構(gòu)造平行四邊形巧解幾何問題

1、構(gòu)造平行四邊形巧解幾何問題平行四邊形是一類特殊的四邊形， 它的特殊性體現(xiàn)在邊、 角 和對角線上。矩形、菱形也是特殊的平行四邊形，它們除擁有平 行四邊形的性質(zhì)外， 各自還有獨特的性質(zhì)。 而正方形是最特殊的 四邊形，它集中了矩形、菱形等特殊四邊形的所有性質(zhì)。平行四 邊形是研究平面直線形圖形的重要基本圖形， 它為證明幾何問題 提供了極大的方便，比如證角相等、線段相等、直線平行或垂直 等都可以轉(zhuǎn)化為證平行四邊形， 而構(gòu)造平行四邊形是該類問題中 常用的技巧。一、證線段互相平分例 1 :如圖 1 所示，在 ABCD中，AE!BC, CFLAD DN=BM 求證：EF與MN互相平分?！痉治觥坑捎谄叫兴倪呅蔚?/p>

2、對角線互相平分，所以只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從 全等三角形下手。證明： ABCD二 ADBC ABCD / B=/ D又 T AE! BC CFL AD矩形 AECF 二 AE=CF Rt ABERt CDF( HL,或 AAS BE=DF 又由已知 BM=DN BEMPA DFN( SAS ME=NFv AF=CE AM=CN / MAFh NCE MAPA NCE( SAS MF=NE四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線 EF與MN互相平 分。二、證直線平行例2:如圖2所示，在厶ABC中, AE、BD CF為中線，F(xiàn)M/ BDDM/ AB求證： M

3、C/ AE證明：聯(lián)接 AM、 FDv FM/ BD， DM/ AB四邊形FBDM為平行四邊形二 BF/ DMv AF=BF二 AFDM四邊形AFDM為平行四邊形二 AMFD又v F、D、E分別為AB AC BC邊中點二 FDEC二 AMEC四邊形AECM為平行四邊形二 MC/ AE三、證角相等例 3：如圖 3 所示，在四邊形 ABCD中，AD=BCE、F分別是CD AB的中點，直線EF分別交BC AD延長線于S、T,求證：/ ATF=/ BSF【分析】由于/ ATF和/BSF不在同一個三角形內(nèi)，又不可 能在兩個全等的三角形內(nèi)， 所以需要把兩個角轉(zhuǎn)移， 由此想到會 通過某些點做平行線， 再結(jié)合平

4、行四邊形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì) 以達到目的。證明：過點F做GHCD且FG=FH連接DG CH AG BH則四邊形DGH(和四邊形AGBH是平行四邊形。二 AG=BH DG=CH DG/SF/CH/ ADG/ ATF, / BCH/ BSF又 T AD=BC ADG2A BCH( SSS/ ADG/ BCH/ ATF=/ BSF四、證三線共點例 4：如圖 4所示，求證：四邊形兩組對邊中點連線與兩對 角線中點連線這三線共點?！痉治觥咳鐖D，即證EF、MN和HL三線共點，易猜想這三線 兩兩互相平分， 結(jié)合平行四邊形對角線性質(zhì)， 可想到構(gòu)造平行四 邊形。證明：如圖，設(shè) N、H、M、L、F、E 分別為 AB

5、、BC、CD、DA、AC BD的中點，只需證明EF、LH和ML三線共點。連接 LE、EH、HF、LF、NE、EM、MF FN貝U LE、HF分別為 ABDffiABC的中位線，所以LE AB , HFAB所以LEHF故四邊形EHFL是平行四邊形，設(shè)EF,LH相交于Q貝U O平分EFo同理可證：四邊形 NFME是平行四邊形，所以 MN平分EF,即MN經(jīng)過點Q故EF, LH, MN線共點。五、證線段的和差倍分例5:如圖5所示，在 ABC的邊AB上截取AE=BF過E作ED/ BC 交 AC于 D,過 F 作 FG/ BC交 AC于 G求證： ED+FG=BC證明：過G作GH/ AB交BC于H,則四邊

6、形FBHG為平行四 邊形FG=BH FB=GHv AE=FB. AE=GHv AB/ GH ED/ BC/ A=Z HGCZ ADEh C AEDA GHC ED=HC ED+FG=HC+BH=BC六、在幾何計算中的妙用例4 :如圖6所示，在等腰厶ABC中，延長邊AB到點D, 延長邊CA到點E,聯(lián)結(jié)DE恰有AD=BC=CE=D求/ BAC的度數(shù)。【分析】 題設(shè)條件給出的是線段的等量關(guān)系，要求的卻是 角的度數(shù)，相等的線段可得到全等三角形、特殊三角形，為此需 通過構(gòu)造平行四邊形改變它們的位置。證明：過點C做CF/AD，過點D做DF/BC，CF與DF相交于F,連接EF。則四邊形DBCF是平行四邊形，所以DF=BCFC=DB ADE中, AD=ED 其底角/ EAD必為銳角，則/ BAC必為鈍角，必為 ABC的頂角，所以AB=AC 又v EC=AD二AE=DB二AE=FCv AD/FC/ EADW ECF ADEACEF( SAS EF=DE從而DE=DF=EJF故厶EDF是等邊三角形。設(shè)/ BAC= a 則/ A