數列用遞推關系求通項

1、利用遞推關系求數列通項公式教學目標：復習求解數列通項公式的幾種常用方法；熟悉幾種常見的形式，掌握解題方法并能解決實際的問題教學重點：掌握幾種求解數列通項公式的方法，尤其是和類型教學難點：待定系數法等方法求解數列通項教學設計：各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。一.利用與的關系求通項公式1.由得表達式直接求練習1.已知數列的前n項和=，求通項.解: 當時，=-9. 當時，=（）=. 易知時也適合此式，故=.2.轉化為通項間的遞推關系求解練習2. 已知數列的前n項和=（），求通項.解: 當時，=（

2、）得=當時，由 =（），可得=（）.兩式想減得：= 即=則=（），所以 是首項為，公比為的等比數列。故=二. 利用遞推關系求數列通項公式類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用疊加法求解例1. (2008四川文16) 設數列中，則通項 解： ， 將以上各式相加得： 故應填；類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用疊乘法求解。例2.已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式疊乘之，即又，類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再轉化為等比數列求解。例3.（2006，重慶,文,14）已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則

3、,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.類型4 。解法（待定系數法）：只需把原遞推公式轉化為：=,其中，再構造等比數列求解。例4. 已知數列中，求.解：設=3 ,由為一次函數，可知也為一次函數，故設，=3 即.由待定系數法可知，解得。即構成了以為首項，3為公比的等比數列。從而=，故.類型5 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。例5. (2008全國卷文21改編)在數列中，求。解： 由，兩邊同除以，得：，易知：，則回顧練習：(2008四川文21) 設數列的前項和為，（

4、）求（）證明： 是等比數列；（）求的通項公式解：由得 （1）知 （2）（2）-（1）得 即，兩邊同除以，得：，易知：，又因為，所以則故例6.已知數列中，,，求。解：由兩邊同除以即兩邊同乘以得：令，則,解之得：所以思考：(2008四川理21) 設數列的前項和為，已知（）證明：當時，是等比數列；（）求的通項公式解：由題意知，且兩式相減得即 （1）當時，由（1）知兩邊同除以，得：，易知：，故當時，由由（1）兩邊同除以，得： 令，則,構造數列 令則由待定系數法可知則構成了以為首項，為公比的等比數列。 從而則 又可解得：因此小結：類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用疊加法求解類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用疊乘法求解。類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再轉化為等比數列求解。類型4 。解法（待定系數法）：只需把原遞推公式轉化為：=,其中，再構造等比數列求解。類型5 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。作業(yè)：1