二重積分的計算-習題課-課件

1、二重積分的計算習題課 二重積分的計算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：作出積分區(qū)域的草圖選擇適當的坐標系選定積分次序，定出積分限1. 關于坐標系的選擇 這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數的特點兩個方面來考慮一、主要內容被積函數呈 常用極坐標其它以直角坐標為宜2. 關于積分次序的選擇選序原則能積分，少分片，計算簡3. 關于積分限的確定二重積分的面積元 為正確定積分限時一定要保證下限小于上限積分區(qū)域為圓形、扇形、圓環(huán)形看圖定限 穿越法定限 和不等式定限先選序，后定限直角坐標系.先 y 后 x ，過任一x a , b ,作平行于 y 軸的直線穿過D的內部從D的下邊界曲線穿入內層積分的下限從

2、上邊界曲線穿出內層積分的上限.先 x 后 y過任一 y c , d 作平行于 x 軸的直線定限左邊界 內層積分的下限右邊界 內層積分的上限則將D分成若干個簡單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限分片計算，結果相加極坐標系積分次序一般是過極點O作任一極角為 的射線從D的邊界曲線 穿入,從 穿出.如D須分片內下限內上限具體可分為三種情況極點在D的邊界上 是邊界在極點處的切線的極角絕大多數情況下為0極點在D的內部化累次積分后外限是常數內限是外層積分變量的函數或常數極坐標系下勿忘 r極點在D的外部4. 關于對稱性 利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不過

3、重積分的情況比較復雜，在運用對稱性是要兼顧被積分函數和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用對若D關于 x 軸對稱若D關于 y 軸對稱若D關于原點對稱 奇函數關于對稱域的積分等于0，偶函數關于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇偶函數的定積分的性質.對于變量x,y來說，可以簡述為 “你對稱，我奇偶”、簡單地說就是： 1. 設積分區(qū)域 D 關于 x 軸對稱，D1 是 D 中對應于 y 0 的部分。對稱性的證明則證（1）積分區(qū)域如圖：由積分區(qū)域 D 關于 x 軸對稱性于是（2）積分區(qū)域如圖：由積分區(qū)域 D 關于 x 軸對稱性于是二、例題分析例. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部

4、分組成:視為Y型區(qū)域 , 則解原式例 計算解DY型I = 若先 y 后 x 由于D的下邊界曲線在 x 的不同范圍內有不同的表達式， 須分片積分，計算較麻煩。2121解例 計算解根據積分區(qū)域的特點14-12應先對 x 后對 y 積分但由于 對 x 的積分求不出，無法計算，須改變積分次序。先 x 后 y 有奇函數解例 計算解積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號所得的曲線是兩個半圓但它們圍不成區(qū)域都有意義必須限制 因此D只能在x=0 ， x=2 之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數結合積分區(qū)域的特點，化成極坐標計算較為簡單顯然 r 呢？極點在D的邊界上，所以 那就錯了不能以為極點O在區(qū)域的邊界上就誤以為對 r 積分的下限為0定 r 的積分限，應先固定以原點為起點作射線這射線和兩個半圓相交穿入;從從穿出.積分限如何確定盡管極點在D的邊界上但極角為 的射線并不是從極點穿入而不是域D的極坐標表示為解例 計算D1D2三、對稱性的應用例舉例. (1)解D 區(qū)域關于 x 軸對稱，且而而因此，解：能否用對稱性？（4） 計算其中D 由所圍成.