工程有限元方法非線性有限元概述PPT(33頁(yè))

1、有限元方法與應(yīng)用非線性有限元分析張有為 工程力學(xué)系自由度縮減方法瑞利阻尼柯西阻尼比例阻尼非線性有限元概述靜力學(xué)有限元?jiǎng)恿W(xué)有限元非線性有限元概述非線性有限元概述非線性有限元概述非線性有限元概述結(jié)構(gòu)非線性問(wèn)題的來(lái)源、分類及特征 線彈性分析的特點(diǎn) 非線性問(wèn)題的來(lái)源 非線性分析的分類 非線性問(wèn)題的特征非線性方程組的基本解法 直接迭代法 Newton-Raphson法 修正Newton-Raphson法 增量法線彈性分析的特點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位移為無(wú)限小量幾何方程（應(yīng)變位移關(guān)系）為線性材料為線彈性物理方程（應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）為線性邊界條件性質(zhì)保持不變邊界條件中接觸狀態(tài)為已知離散控制方程控制方程為線性代數(shù)方程非線性問(wèn)題

2、的來(lái)源固體力學(xué)問(wèn)題，從本質(zhì)上講是非線性的，線性假設(shè)只是實(shí)際問(wèn)題中的一種簡(jiǎn)化。在分析線性彈性體系時(shí)，假設(shè)節(jié)點(diǎn)位移無(wú)限??；材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律；加載時(shí)邊界條件的性質(zhì)保持不變，如果不滿足上述條件之一的，就稱為非線性問(wèn)題。非線性問(wèn)題的來(lái)源材料非線性：體系的非線性是由于材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的非線性引起幾何非線性：結(jié)構(gòu)的位移使體系的受力狀態(tài)發(fā)生了顯著的變化，以致不能采用線性體系的分析方法接觸非線性：由隨時(shí)間發(fā)生變化的接觸狀態(tài)引起非線性問(wèn)題的分類(1) 材料非線性（小應(yīng)變）(2) 幾何非線性（大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)、小應(yīng)變）增壓器渦輪機(jī)輪盤葉片組件彈塑性變形L型梁大變形分析如高層建筑、大跨度鋼架結(jié)構(gòu)的結(jié)

3、構(gòu)分析大多屬于此類問(wèn)題如應(yīng)力集中問(wèn)題(缺口、裂紋等)非線性問(wèn)題的分類(2) 幾何非線性（大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)、大應(yīng)變）(3) 接觸非線性輪軌接觸 齒輪嚙合沖壓導(dǎo)致的厚度減薄如金屬的壓力加工問(wèn)題非線性問(wèn)題的分類結(jié)構(gòu)非線性有限元分析的類型、特點(diǎn)及描述方法分析類型特點(diǎn)描述方法應(yīng)力和應(yīng)變僅材料非線性位移和應(yīng)變無(wú)限小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的非線性彈性彈塑性工程應(yīng)力工程應(yīng)變大位移大轉(zhuǎn)動(dòng)小應(yīng)變線元的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)充分大，但線元的伸長(zhǎng)和線元之間的角度改變無(wú)限小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的完全Lagrangian描述Kirchhoff應(yīng)力Green應(yīng)變更新Lagrangian描述Cauchy應(yīng)力Almansi應(yīng)變大位

4、移大轉(zhuǎn)動(dòng)大應(yīng)變線元的伸長(zhǎng)和線元之間的角度改變充分大，線元的位移和角度也可以充分大，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的完全Lagrangian描述Kirchhoff應(yīng)力Green應(yīng)變更新Lagrangian描述Cauchy應(yīng)力Almansi應(yīng)變非線性問(wèn)題的特征非線性問(wèn)題最終可轉(zhuǎn)化為求解如下方程其中結(jié)構(gòu)非線性分析最終均可轉(zhuǎn)化為上述非線性方程組的求解，然而由于剛度矩陣及外力向量均為位移的函數(shù)，在求解過(guò)程中將發(fā)生變化，因此求解比線性問(wèn)題復(fù)雜，計(jì)算量大得多(1)非線性方程組求解的直接迭代法改寫原始方程組為直接迭代法計(jì)算流程(1) 假定初始試探解為(3) 若滿足如下迭代判據(jù)其中則停止迭代，否則轉(zhuǎn)向(2)某給定

