數(shù)學(xué)所講座第54講-數(shù)學(xué)研究所課件

1、數(shù)學(xué)所講座, 2016年9月7日從太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題談起 尚在久中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院數(shù)學(xué)研究所報(bào)告摘要 本報(bào)告圍繞基于牛頓運(yùn)動(dòng)方程的太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“穩(wěn)定性問(wèn)題”），簡(jiǎn)要介紹天體力學(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)的若干交叉發(fā)展歷史片段，特別側(cè)重于介紹在解決“穩(wěn)定性問(wèn)題”的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的某些動(dòng)力系統(tǒng)基本概念、基本方法和基本結(jié)果，從中窺探一個(gè)好的科學(xué)問(wèn)題如何持久地推動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論發(fā)展，一個(gè)有生命力的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論如何深刻地影響著科學(xué)的發(fā)展。 本報(bào)告在某種程度上是程崇慶2012年數(shù)學(xué)所講座“哈密爾頓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜性”的部分細(xì)節(jié)性補(bǔ)充。 牛頓（Isaac Newton，1643-1727）Philosoph

2、i Naturalis Principia Mathematica (1687) 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理牛頓運(yùn)動(dòng)方程（第二定律+萬(wàn)有引力定律）：?jiǎn)栴}：給定N質(zhì)點(diǎn)系的初始位置和初始速度，確定該質(zhì)點(diǎn)系在任一時(shí)刻的位置和速度，使之滿足牛頓運(yùn)動(dòng)方程。 N質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間（6N維）：TM, 其中 M=EEE , 是碰撞流形10個(gè)首次積分：質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)：6個(gè)首次積分；動(dòng)量矩守恒：3個(gè)首次積分；能量守恒：一個(gè)首次積分N=2（Kepler二體問(wèn)題）, 6N-10=2 (方程可解！）；N=3（三體問(wèn)題），6N-10=8（方程不可解?。㎞=3, 第三體質(zhì)量為零，被稱為“限制性三體問(wèn)題”,在一些特殊情形可求得一

3、些重要的解析解（但求不出全部解?。?。 太陽(yáng)系：是以太陽(yáng)為中心，和所有受到太陽(yáng)引力約束的天體集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173顆已知的衛(wèi)星；5顆已經(jīng)辨認(rèn)出來(lái)的矮行星；數(shù)以億計(jì)的太陽(yáng)系小天體（包括人造衛(wèi)星、航天飛行器等）。牛頓運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（牛頓）伽利略時(shí)空 伽利略變換：(1) 保持時(shí)間間隔不變; (2) 保持同一時(shí)刻兩事件間距離不變勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)空參照系原點(diǎn)平移坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)一般的伽利略變換是上述三個(gè)基本變換的復(fù)合N質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的伽利略變換：每個(gè)質(zhì)點(diǎn)做相同的上述伽利略變換相對(duì)性原理：在慣性參照系中運(yùn)動(dòng)方程在伽利略變換下不變牛頓運(yùn)動(dòng)方程的一般形式：一個(gè)封閉的力

4、學(xué)系統(tǒng)，物體之間的作用力只依賴各個(gè) 物體之間的距離及其相對(duì)速度；慣性系下加速度不變。萬(wàn)有引力定律（牛頓，1687）: 由Kepler三定律+力的疊加性質(zhì)導(dǎo)出。Kepler問(wèn)題：N=2牛頓根據(jù) Kepler三定律推導(dǎo)出天體間作用力與距離的平方成反比 The direct Kepler problem (le probleme direct): given a curve (e.g. an ellipse) and the center of attraction (e.g. the focus), what is the law of this attraction if Keplers sec

5、ond law holds? Proposition (Newton): if a body moves on an ellipse and the center of force is at one of the foci, then the force is inversely proportional to the square of the distance from the center to the body.牛頓運(yùn)動(dòng)方程求解（J. Hermann, J. Bernoulli, Euler, etc)Kepler問(wèn)題求解（N=2)：“The inverse Kepler probl

