第十五章151分式例題與講解新人教版

1、15.1分式1分式的概念(1)概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子eq f(A,B)叫做分式(2)三個要素(條件)：形如eq f(A,B)的式子；A，B為整式；分母B中含有字母這三個條件缺一不可破疑點 區(qū)分整式與分式整式和分式的區(qū)別在于分式的分母中含有字母因此，在判斷一個式子是否是分式時，只看未化簡的式子的分母中是否含有字母，即分母中含有字母的為分式【例1】 在下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？eq f(x,3)，eq f(4,x)，eq f(y2,y)，eq f(y,xy)，eq f(ab,2)，eq f(3,)，eq f(xy,xy).解：分式有：eq f(4

2、,x)，eq f(y2,y)，eq f(y,xy)，eq f(xy,xy)；整式有：eq f(x,3)，eq f(ab,2)，eq f(3,).2分式有意義的條件(1)分式有意義的條件：分母不等于零(因為0不能作除數(shù)，所以分式有意義的條件是分母不等于零)(2)分式無意義的條件：分母等于零(3)分式的值為零的條件：分子等于零，分母不等于零二者缺一不可分式的值為零，千萬不要忽視分母不為零這個條件.談重點 分式有意義的理解(1)分式與分?jǐn)?shù)不同，因為分?jǐn)?shù)的分母是一個具體的數(shù)，是否為零，一目了然，而要明確分式是否有意義，需要分析、討論分母中所含有的字母的取值范圍，以免分母為零的情況發(fā)生(2)必須在分式有

3、意義的前提下，才能計算分式的值是多少；也必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值等于零的條件例2】 下列【分式中，當(dāng)x取何值時，分式有意義？當(dāng)x取何值時，分式的值為零？(1)eq f(x1,x21)；(2)eq f(3x1,2x3)；(3)eq f(|x|2,x2)；(4)eq f(2,x25).解：(1)對于一切實數(shù)x，x20恒成立，所以x210.所以無論x為何實數(shù)，分式eq f(x1,x21)都有意義由eq blc(avs4alco1(x10，,x210，)得x1，所以當(dāng)x1時，分式eq f(x1,x21)的值為零(2)由分母2x30，得xeq f(3,2)，所以當(dāng)xeq f(3,2)時

4、，分式eq f(3x1,2x3)有意義由eq blc(avs4alco1(3x10，,2x30，)得xeq f(1,3)，所以當(dāng)xeq f(1,3)時，分式eq f(3x1,2x3)的值為零(3)由分母x20，得x2，所以當(dāng)x2時，分式eq f(|x|2,x2)有意義由eq blc(avs4alco1(|x|20，,x20，)得x2，所以當(dāng)x2時，分式eq f(|x|2,x2)的值為零(4)因為對于一切實數(shù)x，x20，所以x250恒成立，所以無論x為何實數(shù)，分式eq f(2,x25)都有意義因為分子20，所以分式的值不可能為零，即使該分式的值為零的x的值不存在3.分式的基本性質(zhì)(1)意義：分式

5、的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變；(2)用式子表示：eq f(A,B)eq f(AC,BC)，eq f(A,B)eq f(AC,BC)(其中C是不等于0的整式)談重點：分式的基本性質(zhì)的理解分式的基本性質(zhì)應(yīng)注意“同”的含義，“同”字的意思是分子與分母都乘以(或除以)的整式是同一個整式【例3】 填空：eq f(y,3x)eq f(（）,3x2y)；eq f(x,xy)eq f(x（）,（xy）（）)eq f(xyx2,（）)；eq f(7xy,5x2y)eq f(7,（）)；eq f(1,ab)eq f(（）,（ab）（）)eq f(ab,（）).解析：將分式eq f(y

6、,3x)的分母乘以xy，才能得到3x2y，因此只有分子也同乘以xy，分式的值才能不變根據(jù)分式的基本性質(zhì)分子、分母同時乘以(xy)，值不變，且最后結(jié)果的分子是xyx2；分子、分母同時除以xy；分子、分母同時乘以(ab)答案：xy2xyxyx22xyy25xababa2b24分式的約分、最簡分式(1)分式的約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子、分母的公因式約去，叫做分式的約分(2)分式約分的根據(jù)：分式的基本性質(zhì)(3)最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結(jié)果成為最簡分式或整式析規(guī)律 分式約分的方法約分的方法：(1)先確定分子、分

7、母的公因式：當(dāng)分子、分母都是單項式時，分子、分母的公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低次冪的積；當(dāng)分子、分母是多項式時，應(yīng)先將多項式因式分解，再根據(jù)以前所學(xué)的確定公因式的方法，確定公因式(2)根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子分母都除以它們的公因式【例4】 把下列分式約分：(1)eq f(36xy2z3,6yz2)；(2)eq f(82m,m216)；(3)eq f(a24a4,a24).分析：(1)公因式是6yz2，分子、分母同除以6yz2；(2)因式分解后得公因式是(m4)，所以分子、分母同除以(m4)；(3)分解因式后得到的公因式是(a2)，所以分子、分母同除以(a2)解：(1)eq

8、f(36xy2z3,6yz2)eq f(（36xy2z3）（6yz2）,（6yz2）（6yz2）)6xyz；(2)eq f(82m,m216)eq f(2（m4）,（m4）（m4）)eq f(2,m4)；(3)eq f(a24a4,a24)eq f(（a2）2,（a2）（a2）)eq f(a2,a2).5分式的通分、最簡公分母(1)分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分(2)通分的根據(jù)：分式的基本性質(zhì)(3)最簡公分母：異分母的分式通分時，一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母析規(guī)律 確定最簡公分母