5、的小量某誤差范數(shù)可取線彈性解為初始試探值非線性方程組求解的直接迭代法收斂發(fā)散非線性方程組求解的直接迭代法為避免直接迭代法每一步中對(duì)系數(shù)矩陣的求逆，可以采用常系數(shù)矩陣進(jìn)行迭代常系數(shù)矩陣的直接迭代法計(jì)算流程(1) 假定初始試探解為(2) 求第一步迭代近似解為(3) 對(duì)近似解進(jìn)行修正其中非線性方程組求解的直接迭代法典型算例直接迭代法計(jì)算流程其中(1) 假定初始試探解為迭代11次收斂非線性方程組求解的直接迭代法常系數(shù)矩陣直接迭代法計(jì)算流程(1) 假定初始試探解為(2) 第一步迭代近似解為迭代16次收斂非線性方程組求解的直接迭代法迭代歷史比較非線性方程組求解的N-R法非線性方程組的一階Taylor展開式

6、N-R方法的計(jì)算流程切線矩陣其中(1) 計(jì)算近似解修正量并更新近似解非線性方程組求解的N-R法N-R方法的收斂性一般情況下具有良好的收斂性偶爾會(huì)出現(xiàn)發(fā)散（如下圖）收斂可能的發(fā)散非線性方程組求解的mN-R法為避免N-R方法每一迭代步中對(duì)切線矩陣的求逆，常常可以采用修正的方案，即修正N-R方法(mN-R)，其中切線矩陣總是采用它的初始值mN-R方法的計(jì)算流程其中(1) 計(jì)算近似解修正量并更新近似解非線性方程組求解的mN-R法非線性方程組求解的(m)N-R法典型算例N-R法計(jì)算流程其中迭代5次收斂(1) 假定初始試探解為非線性方程組求解的(m)N-R法mN-R法計(jì)算流程(1) 假定初始試探解為迭代1

7、6次收斂，對(duì)于此特例問(wèn)題，其與校正的直接迭代法類似則非線性方程組求解的(m)N-R法迭代歷史比較擴(kuò)展擬牛頓法秩2算法BFGS算法非線性方程組求解的增量法用以表示載荷變化的參數(shù)切線矩陣其中上式所提出的是一典型的常微分方程組問(wèn)題，可以利用很多方法求解如：(1) 歐拉方法，(2) N-R方法非線性方程組求解的增量法歐拉方法計(jì)算流程校正的歐拉方法流程其中(2)其中(3)非線性方程組求解的增量法歐拉方法的收斂性采用(2)和(3)式計(jì)算的結(jié)果都不能精確滿足原方程，且將導(dǎo)致解的漂移，且隨著增量的增加，解的漂移現(xiàn)象愈加嚴(yán)重考慮平衡校正的增量解法，即對(duì)(2)式進(jìn)行修正，改寫為(4)歐拉法求解增量方程和解的漂移考慮平衡校正的增量解法非線性方程組求解的增量法N-R方法計(jì)算流程mN-R方法流程每一個(gè)增量步中采用N-R方法迭代求解本步結(jié)束時(shí)的解其中(5)(6)將N-R方法中每一個(gè)迭代步的切線矩陣用本步初始值替代非線性方程組求解的增量法N-R和mN-R方法的收斂性兩種方法較增量法的收斂性好mN-R方法求解非線性方程組時(shí)，可以避免每次迭代重新形成和求逆切線矩陣，但降低了收斂速度，尤其是P-a曲線突然趨于平坦時(shí)（如結(jié)構(gòu)分析中結(jié)構(gòu)趨于極限載荷或突然變軟），收斂速度會(huì)很慢。為加速收斂，可采用一些常用的方法進(jìn)行改進(jìn)，如Aitken加速法，這里不再詳細(xì)列舉N-R方法求解增量方程mN-R方法求解增量方程非線性