2022年二元一次方程組應用題經典題(解析版----例題

1、整理文檔整理文檔.整理文檔.實際問題與二元一次方程組題型歸納知識點一：列方程組解應用題的根本思想列方程組解應用題是把“未知轉化為“的重要方法，它的關鍵是把量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關系. 一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識點二：列方程組解應用題中常用的根本等量關系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行.這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析.其等量關系式是:兩者的行程差開始時兩者相距的路程；(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題

2、中很重要的一種，它的特點是相向而行.這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析.這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和總路程.(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順水速度； 船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順水速度逆水速度2水速.注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似.2工程問題：工作效率工作時間=工作量.3商品銷售利潤問題：(1)利潤售價本錢(進價)；(2)；(3)利潤本錢進價利潤率；整理文檔整理文檔.整理文檔.標價本錢(進價)(1利潤率)；(5)實際售價標價打折率；注意：“商品利潤售價本錢中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧

3、損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售.例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十4儲蓄問題：(1)根本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金. 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息. 本息和：本金與利息的和叫做本息和. 期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù). 利率：每個期數(shù)內的利息與本金的比叫做利率. 利息稅：利息的稅款叫做利息稅. (2)根本關系式 利息本金利率期數(shù) 本息和本金利息本金本金利率期數(shù)本金 (1利率期數(shù)) 利息稅利息利息稅率本金利率期數(shù)利息稅率. 稅后利息利息 (1利息稅率) 年利率月利率12 月利率=年利率.注意：免稅利息=利息 5配套問題：解這類問題的根本等量關系是：總

4、量各局部之間的比例=每一套各局部之間的比例.6增長率問題：解這類問題的根本等量關系式是：原量(1增長率)增長后的量；原量(1減少率)減少后的量.整理文檔整理文檔.整理文檔.7和差倍分問題：解這類問題的根本等量關系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)倍量.8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關概念、特征及其表示.如當n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關兩位數(shù)的根本等量關系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字9濃度問題：溶液質量濃度=溶質質量.10幾何問題：解決這類問題的根本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式11年齡問題：解決這

5、類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的12優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排.需要從幾種方案中，選擇最正確方案，如網(wǎng)絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最正確方案.注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最正確方案.知識點三：列二元一次方程組解應用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關系；2設未知數(shù):可直接設元，也可間接設元；3找出題目中的等量關系；4列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關系列出方程，并組成方程組；5解所列的方程

6、組，并檢驗解的正確性；6寫出答案.要點詮釋：(1)解實際應用問題必須寫“答，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得 的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；(2)“設、“答兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組. (4)列方程組解應用題應注意的問題 弄清各種題型中根本量之間的關系； 審題時，注意從文字，圖表中獲得有關信息； 注意用方程組解應用題的過程中單位的書寫，設未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，防止與路程單位混淆； 在尋找等量關系時，應注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應用題一定要注意檢驗整理文

7、檔整理文檔.整理文檔. 類型一：列二元一次方程組解決行程問題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調轉車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機. 這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？ 思路點撥：畫直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機的行程. (2)有兩個等量關系： 相向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程160千米; 同向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程.整理文檔整理文檔.整理文檔.解：設汽車的速度為每小時行千米，拖拉機的速度為每小

8、時千米.根據(jù)題意，列方程組解這個方程組，得: .答：汽車行駛了165千米，拖拉機行駛了85千米.總結升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關系找出等量關系，是行程問題的常用的解決策略.類型二：列二元一次方程組解決工程問題2一家商店要進行裝修，假設請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；假設先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元？(2)甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？ 思路點撥：此題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：假設請

9、甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；第二層含義：假設先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元.設甲組單獨做一天商店應付x元，乙組單獨做一天商店應付y元，由第一層含義可得方程8x+y=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解：(1)設甲組單獨做一天商店應付x元，乙組單獨做一天商店應付y元，依題意得： 解得 答：甲組單獨做一天商店應付300元，乙組單獨做一天商店應付140元. (2)單獨請甲組做，需付款300123600元，單獨請乙組做，需付款241403360元，故請乙組單獨做費用最少整理文檔整理文檔.整理文檔.答：請

