就是四面體的外接球，長方體的對角線就是球的直徑，計算可得球表面積【詳解】如圖1，取中點，連接，則，又，平面，所以平面，所以，又，又由，知為二面角的平面角，此角為鈍角，所以，所以，因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，此長方體的外接球就是四面體的外接球，設(shè)長方體的棱長分別為，則，解得，所以外接球的直徑為，球表面積為故選：B 圖1圖2二、多選題：本大題4小題，全選對得5分，選對但不全得2分，選錯或不答得0分.9. 下列說法中正確的是（）A. 棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面B. 圓柱

8、的任意兩條母線所在直線是互相平行的C. 正棱錐的底面邊長和側(cè)棱長相等D. 棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【答案】BD【解析】【分析】由柱、錐、臺的定義依次判斷即可.【詳解】A選項：底面為正六邊形的棱柱相對的兩個側(cè)面互相平行，但不能作為底面，錯誤；B選項：由圓柱的定義知，任意兩條母線所在直線互相平行，正確；C選項：正棱錐的底面邊長都相等，但底面邊長和側(cè)棱長不一定相等，錯誤；D選項：由棱臺的定義知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點，正確.故選：BD.10. 我國居民收入與經(jīng)濟同步增長，人民生活水平顯著提高“三農(nóng)”工作重心從脫貧攻堅轉(zhuǎn)向全面推進鄉(xiāng)村振興，穩(wěn)步實施鄉(xiāng)村建設(shè)行動，為實現(xiàn)農(nóng)村富強目標(biāo)而努力，2017

9、年2021年某市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比上年增長率如下圖所示，根據(jù)下面圖表、下列說法一定正確的是（ ）A. 對于該市居民年人均可支配收入比上年增長率的極差，城鎮(zhèn)比農(nóng)村的小B. 該市農(nóng)村居民年人均可支配收入高于城鎮(zhèn)居民C. 對于該市居民年人均可支配收入比上年增長率的中位數(shù)，農(nóng)村比城鎮(zhèn)的大D. 2021年該市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比2020年有所上升【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐一判斷即可.【詳解】對于A：由表中數(shù)據(jù)可知城鎮(zhèn)居民相關(guān)數(shù)據(jù)極差較大，即選項A錯誤；對于B：由增長率高，得不出收入高，即選項B錯誤；對于C：由表中數(shù)據(jù)，可知農(nóng)村居民相關(guān)數(shù)據(jù)中位數(shù)較大，即選

10、項C正確；對于D：由表中數(shù)據(jù)，可知增長率均為正，所以2021年該市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比2020年有所上升，即選項D正確.故選：CD.11. 已知在ABC中，M是邊BC的中點，是邊AB上一定點滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有，則下列選項中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】在ABC中取AB的中點E，連接CE，MP0.由，得，從而M0PAB.利于幾何關(guān)系證明CEMP0，所以CEAB.根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明AC=BC.【詳解】如圖，在ABC中取AB的中點E，連接CE，MP0.故.同理，由，得，故MP0AB.故A正確；由M為BC的中點，E為AB的

11、中點，且，得CEMP0，所以CEAB.故B錯誤；又E為AB的中點，所以AC=BC. 故D正確，C錯誤； 故選：AD12. 如圖，在棱長為的正方體中，為正方形的中心，為棱上的動點.則下列說法正確的是（ ）A. 點為中點時，B. 當(dāng)點運動時，折線段長度的最小值是C. 當(dāng)點運動時，三棱錐外接球的球心總在直線上D. 當(dāng)為的中點時，正方體表面到點距離為的軌跡的總長度為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點為棱上的動點，則根據(jù)對應(yīng)點在不同位置，對各項進行分析即可.【詳解】對于A，根據(jù)題意得為的中位線，所以，又面，所以面，面，則，故A正確；對于B，將平面沿翻折到平面，如圖，折線段的長度最小為，故B錯誤；對于C

12、，體對角線過的中心且垂直于平面，故以為底的三棱錐，球心在上，故C正確；對于D，在平面和平面上軌跡是以為圓心，為半徑，圓心角為的兩段弧，在平面和平面上，軌跡是以為半徑，圓心角為的兩段弧，故，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)正方體的性質(zhì)及線線、線面關(guān)系判斷線線位置、線段長的最值，分析錐體外接球球心位置.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若10個數(shù)據(jù)的平方和為45，平均數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的方差為_.【答案】#【解析】【分析】根據(jù)方差的公式計算即可.【詳解】設(shè)這個數(shù)據(jù)為（），平均數(shù)為，由題意得，則這組數(shù)據(jù)的方差.故答案為：14. 如圖所示是一個樣本容量為的頻率分

13、布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其分位數(shù)為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)頻率可判斷分位數(shù)在內(nèi)，列式即可求出.【詳解】由圖可知第一組的頻率為，前兩組的頻率之和為，則可知其分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故答案為：.15. 如圖，一個幾何體的上半部分是一個圓柱體，下半部分是一個圓錐體，圓柱體的高為1m，圓錐體的高為2m，公共的底面是半徑為1m的圓形，那么這個幾何體的體積為_，表面積為_.【答案】 . # . 【解析】【分析】幾何體的體積為圓柱體積加圓錐體積，表面積為圓柱的上底面面積加圓柱的側(cè)面積加圓錐的側(cè)面積，即可求解.【詳解】由題意知，幾何體的體積為圓柱體積加圓錐體積，即；設(shè)圓錐的母線為，則，表面

