連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)及其常用的機(jī)率分配課件

1、第六章 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)及其常用的機(jī)率分配6.1 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)隨機(jī)變數(shù)分為兩大類。若隨機(jī)變數(shù)之可能值個(gè)數(shù)為有限個(gè);或是可數(shù)的無限多時(shí)（如人數(shù)、損壞物品個(gè)數(shù)），此時(shí)可將之歸類為離散型(discrete type)隨機(jī)變數(shù)。而若隨機(jī)變數(shù)之可能值個(gè)數(shù)為不可數(shù)的無限多時(shí)（如時(shí)間、身高），其可能值的集合為一區(qū)間，此時(shí)即將之稱為連續(xù)型(continuous type)隨機(jī)變數(shù)。6.1.1 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率分配當(dāng)隨機(jī)變數(shù)為離散型時(shí)，我們可對(duì)每一Y之可能值賦予一大於零的機(jī)率，並定義為其機(jī)率分配，其所有可能值機(jī)率總和為1。但對(duì)於連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)而言，由於其可能值個(gè)數(shù)無限多且無法計(jì)數(shù)，故其每一個(gè)可能值的機(jī)率為0

2、，勢(shì)必?zé)o法如離散隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率分配定義方式，來定義連續(xù)型之機(jī)率分配，所以我們將尋求以另一方式來定義連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率分配?？紤]一連續(xù)型資料之隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，從中抽樣200組資料，繪出其相對(duì)次數(shù)直方圖，如圖6.1所示。假若我們將抽樣資料數(shù)增多，甚至無限多；同時(shí)將組間距縮小，甚至無限小，則繪出其相對(duì)次數(shù)直方圖必會(huì)如圖6.2所示，變?yōu)橐黄交€。圖6.2平滑曲線乃代表著 圖6.1相對(duì)次數(shù)直方圖之極限形式。由相對(duì)次數(shù)直方圖性質(zhì)可推知，曲線下與橫軸所夾之面積，即為此連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)出現(xiàn)在此區(qū)間的機(jī)率。於是我們即藉由此曲線來定義連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率分配，並稱此曲線為“機(jī)率密度函數(shù)”。定義6.1.1機(jī)率密度函數(shù)(

3、probability density function)通常以表示，為一數(shù)學(xué)函數(shù)，用以描述連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)Y之機(jī)率分配。 若一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)Y之機(jī)率密度函數(shù)為，則其必具有下列之基本性質(zhì)：1. 對(duì)所有Y的可能值而言，f(y)0。2. 隨機(jī)變數(shù)所有可能值機(jī)率總和為1，故若此機(jī)率密 度函數(shù)之兩 邊端點(diǎn)a與b，則整段函數(shù)與橫軸所涵蓋 的面積值必為1。 即 3. 欲求隨機(jī)變數(shù)Y落在曲線上任意兩點(diǎn)c與d之間的機(jī)率，也就是 區(qū)間機(jī)率P (cYd)時(shí)，則【例6.1】假設(shè)Y為一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，且其機(jī)率密度函數(shù)為 試求 (a) C值 (b) P (1Y2) (c) P (1Y2) 解： (a) 根據(jù)上述性質(zhì)(二)

4、，其機(jī)率總和為1，故 (b) 此隨機(jī)變數(shù)Y之機(jī)率密度函數(shù)為 (c) 因?yàn)樵谶B續(xù)型隨機(jī)變數(shù)中，單點(diǎn)並無機(jī)率值【例6.2】科學(xué)家做一實(shí)驗(yàn)：測(cè)試?yán)鲜笈艹雒詫m所需的時(shí)間。假設(shè)老鼠跑出迷宮，所花的時(shí)間為一隨機(jī)變數(shù)Y（單位：分鐘），其機(jī)率密度函數(shù)為試問老鼠在3分鐘內(nèi)跑出迷宮的機(jī)率為如何？解： 老鼠在3分鐘內(nèi)跑出迷宮的機(jī)率即為 P (1Y3)，則 6.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)之累積分配函數(shù)在連續(xù)型中，其累積分配函數(shù)定義本質(zhì)與離散型時(shí)相同。不過由於其各自的機(jī)率分配定義不同，故其計(jì)算累積分配函數(shù)方法也稍有不同。定義6.1.2一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)Y之累積分配函數(shù)(cumulative distribution func

5、tion)，即為 【例6.3】令Y為一隨機(jī)變數(shù)，其機(jī)率密度函數(shù)為試求: (a)累積分配函數(shù)F (y) (b)試?yán)肍 (y)求得P (1Y2)解： (a) 依累積分配函數(shù)定義 ，則 (b) 依累積分配函數(shù)定義 P (12)=P (2)P (1)=F (2)F (1) 故由(a)中得知 P (12)= F (2)F (1) = =1(3/4)=1/46.2 期望值及變異數(shù)在介紹離散型隨機(jī)變數(shù)時(shí)，我們?cè)?jīng)提及，描述一母體機(jī)率分配的集中趨勢(shì)及離散程度，最常使用的就是期望值及變異數(shù)。而在連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)時(shí)，依舊是以期望值來測(cè)知此機(jī)率分配之中心點(diǎn)，以變異數(shù)來測(cè)量此機(jī)率分配之離散情形。在此期望值及變異數(shù)的基