6、em”：牛頓驗(yàn)證了Kepler 三定律；J. Hermann, Johann Bernoulli （1710）： 給出了Kepler問(wèn)題的精確解；特別，J. Bernoulli的解法成為標(biāo)準(zhǔn)解法（利用了守恒律）1571-1630，德國(guó)天文學(xué)家，丹麥天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng) Kepler 問(wèn)題 （軌線方程）Trajectory (in polar coordinates)f=真近點(diǎn)角 ， =半長(zhǎng)軸e=離心率開(kāi)普勒軌道根數(shù)：天體狀態(tài)坐標(biāo)： N-體問(wèn)題N-體問(wèn)題： (無(wú)解析解！-Poincar） 在Poincar以前，牛頓運(yùn)動(dòng)方程的求解一直是微分方程的主要研究課題，鮮有實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。但是此問(wèn)題刺激了常微分方程、變分

7、學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)和數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展，涌現(xiàn)了大批著名數(shù)學(xué)家。本報(bào)告涉及到的還有：Laplace, Lagrange, Poisson, Liouville, Hamilton, Poincar, Kolmogorov和Arnold，Moser等，他們?cè)跀?shù)學(xué)和力學(xué)界都享有盛譽(yù)。 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）：法國(guó)的牛頓 1749-1827 法國(guó)數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)的主要奠基人Mcanique Cleste (Celestial Mechanics) 5卷 (17991825）牛頓雖然發(fā)明了微積分，但是并沒(méi)有用來(lái)求解他建立的運(yùn)動(dòng)方程，他研究天體力學(xué)問(wèn)題還是運(yùn)用繁瑣的幾何推理

8、方法；經(jīng)麥克勞林、伯努利兄弟、泰勒和歐拉等對(duì)微積分的發(fā)展，特別是伯努利兄弟和歐拉對(duì)微分方程的研究，開(kāi)始了求解牛頓運(yùn)動(dòng)方程的漫長(zhǎng)征程。關(guān)于太陽(yáng)系穩(wěn)定性問(wèn)題，第一個(gè)提出并取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的是拉普拉斯?！疤?yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題”：在牛頓萬(wàn)有引力作用下，在遙遠(yuǎn)的未來(lái)，太陽(yáng)系是否還保持現(xiàn)在的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？是否有行星會(huì)發(fā)生碰撞或者逃逸到太陽(yáng)系以外？“證明”（1773）-經(jīng)行星橢圓軌道離心率的一次冪級(jí)數(shù)逼近，平均系統(tǒng)各行星主半軸無(wú)長(zhǎng)期變化。哲學(xué)：牛頓-拉普拉斯決定論。即目前的狀態(tài)決定過(guò)去和未來(lái)（常微分方程初值問(wèn)題解的存在唯一性。但是無(wú)所不在的分叉和混沌現(xiàn)象顛覆了Laplace的決定論信條）。Laplace 攝動(dòng)法-求

9、解數(shù)學(xué)物理方程的主要方法發(fā)展了攝動(dòng)法，開(kāi)創(chuàng)了天體力學(xué)研究新局面（19世紀(jì)中葉Adams和Le Verrier據(jù)此精確計(jì)算發(fā)現(xiàn)了海王星-太陽(yáng)系最外層一顆行星）；解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時(shí)土星軌道又在不斷地膨脹。用數(shù)學(xué)方法證明行星的軌道大小只有周期性變化，為偏心率和傾角的3次冪。發(fā)現(xiàn)木星三衛(wèi)星和土星四衛(wèi)星的公度關(guān)系（頻率的有理相關(guān)性）；給出保守力的勢(shì)函數(shù)表示，提出拉普拉斯調(diào)和方程（1784-85）；攝動(dòng)法：把方程未知量分成慢變量（如半長(zhǎng)軸、離心率、傾角等）和快變量（如角變量等），平均系統(tǒng)是對(duì)天體繞行一周做平均得到的系統(tǒng)。 ， 平均方法平均系統(tǒng) （A）其中， Laplace證明：系統(tǒng)（A