14、積為圓柱的上底面面積加上圓柱的側(cè)面積加上圓錐的側(cè)面積，即.故答案為：；.16. 從長度為3，4，5，a的4條線段中任取3條，這3條線段能構(gòu)成銳角三角形的概率為，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】或【解析】【分析】由已知和古典概率公式求得在3，4，a ；3， 5，a； 4，5，a，中有2種情況可以構(gòu)成銳角三角形，由余弦定理求得每種情況構(gòu)成銳角三角形時實數(shù)a的取值范圍，由此建立不等式組，求解即可.【詳解】解：從長度為3，4，5，a的4條線段中任取3條，有3，4，5；3，4，a ；3， 5，a； 4，5，a，共4種情況，因為這3條線段能構(gòu)成銳角三角形的概率為，所以從長度為3，4，5，a的4條線段中任取

15、3條，有2種情況可以構(gòu)成銳角三角形，因為三角形三邊為3，4，5，構(gòu)成的三角形是直角三角形，所以在3，4，a ；3， 5，a； 4，5，a，中有2種情況可以構(gòu)成銳角三角形，若3，4，a 構(gòu)成銳角三角形，則，解得；若3，5，a 構(gòu)成銳角三角形，則，解得；若4，5，a 構(gòu)成銳角三角形，則，解得；所以要使在3，4，a ；3， 5，a； 4，5，a，中有2種情況可以構(gòu)成銳角三角形，則需或或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：或.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置.17. 如圖，ABC是等邊三角形，EA平面ABC，F(xiàn)為B

16、E的中點.（1）證明：平面ABC；（2）證明：AF平面BDE.【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析【解析】【分析】（1）作的中點，連接，由中位線的性質(zhì)得到，結(jié)合題目信息，可證四邊形是平行四邊形，即可證明平面.（）連接，易得，利用勾股定理逆定理可證明是直角三角形，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明【小問1詳解】作的中點，連接，；為的中點，又，則四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，平面.【小問2詳解】連接AD，由題意設(shè)，（），可得，由（1）知，是為的中點，又有平面，平面，所以，即是等腰直角三角形，則，又因為，所以平面，平面，則，由勾股定理得，所以，即，又，平面，平面，故平面.18. 在平面四邊

17、形ABCD中，.（1）若ABC的面積為，求AC；（2）若，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用三角形面積公式有，可求，由余弦定理即可求；（2）設(shè)，在中，在中應(yīng)用正弦定理有，即可求，得解.【小問1詳解】在中，可得，在中，由余弦定理得，【小問2詳解】設(shè)，則，在中，易知：，在中，由正弦定理得，即，可得，即.19. 如圖，在ABC中，已知，CD與AE交于點O.（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）1 （2）6【解析】【分析】（1）先以，為基底表示、，再去求即可；（2）設(shè)，在中，有，則，即,則,然后求出m、n的值即可得解【小問1詳解】，則【小問2詳解】設(shè)，在中，有，則，即,則,即而

18、，則又，則20. 如圖，四棱錐，底面ABCD為菱形，BD的中點為O，且PO平面ABCD.（1）證明：；（2）若，求直線PO與平面PAD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）連接，由菱形的性質(zhì)可得，再由線面垂直的性質(zhì)可得，即可得到平面，從而得到.（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量和直線的方向向量，利用向量夾角公式即可求解.小問1詳解】連接，因為底面ABCD為菱形，的中點為，所以且，又因為底面，平面，所以，又，平面，平面，則平面，因為平面，所以.【小問2詳解】由（1）知，直線，兩兩垂直，則以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，

19、建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由題意設(shè)，由，得，又，則，所以，設(shè)平面的法向量，由，令，得設(shè)直線PO與平面PAD所成角為，則，直線PO與平面PAD所成角的正弦值為.21. 某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開學(xué)以來（60天）的課外閱讀時間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學(xué)生進行問卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時間（單位：時）各分為5組0，10）、10，20）、20，30）、30，40）、40，50，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計全校學(xué)生中課外閱讀時間在30，40）小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；（2）從課外閱讀時間不足10小時的

20、樣本學(xué)生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率；（3）國家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時間不少于半個小時.若該校初中學(xué)生課外閱讀時間小于國家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時間，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生的課外閱讀時間？并說明理由.【答案】（1）720人 （2） （3）需要增加，理由見解析【解析】【分析】（1）由分層抽樣的特點可分別求得抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知初中生、高中生課外閱讀時間在，小時內(nèi)的頻率，然后由頻數(shù)樣本容量頻率可分別得初中生、高中生課外閱讀時間在，小時內(nèi)的樣本學(xué)生數(shù)，最后將兩者相加即可（2）記“從閱讀時間不足10個小時樣本學(xué)生

21、中隨機抽取3人，至少有2個初中生”為事件，由頻數(shù)樣本容量頻率組距頻率可分別得初中生、高中生中，閱讀時間不足10個小時的學(xué)生人數(shù)，然后用列舉法表示出隨機抽取3人的所有可能結(jié)果以及事件的結(jié)果，從而得 （3）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表來計算樣本中的所有初中生平均每天閱讀時間，并與30小時比較大小，若小于30小時，則需要增加，否則不需要增加【小問1詳解】由分層抽樣知，抽取的初中生有人，高中生有人初中生中，課外閱讀時間在，小時內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)為人高中生中，課外閱讀時間在，小時內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)約有人，全校學(xué)生中課外閱讀時間在，小時內(nèi)學(xué)生總?cè)藬?shù)為人【小問2詳解】記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，至少有2個