6、本定義仍然與離散型時(shí)相同，不過由於連續(xù)型之機(jī)率分配定義方式有些不同，故其計(jì)算方式也有稍許不同。6.2.1 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)之期望值及變異數(shù) 定義6.2.1此連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的期望值(expected value)或平均數(shù)(mean) E y 定義為 定理6.1若g (y)為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)函數(shù)，則其期望值為 定義6.2.2若連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)Y的期望值為E Y=，則Y的變異數(shù)(variance)為 將變異數(shù)的正平方根 SD (Y)，稱為隨機(jī)變數(shù)Y之標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）?！纠?.4】Y為一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，其機(jī)率密度函數(shù)試求Y之期望值E(Y)與變異數(shù)V(Y)。解： 依連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)

7、期望值之定義依連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)變異數(shù)之定義 依連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)變異數(shù)之定義6.2.2 期望值及變異數(shù)基本定理定理6.2若Y是一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，;為兩常數(shù)，g1(Y )、g2(Y )gk(Y )為隨機(jī)變數(shù)Y之k個(gè)函數(shù)，則（）E aYbaE Y b（）V(aYb)a2V(Y )（）E g1(Y ) g2(Y )gk(Y ) E g1(Y )E g2(Y )E gk(Y )定理6.3若一連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)Y，期望值E Y ，則變異數(shù)V (Y )E y2(E Y )2E y226.3 均勻分配假設(shè)一隨機(jī)變數(shù)Y在某一區(qū)間a,b內(nèi)發(fā)生的機(jī)率皆相同，則Y的機(jī)率分配稱為均勻分配。 定義6.3.1 連續(xù)隨機(jī)變數(shù)Y，若其

8、機(jī)率密度函數(shù)為 則Y的機(jī)率分配稱為均勻分配(uniform distribution) 通常均勻分配可表示為 YU ()，與稱為均勻分配的參數(shù)，也就是其上下界。若a=0;b=1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)均勻分配(standard uniform distribution)。圖6.3為其密度函數(shù)圖形由圖可知，均勻分配又可稱為矩形分配(rectangular distribution)?？傊?，均勻分配最大的特點(diǎn)即是：隨機(jī)變數(shù)發(fā)生於某一段區(qū)間的機(jī)率密度函數(shù)，必與此區(qū)間的長(zhǎng)度成反比。 定理6.4若Y為一均勻隨機(jī)變數(shù)，上下界為與，YU ()，則期望值為【例6.7】假設(shè)一公車，在早上7:007:30之間到達(dá)某站牌的時(shí)間

9、為均勻分配。有一天，阿輝剛好7:00時(shí)到達(dá)此站牌，試問(a) 阿輝等待的時(shí)間超過十分鐘的機(jī)率(b) 阿輝等待時(shí)間的期望值與變異數(shù)(a) 題意所示，假設(shè)隨機(jī)變數(shù)Y代表阿輝從早上7:00開始，等待公車的時(shí)間。則Y為均勻分配，YU (0,30)，其機(jī)率密度函數(shù)為 解： (a) 題意所示，假設(shè)隨機(jī)變數(shù)Y代表阿輝從早上7:00開始，等待公 車的時(shí)間。則Y為均勻分配，YU (0,30)，其機(jī)率密度函數(shù)為 則阿輝等待的時(shí)間超過十分鐘的機(jī)率即為 (b) 阿輝等待時(shí)間的期望值 阿輝等待時(shí)間的變異數(shù) 6.4 指數(shù)分配6.4.1 指數(shù)分配的定義 在上一章中，我們?cè)?jīng)介紹一離散型隨機(jī)變數(shù)：卜瓦松隨機(jī)變 數(shù)。其定義為在

10、某一單位區(qū)間內(nèi)，某特定事件發(fā)生的次數(shù)。在 此同時(shí)，前所定義特定事件，兩兩之間所間隔的時(shí)間以隨機(jī)變 數(shù)Y表示，其機(jī)率分配即是將在這一節(jié)所介紹的連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)： 指數(shù)分配。在所有不同常態(tài)分配下，我們都可透過一“標(biāo)準(zhǔn)化” 的程序，使每一常態(tài)隨機(jī)變數(shù)都轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)。定義6.4.1 連續(xù)隨機(jī)變數(shù)Y，若其機(jī)率密度函數(shù)為 則Y的機(jī)率分配稱為指數(shù)分配(exponential distribution) 指數(shù)分配唯一的參數(shù)即為，不同的決定出不同的指數(shù)分配。圖6.4為指數(shù)分配參數(shù)=1，=1/2，=1/3的圖形。 【例6.7】假設(shè)欣力公司所生產(chǎn)的電視機(jī)，其壽命符合指數(shù)分配，且平均使用時(shí)間為5年。今阿輝買了

