第五課時(shí)兩角和與差的余弦、正弦、正切（二）

1、- PAGE 9 -第五課時(shí) 兩角和與差的余弦、正弦、正切(二)教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，理解公式：asinbcos eq r(a2b2) sin()(其中cos eq f(a, eq r(a2b2) ) ，sin eq f(b, eq r(a2b2) ) ，為任意角)，靈活應(yīng)用上述公式解決相關(guān)問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的思維素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：利用兩角和與差的正、余弦公式將asinbcos形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式.教學(xué)難點(diǎn)：使學(xué)生理解并掌握將asinbcos形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，并能靈活應(yīng)用其解決一些問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程：

2、.復(fù)習(xí)回顧同學(xué)們，觀察這些關(guān)系式，不難看出這是我們前面所推導(dǎo)出的兩角和與差的正余弦公式的倒寫形式.有時(shí)，直接利用這種形式可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，這節(jié)課，我們就來(lái)探討一下它的運(yùn)用.講授新課例1求證cos eq r(3) sin2sin( eq f(,6) )證明：右邊2sin( eq f(,6) )2(sin eq f(,6) coscos eq f(,6) sin)2( eq f(1,2) cos eq f(r(3),2)sin)左邊由于同學(xué)們對(duì)兩角和的正弦公式比較熟悉，所以要證此式容易想到從右邊往左邊推證，只要將右邊按照兩角和的正弦公式展開，化簡(jiǎn)便可推出左邊.也可這樣考慮：左邊cos eq r(3)

3、sin2( eq f(1,2) cos eq f(r(3),2)sin)2(sin eq f(,6) coscos eq f(,6) sin)2sin( eq f(,6) )右邊(其中令 eq f(1,2) sin eq f(,6) ， eq f(r(3),2)cos eq f(,6) )例2求證cos eq r(3) sin2cos( eq f(,3) )分析：要證此式，可從右邊按照兩角差的余弦公式展開，化簡(jiǎn)整理可證此式.若從左邊推證，則要仔細(xì)分析，構(gòu)造形式即：左cos eq r(3) sin2( eq f(1,2) cos eq f(r(3),2)sin)2(cos eq f(,3) co

4、ssin eq f(,3) sin)2cos( eq f(,3) )(其中令 eq f(1,2) cos eq f(,3) ， eq f(r(3),2)sin eq f(,3) )綜合上兩例可看出對(duì)于左式cos eq r(3) sin可化為兩種形式2sin( eq f(,6) )或2cos( eq f(,3) )，右邊的兩種形式均為一個(gè)角的三角函數(shù)形式.那么，對(duì)于asinbcos的式子是否都可化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢?推導(dǎo)公式：asinbcos eq r(a2b2) ( eq f(a, eq r(a2b2) ) sin eq f(b, eq r(a2b2) ) cos)由于( eq f(a,

5、 eq r(a2b2) ) )2( eq f(b, eq r(a2b2) ) )21，sin2cos21(1)若令 eq f(a, eq r(a2b2) ) sin，則 eq f(b, eq r(a2b2) ) cosasinbcos eq r(a2b2) (sinsincoscos) eq r(a2b2) cos()或原式 eq r(a2b2) cos()(2)若令 eq f(a, eq r(a2b2) ) cos，則 eq f(b, eq r(a2b2) ) sinasinbcos eq r(a2b2) (sincoscossin) eq r(a2b2) sin()例如：2sincos e

6、q r(2212) ( eq f(2r(5),5)sin eq f(r(5),5)cos)若令cos eq f(2r(5),5)，則sin eq f(r(5),5)2sincos eq r(5) (sincoscossin) eq r(5) sin()若令 eq f(2r(5),5)sin，則 eq f(r(5),5)cos2sincos eq r(5) (coscossinsin) eq r(5) cos()或原式 eq r(5) cos()看來(lái)，asinbcos均可化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，且有兩種形式.課堂練習(xí)1.求證：(1) eq f(r(3),2)sin eq f(1,2) cos