10、）的給定初值的解 得第一個(gè)分量 關(guān)于 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的一次冪中 無(wú)下列形式的項(xiàng)： 拉格朗日（Lagrange, 1736-1813) 生于意大利，先后供職于都靈、柏林普魯士科學(xué)院，定居巴黎分析力學(xué)-“力學(xué)成為分析學(xué)的一個(gè)分支”Lagrange對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題的貢獻(xiàn)（1774-76）：把Laplace的結(jié)果推廣到關(guān)于橢圓軌道離心率的所有階逼近，對(duì)軌道平面相互間傾角的所有階逼近以及對(duì)行星質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量之比的一階逼近（仍然針對(duì)平均系統(tǒng)?。agrange 的更大貢獻(xiàn)是建立了Lagrange力學(xué)，發(fā)展了變分學(xué)。Lagrange函數(shù)：作用量變分：Euler_Lagrange方程：Lagrange力學(xué)和變分原

11、理 針對(duì)帶約束的力學(xué)系統(tǒng)，發(fā)展了牛頓力學(xué)，建立了拉格朗日力學(xué)-牛頓力學(xué)的一種新的表述；特別引入作用量(Lagrange函數(shù)）、廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，使得Lagrange表述下的運(yùn)動(dòng)方程（Euler-Lagrange方程）具有形式不變性-這是一個(gè)非常重要的性質(zhì)，使得力學(xué)問(wèn)題有了統(tǒng)一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理方法，更具有普適性，而且為之后更重要的Hamilton力學(xué)提供了條件；除了經(jīng)典力學(xué)，場(chǎng)論和統(tǒng)計(jì)物理也都采用Lagrange和Hamilton表述，成為更具普適性的數(shù)學(xué)框架。由此也推動(dòng)數(shù)學(xué)分析成為一個(gè)獨(dú)立的分支。Lagrange變分原理：作用量（Lagrange函數(shù)的路徑積分）取極小 普遍適用的原理（任何一種

12、物理或力學(xué)平衡態(tài)都可認(rèn)為是某種泛函取極值的態(tài)，如天體的周期運(yùn)動(dòng)以及各天體間穩(wěn)定的位置關(guān)系都可解釋為某種量取極值的狀態(tài)，這個(gè)觀點(diǎn)仍有極大的應(yīng)用和發(fā)展前景）。 泊松（Simoen Danies Poisson，1781-1840） 法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家力學(xué)教程（2卷）-發(fā)展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成為名著受到Laplace和Lagrange賞識(shí)，擅長(zhǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問(wèn)題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)；他對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)；在天體力學(xué)方面，他研究了關(guān)于月球和行星的理論以及太陽(yáng)系穩(wěn)定性的某些問(wèn)題，計(jì)算出由球體和橢球體引

13、起的萬(wàn)有引力；穩(wěn)定性問(wèn)題：推廣了Lagrange的結(jié)果，證明了行星的長(zhǎng)軸關(guān)于質(zhì)量比的二階擾動(dòng)不含長(zhǎng)期項(xiàng)（1809）；Poisson穩(wěn)定性：質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的構(gòu)型反復(fù)地回到初始位置附近，則系統(tǒng)被稱為Poisson穩(wěn)定-引出后來(lái)的著名的Poincare回復(fù)定理（動(dòng)力系統(tǒng)的基本定理之一）。劉維爾(Joseph Liouville，1809-1882) 法國(guó)數(shù)學(xué)家 創(chuàng)辦純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志(Journal de matmatiques pures et appliques)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作，被后人稱為劉維爾雜志(Liouvilles Journal)。著名的伽羅瓦群論的文章是Liuville

14、在伽羅瓦死后親自編輯發(fā)表的。橢圓函數(shù)、微分方程、數(shù)論等方面貢獻(xiàn)卓著；引進(jìn)作用-角變量，提出Liouville可積性 （Kepler問(wèn)題是可積的）穩(wěn)定性問(wèn)題：Poisson之后近70年無(wú)進(jìn)展，Liouville于1878年顯著簡(jiǎn)化了Poisson很長(zhǎng)的證明，引入了新的方法。年輕的Spiru Haretu(羅馬尼亞，1851-1912) 證明：行星軌道長(zhǎng)軸關(guān)于與太陽(yáng)質(zhì)量比的三階冪級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)中出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)，從而明確得出與Laplace， Lagrange 和 Poisson相反的結(jié)論。證明中利用了牛頓運(yùn)動(dòng)方程的Hamilton表述和對(duì)稱約化的思想，將計(jì)算推進(jìn)到三階逼近。這個(gè)證明也表明定量方法已經(jīng)走向了