11、一臺(tái)此品牌的全新電視。試問阿輝5年內(nèi)不用再換新電視的機(jī)率為何？解： 設(shè)此電視壽命為Y，由其期望值為5，(1/)=5，可知=(1/5) Y符合指數(shù)分配，其機(jī)率密度函數(shù)即為 則阿輝5年內(nèi)不用再換新電視，也就是此電視壽命超過五年的機(jī) 率為6.4.2 無記憶性 我們接著試著證明指數(shù)分配是否真的具有無記憶性質(zhì)，其證明 如下： 假若Y為指數(shù)分配，則 定理6.6若一非負(fù)的隨機(jī)變數(shù)Y具有無記憶(memoryless)性質(zhì)，則 6.5 常態(tài)分配6.5.1 常態(tài)分配的定義 常態(tài)分配可說是整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，在此後章節(jié)，無論是假設(shè) 檢定、估計(jì)，甚至是迴歸分析，無不以常態(tài)分配為理論基礎(chǔ)， 做出許多的應(yīng)用推論。由此可知常

12、態(tài)分配的重要性。定理6.7若Y為一常態(tài)隨機(jī)變數(shù)，YN ( )，則期望值為圖6.5為一常態(tài)分配YN ()之機(jī)率密度函數(shù)圖。由此圖，我們可知常態(tài)分配具有下列性質(zhì)： 1. 常態(tài)分配曲線兩端尾巴與.橫軸漸漸接近，但絕不與橫軸相交 2. 常態(tài)分配是以為中心的左右對(duì)稱分配，且其曲線形狀類似一鐘 型(bell-shaped)。由於其對(duì)稱的性質(zhì)，故有下列的特性： 如：(1) P (Y )P (Y )0.5 (2) 對(duì)常數(shù)與，P (Y-a)1P (Y a )P (Ya) P (aYb)P (Yb)P (Ya ) 6.5.2 標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配及標(biāo)準(zhǔn)化 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)落在某一段區(qū)間的機(jī)率，定義為其機(jī)率密度函 數(shù)在此段所

13、圍成的面積。我們可由圖6.5可知常態(tài)機(jī)率密度曲線 為鐘型，且由定義6.5.1瞭解常態(tài)機(jī)率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)型式。讀 者不難發(fā)現(xiàn)，常態(tài)機(jī)率密度函數(shù)相當(dāng)?shù)难}雜，若要算出其圍成 的面積，或許不是一件簡(jiǎn)單的事。且不同的 及 2即形成不同 的常態(tài)分配，若將所有不同的常態(tài)分配都製成各自的機(jī)率表， 是不太可能的事情。還好，在常態(tài)分配中，我們可透過一“標(biāo)準(zhǔn) 化”的程序，將所有可能的常態(tài)分配全部轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配， 再經(jīng)由查標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的機(jī)率表。而所謂的標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(Standard Normal Distribution)即指的是期望值=0; 變異數(shù) 2=1的常態(tài)分配。定義6.5.2 連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)Y，若其機(jī)率密

14、度函數(shù)為 則Y的機(jī)率分配稱為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(Standard Normal Distribution)換句話說，若欲求一常態(tài)分配機(jī)率時(shí)，即可透過定理6.8所提供的轉(zhuǎn)換函數(shù)，再透過標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表，經(jīng)由附表三即可求得。例如，假若YN ( )，則 因此 定理6.8若Y為一常態(tài)隨機(jī)變數(shù)，YN ( )，令 則Z為一標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)，ZN (0，1)【例6.12】若有一常態(tài)隨機(jī)變數(shù)Y，其期望值為3，變異數(shù)為9，即，試求： (a) P (Y0) (b) P (3Y6) 解： (a) 根據(jù)定理6.8，且經(jīng)由附表三，可得 (b) 根據(jù)定理6.8，且經(jīng)由附表三，可得 6.5.3 二項(xiàng)分配近似於常態(tài)分配在上一章離散隨機(jī)變數(shù)時(shí)，我們依序介紹了二項(xiàng)分配及卜瓦松分配。並且當(dāng)二項(xiàng)分配 ，且np7時(shí)，此時(shí)可用卜瓦松分配P（np）來估計(jì)二項(xiàng)分配。而在此時(shí)，我們將再介紹以另一方法來估計(jì)二項(xiàng)分配，也就用此節(jié)所介紹的常態(tài)分配來估計(jì)二項(xiàng)分配。之前是以離散型隨機(jī)變數(shù)來估計(jì)離散型隨機(jī)變數(shù)，而此處則是以連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)來逼近離散型隨機(jī)變數(shù)。由中央極限定理(centra