7、sin( eq f(,6) ) (2)cossin eq r(2) sin( eq f(,4) )(3) eq r(2) (sinxcosx)2cos(x eq f(,4) )證明：(1) eq f(r(3),2)sin eq f(1,2) cossin( eq f(,6) )證法一：左邊sincos eq f(,6) cossin eq f(,6) sin( eq f(,6) )右邊證法二：右邊sincos eq f(,6) cossin eq f(,6) eq f(r(3),2)sin eq f(1,2) cos左邊(2)cossin eq r(2) sin( eq f(,4) )證法一：

8、左邊 eq r(2) ( eq f(r(2),2)cos eq f(r(2),2)sin) eq r(2) (sin eq f(,4) coscos eq f(,4) sin) eq r(2) sin( eq f(,4) )右邊證法二：右邊 eq r(2) (sincos eq f(,4) cossin eq f(,4) ) eq r(2) ( eq f(r(2),2)sin eq f(r(2),2)cos)cossin左邊(3) eq r(2) (sinx+cosx)2cos(x eq f(,4) )證法一：左邊 eq r(2) (sinxcosx)2( eq f(r(2),2)sinx e

9、q f(r(2),2)cosx)2(cosxcos eq f(,4) sinxsin eq f(,4) )2cos(x eq f(,4) )右邊證法二：右邊2cos(x eq f(,4) )2(cosxcos eq f(,4) sinxsin eq f(,4) )2( eq f(r(2),2)cosx eq f(r(2),2)sinx) eq r(2) (cosxsinx)左邊2.利用和(差)角公式化簡(jiǎn)：(1) eq f(r(3),2)sinx eq f(1,2) cosx (2)3 eq r(15) sinx3 eq r(5) cosx(3) eq r(3) sinxcosx (4) eq

10、f(r(2),6)sin( eq f(,3) x) eq f(r(6),6)cos( eq f(,3) x)解：(1) eq f(r(3),2)sinx eq f(1,2) cosxsinxcos eq f(,6) cosxsin eq f(,6) sin(x eq f(,6) )或：原式sinxsin eq f(,3) cosxcos eq f(,3) cos(x eq f(,3) )(2)3 eq r(15) sinx3 eq r(5) cosx6 eq r(5) ( eq f(r(3),2)sinx eq f(1,2) cosx) 6 eq r(5) (sinxcos eq f(,6)

11、cosxsin eq f(,6) )6 eq r(5) sin(x eq f(,6) )或：原式6 eq r(5) (sin eq f(,3) sinxcos eq f(,3) cosx)6 eq r(5) cos(x eq f(,3) )(3) eq r(3) sinxcosx2( eq f(r(3),2)sinx eq f(1,2) cosx)2sin(x eq f(,6) )2cos(x eq f(,3) )(4) eq f(r(2),6)sin( eq f(,3) x) eq f(r(6),6)cos( eq f(,3) x) eq f(r(2),3) eq f(1,2) sin( e

12、q f(,3) x) eq f(r(3),2)cos( eq f(,3) x) eq f(r(2),3)sin eq f(,6) sin( eq f(,3) x)cos eq f(,6) cos( eq f(,3) x) eq f(r(2),3)cos eq f(,6) ( eq f(,3) x) eq f(r(2),3)cos(x eq f(,6) )或：原式 eq f(r(2),3)sin( eq f(,3) x)cos eq f(,3) cos( eq f(,3) x)sin eq f(,3) eq f(r(2),3)sin( eq f(,3) x) eq f(,3) eq f(r(2)

13、,3)sin( eq f(2,3) x).課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要在熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)并理解公式：asinbcos eq r(a2b2) sin()(其中cos eq f(a, eq r(a2b2) ) ，sin eq f(b, eq r(a2b2) ) )mcosnsin eq r(m2n2) cos()(其中cos eq f(m, eq r(m2n2) ) ，sin eq f(n, eq r(m2n2) ) )進(jìn)而靈活應(yīng)用上述公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行變形，解決一些問(wèn)題.課后作業(yè)課本P96 4，6；P101 4，5.兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)1若0