15、死胡同，穩(wěn)定性問(wèn)題其離解決路途遙遠(yuǎn)。Bruns(1887):除了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法外，沒(méi)有其他定量方法能解決穩(wěn)定性問(wèn)題。哈密爾頓 (William Rowan Hamilton，1805-1865) 愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和天文學(xué)家研究幾何光學(xué)時(shí)提出并發(fā)展了Hamilton典則方程，后應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)發(fā)展出Hamilton力學(xué)-牛頓力學(xué)的新的表述，更具普適性。哈密爾頓力學(xué) 相空間上的辛結(jié)構(gòu)：非退化反對(duì)稱微分2-形式哈密爾頓系統(tǒng)在相空間上的演化是單參數(shù)辛變換群，即保持辛結(jié)構(gòu)不變的變換；Hamilton函數(shù)在辛變換下不變,自治系統(tǒng)能量守恒；基于哈密爾頓方程，經(jīng)Jacobi以及Lindstedt等人的發(fā)展，經(jīng)

16、典力學(xué)中基于Laplace擾動(dòng)展開(kāi)的冪級(jí)數(shù)解法已經(jīng)發(fā)展的非常成熟。在作用-角變量下，哈密爾頓函數(shù) 其中 是可積哈密爾頓函數(shù)（如Kepler二體問(wèn)題）， 是小參數(shù)；Hamilton-Jacobi方程：求 滿足：冪級(jí)數(shù)解（Lindstedt)：若冪級(jí)數(shù)解存在且收斂，則在新的作用-角坐標(biāo) 下，運(yùn)動(dòng)方程為：解：在舊坐標(biāo) 下， 問(wèn)題：上述冪級(jí)數(shù)一般是發(fā)散的！（龐加萊，1890）（現(xiàn)在已知，求解H-J方程是一個(gè)極其困難的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，沒(méi)有光滑解。H-J方程在動(dòng)力系統(tǒng)、最優(yōu)傳輸、控制論和流體力學(xué)等方面有重要應(yīng)用。）龐加萊(Jules Henri Poincar,1854-1912)法國(guó)數(shù)學(xué)家研究涉及數(shù)論、

17、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、函數(shù)論和微分方程等許多領(lǐng)域，特別他開(kāi)創(chuàng)了動(dòng)力系統(tǒng)和組合拓?fù)鋵W(xué)。他被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對(duì)于數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識(shí)的最后一個(gè)人。他和Hilbert是對(duì)二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)影響最大的兩個(gè)人。阿達(dá)瑪認(rèn)為龐加萊“整個(gè)地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的狀況，在一切方向上打開(kāi)了新的道路?！?龐加萊關(guān)于穩(wěn)定性問(wèn)題的工作起源于1885年瑞典國(guó)王奧斯卡二世所設(shè)的一項(xiàng)有獎(jiǎng)問(wèn)題(Acta Mathematica, Vol. 7,1885)： 一個(gè)只受牛頓引力作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，假設(shè)沒(méi)有任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞，則各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)作為時(shí)間的函數(shù)可表示為一個(gè)一致收斂的冪級(jí)數(shù)的和，其中冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)由

18、已知函數(shù)給出。這個(gè)問(wèn)題由當(dāng)時(shí)歐洲的數(shù)學(xué)權(quán)威Weierstrass受命給出（評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)還有Hermite 和Mittag-Leffler). 具上世紀(jì)70年代公布的Weistrass與Kowalevskaya的通信顯示，Dirichlet曾于1858年聲稱證明了這個(gè)問(wèn)題，但是由于其很快去世，手稿遺失。但Weierstrass深信Dirichlet是對(duì)的，把此問(wèn)題設(shè)獎(jiǎng)目的是想找到Dirichlet的證明。 狄利克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，18051859）德國(guó)數(shù)學(xué)家，高斯的繼任者，解析數(shù)論創(chuàng)始人1888年，龐加萊提交了關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的論文“關(guān)于三體問(wèn)題的動(dòng)態(tài)方