10、乙組單獨做費用最少.總結升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設為1，也可設為a，需根據(jù)題目的特點合理選用；工程問題也經常利用線段圖或列表法進行分析.類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元.價風格整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，那么兩件商品的進價分別是多少元？ 思路點撥：做此題的關鍵要知道：利潤進價利潤率解：甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進價分別為600元和400元.類型四：列二元一次方程

11、組解決銀行儲蓄問題4小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？利息所得稅利息金額20%，教育儲蓄沒有利息所得稅思路點撥： 設教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：整理文檔整理文檔.整理文檔.教育儲蓄一年定期合計現(xiàn)在一年后2042.75解：設存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，那么列方程：，解得：答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結升華: 我們在解一些涉及到行

12、程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關系，題目中的相等關系隨之浮現(xiàn)出來. 類型五：列二元一次方程組解決生產中的配套問題5某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)方案用132米這種布料生產這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點撥：此題的第一個相等關系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關系寫反了).解：設用米布料做衣身，

13、用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結升華：生產中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關鍵.整理文檔整理文檔.整理文檔.類型六：列二元一次方程組解決增長率問題6. 某工廠去年的利潤總產值總支出為200萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？

14、 思路點撥：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，那么有總產值萬元總支出萬元利潤萬元去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產值總支出和表格里的量和未知量，可以列出兩個等式.解：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產值為2000萬元，總支出為1800萬元總結升華：當題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進行分析.類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問題7.2021年北京豐臺區(qū)中考一摸試題“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠原方案每周生產帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷為此，全體職

15、工加班加點，“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠一周內制作的帳篷數(shù)分別到達了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務求在趕制帳篷的一周內，“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠各生產帳篷多少千頂？整理文檔整理文檔.整理文檔.思路點撥：找出量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)方案前后，倍數(shù)關系由量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組.解：設原方案“愛心帳篷廠生產帳篷x千頂,“溫暖帳篷廠生產帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心帳篷廠生產帳篷8千頂,“溫暖帳篷廠生產帳篷6千頂. 類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問題8. 兩

16、個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù).思路點撥：設較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y.問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100 xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解：設較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y.依題意可得：，解得：答：這兩個兩位數(shù)分別為45，23.類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要

17、得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少？整理文檔整理文檔.整理文檔. 思路點撥：此題欲求兩個未知量，可直接設出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關系：1甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質量之和50；2混合前兩種溶液所含純酒精質量之和混合后的溶液所含純酒精的質量；3混合前兩種溶液所含水的質量之和混合后溶液所含水的質量；4混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比.解：法一：設甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg.依題意得：， 答：甲取20kg，乙取30kg法二：設甲、乙兩種酒精溶液分別取10 x kg和5y

18、 kg，那么甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得：， 所以 10 x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg總結升華：此題的第1個相等關系比較明顯，關鍵是正確找到另外一個相等關系，解這類問題常用的相等關系是：混合前后所含溶質相等或混合前后所含溶劑相等.用它們來聯(lián)系各量之間的關系，列方程組時就顯得容易多了.列方程組解應用題，首先要設未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設什么.有時候需要設間接未知數(shù)，有時候需要設輔助未知數(shù).類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是

19、多少？整理文檔整理文檔.整理文檔. 思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關于x、y的二元一次方程組.解：設長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm.總結升華：幾何應用題的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質中，解答這類問題時應注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關系和數(shù)量關系，再列出方程求解.類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點撥：解此題的關鍵是理解“6年后這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲.今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關系列方程.解：設現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲.總結升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化增大、減小了，其他人也一樣增大或減小，并且增大或減小的歲數(shù)是相同的相同的時間內整理文檔整理文檔.整理文檔.類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題： 12某地生產一種綠色蔬菜，假設在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元. 當