14、eq f(,4) ，sincosa，sincosb，則 ( )A.ab1 B.ab C.ab D.ab22已知、為銳角，cos eq f(1,7) ，cos() eq f(11,14) ，求的值.3已知 eq f(,2) eq f(3,4) ，cos() eq f(12,13) ，sin() eq f(3,5) ，求sin2的值.4若AB eq f(,4) ，求（1tanA)(1tanB)的值.5化簡(jiǎn) eq f( eq r(3) tan180,1 eq r(3) tan180) 6化簡(jiǎn)（tan10 eq r(3) ) eq f(cos100,sin500) 7求證： eq f(sinxcosx

15、,sinxcosx) tan(x eq f(,4) )8已知tanA與tan(A eq f(,4) )是x2pxq0的解，若3tanA2tan( eq f(,4) A)，求p和q的值.兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)答案1C2已知、為銳角，cos eq f(1,7) ，cos() eq f(11,14) ，求的值.分析：注意觀察、及間的關(guān)系，先求角的一個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)為銳角求出.解：為銳角，且cos eq f(1,7) ，sin eq r(1cos2) eq f(4r(3),7).又、均為銳角，0，且cos() eq f(11,14) ，sin() eq r(1cos2() eq f(5

16、r(3),14).則coscos()cos（)cossin()sin( eq f(11,14) ) eq f(1,7) eq f(5r(3),14) eq f(4r(3),7) eq f(1,2) eq f(,3) .評(píng)述：（1）在和（差）角公式的運(yùn)用中,要注意和、差的相對(duì)關(guān)系，如（).(2)求角的基本步驟：求角的范圍；求角的一個(gè)三角函數(shù)值；寫出滿足條件的角.3已知 eq f(,2) eq f(3,4) ，cos() eq f(12,13) ，sin() eq f(3,5) ，求sin2的值.分析：注意觀察、和2間的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計(jì)算.解：由題設(shè)知為銳角，所以sin（） eq f(

17、5,13) ，又是第三象限角，cos() eq f(4,5) ，由2()()得sin2sin()()sin()cos()cos()sin() eq f(56,65) 評(píng)述：在三角變換中，角的變換是常用技巧，本題是將角2變換成（)()，使已知式中的角與待求式中的角聯(lián)系起來(lái).4若AB eq f(,4) ，求（1tanA)(1tanB)的值.分析：注意待求式與正切和角公式間的聯(lián)系，將正切和角公式變形解題.解：（1tanA)(1tanB)1tanAtanBtanAtanB.又tan(AB) eq f(tanAtanB,1tanAtanB) 且AB eq f(,4) tan(AB)1 tanAtanB1

18、tanAtanB即tanAtanBtanAtanB1(1tanA)(1tanB)2.評(píng)述：在解題過(guò)程中要注意分析條件和結(jié)論中的關(guān)系式與有關(guān)公式間的聯(lián)系，并將公式進(jìn)行變形加以運(yùn)用.5化簡(jiǎn) eq f( eq r(3) tan180,1 eq r(3) tan180) 分析：注意把所要化簡(jiǎn)的式子與正切的差角公式進(jìn)行比較.解： eq f( eq r(3) tan180,1 eq r(3) tan180) eq f(tan600tan180,1tan600tan180) tan(6018)tan42評(píng)述：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值時(shí)，通常將常數(shù)寫成角的一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行變形.6化簡(jiǎn)（tan10

19、 eq r(3) ) eq f(cos100,sin500) 分析：切、弦混合式在不能直接運(yùn)用公式的情況下，考慮將切化弦.解：原式（tan10tan60) eq f(cos100,sin500) ( eq f(sin100,cos100) eq f(sin600,cos600) ) eq f(cos100,sin500) eq f(sin(500),cos100 cos600) eq f(cos100,sin500) eq f(1,cos600) 2. 評(píng)述：（1）切化弦是三角函數(shù)化簡(jiǎn)的常用方法之一.（2）把函數(shù)值化成tan60在本題的化簡(jiǎn)中是必經(jīng)之路.7求證： eq f(sinxcosx,sinxcosx) tan(x eq f(,4) )證明：左邊 eq f( eq r(2) sin(x eq f(,4) ), eq r(2) cos(x eq f(,4) ) tan(x eq f(,4) )右邊或：右邊tan(x eq f(,4) ) eq f(sin(x eq f(,4) ),cos(x eq f(,4) ) eq f(sinxcos eq f(,4