19、程”(Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique,Acta Math 1890,270頁(yè)），但并不是證明這樣的級(jí)數(shù)一致收斂，相反，他證明了這樣的級(jí)數(shù)一般發(fā)散，想求得“N體問(wèn)題”的通解是不可能的！發(fā)散的原因是冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的系數(shù)都包含所謂的“小分母”（分母是一個(gè)固定頻率映射和可任意取值的整數(shù)向量的內(nèi)積-因此這個(gè)內(nèi)積隨著級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增大可任意??！而且在一個(gè)稠密但零測(cè)度集合上取值為零?。?。這個(gè)結(jié)果對(duì)Weierstrass是個(gè)打擊。但是評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)還是決定把獎(jiǎng)?lì)C給Poincare，因?yàn)樗墓ぷ魃罨巳藗儗?duì)“N體問(wèn)題”的理

20、解,深刻揭示了其動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性。龐加萊之后在“N體問(wèn)題”方面的工作，更開(kāi)創(chuàng)了微分方程定性理論和動(dòng)力系統(tǒng)新領(lǐng)域。動(dòng)力系統(tǒng)的許多概念和問(wèn)題來(lái)自Poincare (Les Methods Nouvelles de la Mecanique Celeste-天體力學(xué)新方法三卷）。經(jīng)Birkhoff, Kolmogorov, Smale, Arnold, Moser等人的工作，動(dòng)力系統(tǒng)逐步擺脫天體力學(xué)的局限，成為一門獨(dú)立的學(xué)科，特別幾何、拓?fù)浜头治龅葟?qiáng)有力的方法的應(yīng)用，使得動(dòng)力系統(tǒng)獲得了巨大發(fā)展，也產(chǎn)生了重要的應(yīng)用。Weierstrass的堅(jiān)定信念和Kolmogorov的深刻洞察據(jù)公開(kāi)的信件顯示，Wei

21、erstrass仔細(xì)審核了龐加萊的論文后，認(rèn)為也不排除存在收斂的冪級(jí)數(shù)解。Weierstrass的這個(gè)信念被蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.N. Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold(1963)證實(shí)了，即確實(shí)能夠驗(yàn)證：從相空間的大多數(shù)初值出發(fā)的軌道其解是由關(guān)于時(shí)間一致收斂的冪級(jí)數(shù)表達(dá)的，更好的是，這些解是擬周期的，因此是穩(wěn)定的。Poincare的結(jié)果已經(jīng)表明：一般來(lái)說(shuō)，可積系統(tǒng)經(jīng)擾動(dòng)后不再是可積的，因此Lindstedt的方法試圖把近可積哈密爾頓系統(tǒng)在典則坐標(biāo)變換下變成可積系統(tǒng)是行不通的。Kolmogorov的思想：類似于函數(shù)求根，對(duì)微分方程在其解附近運(yùn)用牛頓迭代，但是因?yàn)椤靶》帜浮眴?wèn)題，迭代的

22、收斂性證明是主要難點(diǎn)，但利用牛頓迭代的二次收斂性以及系統(tǒng)的解析性質(zhì)（解析函數(shù)Fourier展開(kāi)的系數(shù)指數(shù)衰減），正好能夠補(bǔ)償丟番圖頻率向量帶來(lái)的包含小分母的系數(shù)的冪次增長(zhǎng)，從而得以保證迭代過(guò)程收斂，而且由于丟番圖向量在頻率向量空間是全測(cè)集，這個(gè)過(guò)程在一個(gè)大測(cè)度集合上收斂，Kolmogorov最初給的條件是可積系統(tǒng)的頻率映射非退化，保證給定丟番圖頻率的不變環(huán)面的存在性。1998年H.Ruessmann 把非退化條件大大減弱，只要頻率映射的像不落在過(guò)原點(diǎn)的超平面就行，不過(guò)此時(shí)不變環(huán)面雖然存在，但是不能保證是指定頻率的不變環(huán)面（頻率飄移）。KAM定理間接證明了Lindstedt級(jí)數(shù)在相空間的大部分收