9、(1)分母都是單項式時，取所有分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；取分母中所有字母因式的最高次冪的積作為最簡公分母的字母部分(2)分母是多項式時，先因式分解，再確定最簡公分母【例5】 通分：(1)eq f(1,3x2)，eq f(5,12xy)；(2)eq f(b,3a)，eq f(ab,2c)；(3)eq f(1,x2x)，eq f(1,x2x).分析：(1)最簡公分母是12x2y，所以分式eq f(1,3x2)的分子、分母都乘以12x2y與3x2的商4y，分式eq f(5,12xy)的分子、分母都乘以12x2y與12xy的商x，即化為同分母的分?jǐn)?shù)(2)最簡公分母是6ac，把分式eq

10、 f(b,3a)的分子、分母都乘以2c，把分式eq f(ab,2c)的分子、分母都乘以3a，即可化為同分母分?jǐn)?shù)(3)先將分母x2x和x2x因式分解，確定最簡公分母為x(x1)(x1)，把分式eq f(1,x2x)的分子、分母都乘以(x1)，把分式eq f(1,x2x)的分子、分母都乘以(x1)，即可化為同分母分?jǐn)?shù)解：(1)eq f(1,3x2)eq f(4y,3x24y)eq f(4y,12x2y)，eq f(5,12xy)eq f(5x,12xyx)eq f(5x,12x2y)；(2)eq f(b,3a)eq f(b2c,3a2c)eq f(2bc,6ac)，eq f(ab,2c)eq f(

11、ab3a,2c3a)eq f(3a2b,6ac)；(3)eq f(1,x2x)eq f(x1,x（x1）（x1）)，eq f(1,x2x)eq f(x1,x（x1）（x1）).6分式中的符號變化問題分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任意兩個，分式的值不變，即“符號變其二，分式值不變”分式的符號變化規(guī)律解決此類問題，首先判斷分子與分母的最高次項的符號，若分子或分母的最高次項的系數(shù)是負(fù)數(shù)，則把分子或分母的各項放到括號前是“”號的括號內(nèi)，注意放到括號內(nèi)的各項都要變號，再根據(jù)分式的符號變化規(guī)律解決問題7分式中的分?jǐn)?shù)化為整數(shù)當(dāng)分式的分子和分母中含有分?jǐn)?shù)系數(shù)時，需要根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子、分母

12、都乘以一個適當(dāng)?shù)牟坏扔诹愕臄?shù)(分子、分母的分?jǐn)?shù)系數(shù)的最小公倍數(shù))，使分子、分母中的系數(shù)全都化為整數(shù)8分式的應(yīng)用在實際問題中，根據(jù)題意列出分式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式約分或通分，從而來解決有關(guān)分式的實際問題要注意實際問題中的數(shù)量關(guān)系，這是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵,【例61】 下列變形正確的是()A.eq f(ab,c)eq f(ab,c)B.eq f(a,bc)eq f(a,bc)C.eq f(ab,ab)eq f(ab,ab) D.eq f(ab,ab)eq f(ab,ab)答案：D【例62】 不改變分式的符號，使分式eq f(23x3,3b3)的分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)解：eq f(23

13、x3,3b3)eq f(（3x32）,（b33）)eq f(3x32,b33).【例7】 將分式eq f(0.2xf(1,2)y,f(1,4)xf(2,3)y)的分子和分母中的分?jǐn)?shù)系數(shù)都化為整數(shù)解：eq f(0.2xf(1,2)y,f(1,4)xf(2,3)y)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)xf(1,2)y)60,blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)xf(2,3)y)60)eq f(12x30y,15x40y).【例8】 甲、乙兩地相距270千米，自行車與汽車都是從甲地駛往乙地，自行車的速度是x千米/時，汽車的速度是自行車的5倍，問自行車所用的時間是汽車

14、所用時間的幾倍？解：根據(jù)題意得，汽車的速度是5x千米/時eq f(270,x)eq f(270,5x)eq f(f(270,x),f(270,5x)5.故自行車所用的時間是汽車所用時間的5倍9求分式的值由已知條件，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，適當(dāng)把分式進(jìn)行變形，使變形后的分式出現(xiàn)已知條件的形式，然后把已知條件代入變形后的分式，來求分式的值若已知條件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一個適當(dāng)式子進(jìn)行變形，使要求值的分式出現(xiàn)已知的形式有的還要把已知條件變形【例9】 已知eq f(x,y)3，求eq f(x22xy3y2,x2xyy2)的值分析：由已知條件可知，y0.利用分式的基本性質(zhì)，用y2去除待求式的分子與分母，再將其變形，使之出現(xiàn)條件式eq f(x,y)，把eq f(x,y)3代入即可求解解：eq f(x22xy3y2,x2xyy2)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(x,y)sup12(2)2f(x,y)3,blc(rc)(avs4alco1(f(x,y)sup12(2)f(x,y)1)eq f(963,931)eq f(12,7).10.分式中的創(chuàng)新題在分式的求值問題中，經(jīng)常運用整體思想解決問題當(dāng)已知條件與要求的分式形式上有些相似，但又有區(qū)別時，要靈活運用整體思想，把已知條件或要求的分