2022年二元一次方程組應(yīng)用題經(jīng)典題(解析版----例題

1、整理文檔整理文檔.整理文檔.實(shí)際問題與二元一次方程組題型歸納知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的根本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知轉(zhuǎn)化為“的重要方法，它的關(guān)鍵是把量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來說，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的根本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行.這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析.其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時(shí)兩者相距的路程；(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題

2、中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行.這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析.這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程.(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?水速.注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似.2工程問題：工作效率工作時(shí)間=工作量.3商品銷售利潤(rùn)問題：(1)利潤(rùn)售價(jià)本錢(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤(rùn)本錢進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率；整理文檔整理文檔.整理文檔.標(biāo)價(jià)本錢(進(jìn)價(jià))(1利潤(rùn)率)；(5)實(shí)際售價(jià)標(biāo)價(jià)打折率；注意：“商品利潤(rùn)售價(jià)本錢中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧

3、損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售.例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十4儲(chǔ)蓄問題：(1)根本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金. 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息. 本息和：本金與利息的和叫做本息和. 期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù). 利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率. 利息稅：利息的稅款叫做利息稅. (2)根本關(guān)系式 利息本金利率期數(shù) 本息和本金利息本金本金利率期數(shù)本金 (1利率期數(shù)) 利息稅利息利息稅率本金利率期數(shù)利息稅率. 稅后利息利息 (1利息稅率) 年利率月利率12 月利率=年利率.注意：免稅利息=利息 5配套問題：解這類問題的根本等量關(guān)系是：總

4、量各局部之間的比例=每一套各局部之間的比例.6增長(zhǎng)率問題：解這類問題的根本等量關(guān)系式是：原量(1增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)后的量；原量(1減少率)減少后的量.整理文檔整理文檔.整理文檔.7和差倍分問題：解這類問題的根本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)倍量.8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示.如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的根本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9濃度問題：溶液質(zhì)量濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問題：解決這類問題的根本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式11年齡問題：解決這

5、類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的12優(yōu)化方案問題：在解決問題時(shí)，常常需合理安排.需要從幾種方案中，選擇最正確方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最正確方案.注意：方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最正確方案.知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)步驟：1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3找出題目中的等量關(guān)系；4列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5解所列的方程

6、組，并檢驗(yàn)解的正確性；6寫出答案.要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得 的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)、“答兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組. (4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 弄清各種題型中根本量之間的關(guān)系； 審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時(shí)，不要帶單位；正確書寫速度單位，防止與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)整理文

7、檔整理文檔.整理文檔. 類型一：列二元一次方程組解決行程問題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程. (2)有兩個(gè)等量關(guān)系： 相向而行：汽車行駛小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程160千米; 同向而行：汽車行駛小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程.整理文檔整理文檔.整理文檔.解：設(shè)汽車的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)的速度為每小

8、時(shí)千米.根據(jù)題意，列方程組解這個(gè)方程組，得: .答：汽車行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略.類型二：列二元一次方程組解決工程問題2一家商店要進(jìn)行裝修，假設(shè)請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；假設(shè)先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？ 思路點(diǎn)撥：此題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：假設(shè)請(qǐng)

9、甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：假設(shè)先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元.設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8x+y=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解：(1)設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，依題意得： 解得 答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140元. (2)單獨(dú)請(qǐng)甲組做，需付款300123600元，單獨(dú)請(qǐng)乙組做，需付款241403360元，故請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少整理文檔整理文檔.整理文檔.答：請(qǐng)

10、乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少.總結(jié)升華：工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析.類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤(rùn)問題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元.價(jià)風(fēng)格整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，那么兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？ 思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元.類型四：列二元一次方程

11、組解決銀行儲(chǔ)蓄問題4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？利息所得稅利息金額20%，教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅思路點(diǎn)撥： 設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：整理文檔整理文檔.整理文檔.教育儲(chǔ)蓄一年定期合計(jì)現(xiàn)在一年后2042.75解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，那么列方程：，解得：答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結(jié)升華: 我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫?/p>

12、程、收入、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來. 類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只. 現(xiàn)方案用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點(diǎn)撥：此題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).解：設(shè)用米布料做衣身，

13、用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.整理文檔整理文檔.整理文檔.類型六：列二元一次方程組解決增長(zhǎng)率問題6. 某工廠去年的利潤(rùn)總產(chǎn)值總支出為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

14、 思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，那么有總產(chǎn)值萬元總支出萬元利潤(rùn)萬元去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值總支出和表格里的量和未知量，可以列出兩個(gè)等式.解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析.類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問題7.2021年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠原方案每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職

15、工加班加點(diǎn)，“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別到達(dá)了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？整理文檔整理文檔.整理文檔.思路點(diǎn)撥：找出量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)方案前后，倍數(shù)關(guān)系由量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組.解：設(shè)原方案“愛心帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問題8. 兩

16、個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù).思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y.問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100 xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y.依題意可得：，解得：答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23.類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要

17、得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？整理文檔整理文檔.整理文檔. 思路點(diǎn)撥：此題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：1甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和50；2混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；3混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和混合后溶液所含水的質(zhì)量；4混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比.解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg.依題意得：， 答：甲取20kg，乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10 x kg和5y

18、 kg，那么甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得：， 所以 10 x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg總結(jié)升華：此題的第1個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等.用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)就顯得容易多了.列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么.有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù).類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是

19、多少？整理文檔整理文檔.整理文檔. 思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組.解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45cm、寬為15cm.總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解.類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是理解“6年后這幾個(gè)字的含義，即6年后父子倆都長(zhǎng)了6歲.今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程.解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲.總結(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化增大、減小了，其他人也一樣增大或減小，并且增大或減小的歲數(shù)是相同的相同的時(shí)間內(nèi)整理文檔整理文檔.整理文檔.類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題： 12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，假設(shè)在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤(rùn)可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤(rùn)漲至7500元. 當(dāng)