23、斂)。 柯?tīng)柲缏宸颍ˋ.N. Kolmogorov,1903-1987）前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家實(shí)分析、泛函分析、概率論、動(dòng)力系統(tǒng)、流體力學(xué)Kolmogorov定理：一般情形的近可積哈密頓系統(tǒng)的擬周期解在相空間中占據(jù)一個(gè)正測(cè)度的無(wú)處稠密的集，其測(cè)度隨著擾動(dòng)趨于零趨于一個(gè)全測(cè)集。（發(fā)表在 ICM54 會(huì)議文集上（閉幕演講,僅4頁(yè)，包含了證明思路）近可積系統(tǒng)：完全可積系統(tǒng)+小擾動(dòng)一般情形：可積系統(tǒng)非退化（或者等能非退化） （不能直接應(yīng)用于太陽(yáng)系！）擬周期解的頻率的個(gè)數(shù)=自由度數(shù),在最大維數(shù)的環(huán)面上遍歷（極小不變環(huán)面）！不變環(huán)面的頻率是丟番圖向量（所有丟番圖向量構(gòu)成全測(cè)集）。詳細(xì)證明被其學(xué)生 V. Arnol

24、d（1963）對(duì)解析哈密爾頓系統(tǒng)和 德國(guó)的J. Moser（1962）對(duì)333次可微的二維扭轉(zhuǎn)映射給出。定理被后來(lái)的數(shù)學(xué)界冠名為KAM 定理，被認(rèn)為是二十世紀(jì)經(jīng)典力學(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)的突破性成果。應(yīng)用于”N體問(wèn)題”-Arnold的一系列工作（克服Kepler退化!）V. I. Arnold (1937-2010), 俄羅斯數(shù)學(xué)家（天體力學(xué)，辛幾何，動(dòng)力系統(tǒng), 代數(shù)幾何）J. Moser (1928-1999)，德國(guó)數(shù)學(xué)家（微分方程，動(dòng)力系統(tǒng)，辛幾何）“小分母問(wèn)題”的相關(guān)工作：C. L. Siegel (1896-1981),德國(guó)數(shù)學(xué)家（數(shù)論，復(fù)分析，天體力學(xué)） 解析函數(shù)的線性化問(wèn)題（首先克服了小分母

25、困難，1942） -Siegel diskJ. C. Yoccoz (1984,1985,1995), 法國(guó)數(shù)學(xué)家，F(xiàn)ields獎(jiǎng)（1994） -V. I. Arnold (1959):M. Herman(1976): Aubry-Mather theory （應(yīng)用于解決Arnold擴(kuò)散：Mather+程崇慶）；KAM理論在退化、無(wú)窮維、低維環(huán)面等情形的豐富和完善； J. Mather (1942-)Painleve猜想 (1897)：有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生非碰撞奇點(diǎn) 夏志宏（Ann. Math. 1992)：構(gòu)造了一個(gè)五體問(wèn)題的例； Hamilton系統(tǒng)周期解理論，天體力學(xué)中心構(gòu)形（變分法）辛幾何哈

26、密爾頓系統(tǒng)的計(jì)算（辛算法，Ruth,馮康 1980s）關(guān)于KAM定理的注記揭示了近可積哈密爾頓系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性（拓?fù)洳环€(wěn)定） KAM定理表明，n個(gè)自由度的非退化且完全可積的哈密爾頓系統(tǒng)，在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)下，大多數(shù)初值出發(fā)的運(yùn)動(dòng)都是擬周期運(yùn)動(dòng)，其極小不變集是n維環(huán)面。這些環(huán)面的并是相空間的一個(gè)大測(cè)度的Cantor集，余集是相空間的稠密的開(kāi)集，但測(cè)度隨著擾動(dòng)的減小而趨于零。當(dāng)n=2時(shí)，緊的能量面是3維，每個(gè)二維不變環(huán)面把能量面分割成不連通的兩部分（內(nèi)部和外部），因而能量面被不可數(shù)多的二維不變環(huán)面分割開(kāi)來(lái)，而且這些不變換面在能量面上占據(jù)了一個(gè)大測(cè)度的集合，因此保證了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。當(dāng)n=3時(shí)，能量面是

27、5維，三維不變環(huán)面不能把5維能量面分割成不連通的部分，Arnold猜測(cè)，不變環(huán)面以外的初值出發(fā)的相軌道可能具有運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性，1964年他舉例說(shuō)明這種現(xiàn)象存在，但擴(kuò)散速度與系統(tǒng)擾動(dòng)相比指數(shù)級(jí)慢，被稱為Arnold慢擴(kuò)散。1977年，Nekhoroshev證明：如果擴(kuò)散存在，一般情況下擴(kuò)散速度確實(shí)指數(shù)級(jí)慢（對(duì)解析哈密爾頓系統(tǒng)）。但擴(kuò)散是否存在？這一直是哈密爾頓系統(tǒng)領(lǐng)域一個(gè)頗受關(guān)注的問(wèn)題，一些學(xué)者從Arnold的幾何方法角度，另一些學(xué)者從Mather變分方法（1991）的角度進(jìn)行研究，取得一些進(jìn)展，較大的進(jìn)展是由程崇慶等最近取得的（三個(gè)自由度近可積哈密爾頓系統(tǒng)的擴(kuò)散軌道的存在性）。 揭示了近可積哈密

28、爾頓系統(tǒng)在近乎隨機(jī)選取初值的意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 不變環(huán)內(nèi)一定有周期解,即相空間中的閉曲線（閉軌道）。但是只有穩(wěn)定的軌道才應(yīng)該是有意義的。在Poincare之前，Hill（1978）研究月球的運(yùn)動(dòng)（平面限制三體問(wèn)題），找到了月球方程的兩個(gè)周期解，落在能量面（非緊） Hill 的方程是（2個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng)） Hill的理論極大地吸引了Poincare的注意，深刻地影響了Poincare，按照 G.D.Birkhoff 的說(shuō)法，“Hill關(guān)于月球理論的研究掀開(kāi)了理論動(dòng)力學(xué)的重要篇章”。Poincare 證明了哈密爾頓系統(tǒng)在橢圓平衡點(diǎn)周圍存在無(wú)窮多周期解，構(gòu)成一張過(guò)此平衡點(diǎn)的二維曲面，但

29、所有這些周期軌道是否穩(wěn)定無(wú)法證明。直到1979年，M. Kummer才運(yùn)用KAM定理證明了Hill的兩個(gè)周期軌道的穩(wěn)定性，時(shí)間過(guò)去了整整一個(gè)世紀(jì)。應(yīng)用KAM定理證明限制性三體問(wèn)題甚至三提問(wèn)體周期軌的穩(wěn)定性已經(jīng)有了不少工作，直到最近還有人證明三體問(wèn)題中著名的8字形周期軌是穩(wěn)定的（8字形周期軌的論文見(jiàn) A. Chenciner and R. Montgomery， A remarable periodic solution of the three-body problem in the case of eaual masses, Ann. Math (2) 152:2, 881-901 (200

30、0 ). Lindstedts 方法KAM方法動(dòng)力系統(tǒng) 穩(wěn)定性問(wèn)題的研究揭示了牛頓運(yùn)動(dòng)方程和更一般的哈密爾頓系統(tǒng)表現(xiàn)出極其豐富和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，有著豐富而深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容。Poincare的開(kāi)創(chuàng)性工作，經(jīng)Birkhoff等大批杰出數(shù)學(xué)家的大力發(fā)展，動(dòng)力系統(tǒng)發(fā)展演變成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域和活躍的數(shù)學(xué)分支。下面僅就與哈密爾頓系統(tǒng)和穩(wěn)定性問(wèn)題密切相關(guān)的幾個(gè)基本方面做簡(jiǎn)單介紹。（1）圓周保向微分同胚（2）平面環(huán)域扭轉(zhuǎn)映射（3）解析函數(shù)的線性化不變環(huán)面、Poincare映射（1）圓周的保向（微分）同胚:旋轉(zhuǎn)數(shù)（Poincare):定理1.1（Poincare) 保向同胚存在旋轉(zhuǎn)數(shù)，且旋轉(zhuǎn)數(shù)不依賴圓周上點(diǎn)

31、的選取。旋轉(zhuǎn)數(shù)是有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)同胚的某個(gè)有限次迭代映射有不動(dòng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)數(shù)是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞俊６ɡ?.2（Denjoy,1932) 圓周的保向同胚屬于 , 且旋轉(zhuǎn)數(shù) 是無(wú)理數(shù)，則 它拓?fù)涞葍r(jià)于標(biāo)準(zhǔn)旋轉(zhuǎn) 定理由Poincare1885年猜測(cè)（對(duì)三角多項(xiàng)式函數(shù)）。Denjoy還舉反例說(shuō)明 不成立。穩(wěn)定性（解析同胚解析共軛于旋轉(zhuǎn)映射）定理1.3（Arnold 1960, Ruessmann 1970, Yoccoz 1989) 設(shè) A是 的單位圓周映射，其旋轉(zhuǎn)數(shù) 是無(wú)理數(shù)，其連分?jǐn)?shù)表示為 . 設(shè) 如果 , 則存在 ，使得如果則存在解析同胚 ，使得： . 而且丟番圖條件是最優(yōu)的。到環(huán)面的推廣（Arnold

32、1961, Moser 1962, 1990) 光滑共軛。 最優(yōu)結(jié)果？剛性定理1.4（Herman, Yoccoz) 若 是解析保向微分同胚，旋轉(zhuǎn)數(shù)滿足某種丟番圖條件，則 解析共軛于標(biāo)準(zhǔn)的圓周旋轉(zhuǎn)。所給的丟番圖條件是最優(yōu)的（Yoccoz）.定理1.5 （Herman 1976, Khanin & Teplinski 2009) 是 保向微分同胚，旋轉(zhuǎn)數(shù)滿足 丟番圖條件，01, -0，使得此二同胚（1+）次光滑共軛。證明方法：重整化技術(shù)、交叉比（2）環(huán)域的保面扭轉(zhuǎn)映射定理2.1（Moser 1962, Herman 1983) 環(huán)域上（3+）次可微的標(biāo)準(zhǔn)保面扭轉(zhuǎn)映射的（3+）次擾動(dòng)（擾動(dòng)后的映射

33、還是保面積映射），存在同倫于邊界的閉曲線，而且閉曲線所占據(jù)環(huán)面的測(cè)度隨著擾動(dòng)的消失趨于環(huán)面的測(cè)度。定理2.2（Poincare-Birkhoff) 環(huán)域上保面扭轉(zhuǎn)微分同胚至少存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。定理2.3 （Mather,1982) 設(shè)A是環(huán)域到自身保持邊界旋轉(zhuǎn)的單調(diào)扭轉(zhuǎn)同胚，其在邊界的旋轉(zhuǎn)數(shù)為, 對(duì)任一：, 存在實(shí)軸上一個(gè)弱保序映射f (t) 使得f(t+1)=f(t)+1A(f(t),g(t)=(f(t+ ), g(t+ )其中 g(t)也是一個(gè)弱保序的單位圓周的提升映射，由f 和 A唯一確定，與f有相同的連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)。若t是f的連續(xù)點(diǎn)，則t+ ，t- 也是；若=p/q, 則存在 (x,y)

34、 使得 Aq (x,y)=(x+p,y); 若是無(wú)理數(shù)，則f在任何區(qū)間上不為常數(shù)。 曲線x=f(t), y=g(t), -t +是一條環(huán)形不變曲線（可能間斷），其閉包可能是 Cantor集。（3）解析函數(shù)的線性化定理 3.1 (Siegel 1942) 復(fù)平面原點(diǎn)領(lǐng)域的一個(gè)解析函數(shù)，若其在零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在單位圓上，且滿足丟番圖條件，則在原點(diǎn)鄰域解析等價(jià)于線性部分。定理3.2 (Yoccoz 1984) 上述結(jié)果對(duì)Bruno條件也成立，且反之亦然。若不滿足Bruno條件，則二次函數(shù)不可線性化（此時(shí)在原點(diǎn)的任何鄰域存在周期點(diǎn)）。定理3.2 (Marco 1993) 給出原點(diǎn)鄰域全純函數(shù)不可線性化且沒(méi)有周期點(diǎn)的充要條件（強(qiáng)Bruno條件）。早年P(guān)oincare的結(jié)果：函數(shù)在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不在單位圓上，總可以線性化。太陽(yáng)系穩(wěn)定嗎？ KAM理論并沒(méi)有解決太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題，哈密爾頓系統(tǒng)的穩(wěn)定性仍然是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。即便大多數(shù)初始狀態(tài)出發(fā)的天體確實(shí)在做擬周期運(yùn)動(dòng)，但是目前的天體是否是從這樣的初始狀態(tài)出發(fā)也無(wú)法驗(yàn)證；另一方面，太陽(yáng)系在宇宙中不是孤立的，各天體間也不只受萬(wàn)有引力作用，特別是量子效應(yīng)和