第六章有限元法基礎(chǔ)

1、第六章有限元法概述第一節(jié)單元分析簡(jiǎn)例1、單元分析的主要任務(wù)：求出單元節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在推導(dǎo)此關(guān)系時(shí)規(guī) 定：力和位移的方向若和坐標(biāo)軸正方向一致者為正。先舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子，圖1示一拉壓彈簧，彈簧系數(shù)為常量 C,其 軸線和x坐標(biāo)軸重合，令此彈簧為一個(gè)單元，則彈簧的兩端點(diǎn)i, j是此單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。設(shè)在節(jié)點(diǎn)i, j上分別有軸向力U i,U j和軸向位移 Ui,Uj。則當(dāng)節(jié)點(diǎn)對(duì)單元有U i,U j的作用力時(shí)，單元對(duì)節(jié)點(diǎn)有大小相 等、方向相反的反作用力，節(jié)點(diǎn)力：這節(jié)點(diǎn)和單元之間的作用力和反作用力都稱為節(jié)點(diǎn)力，對(duì)單元來 講節(jié)點(diǎn)力是作用于單元之力。2、節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。圖1可分解為兩步1）

2、設(shè)節(jié)點(diǎn)j被固定，節(jié)點(diǎn)i產(chǎn)生正位移ui，則此時(shí)節(jié)點(diǎn)i作用在 單元上的力是Ui cuiUj而節(jié)點(diǎn)j作用在單元上的力是Uj = -cui2）是設(shè)節(jié)點(diǎn)i被固定，節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生正位移U1，此節(jié)點(diǎn)j對(duì)單元的作 用力是U i = cq節(jié)點(diǎn)i對(duì)單元的作用力是J cUi將兩式合并，就得到U廠 UjJCUi - cUjjUj = U j + U j = -eq + CUj由式可以看出一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力不僅決定于本節(jié)點(diǎn)的位移，而 且也決定于本單元其他節(jié)點(diǎn)的位移。設(shè)以WF表示單元節(jié)點(diǎn)力向量：1F ?e =UiTUj以技表示節(jié)點(diǎn)位移向量：uiuj則式（1.1）可改寫成：k卜：f式中C Ck= I廠C- 6式中（1.2）就是

3、單元節(jié)點(diǎn)位移衣和節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 k是轉(zhuǎn)換矩陣，稱為單元?jiǎng)偠染仃?。所以單元分析的任?wù)就是要求 出本單元的剛度矩陣。 2單元位移模式對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的彈性體，要想用某種函數(shù)來描述整體內(nèi)任一點(diǎn)的 位移是不大可能的。但當(dāng)把彈性體離散化為許多細(xì)小的單元， 則在一 個(gè)單元的局部范圍內(nèi)是可以把某一點(diǎn)的位移近似的表達(dá)為其坐標(biāo)的 函數(shù)，這表達(dá)式稱為單元位移模式。在單元范圍內(nèi)建立位移模式是有 限元法的特色。一般，位移模式都是用待定系數(shù)法求得。為了說明之，還以上述圖1的拉壓彈簧為例，設(shè)u(x) = a1 a2x式中u(x)單元中任一點(diǎn)的位移X單元中任一點(diǎn)的坐標(biāo)待定系數(shù)ai,a2可由已知的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及位移來確定，這

4、是因?yàn)榧?然位移模式代表了單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移，那么也應(yīng)包括節(jié)點(diǎn)的位移， 所以每代入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)及位移， 就有一個(gè)解待定系數(shù)的方程，單 元上有幾個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，或者說有幾個(gè)自由度，就可以確定幾個(gè)系數(shù)。 上述彈簧單元只有兩個(gè)自由度，故只能列出具有兩個(gè)待定系數(shù)的多項(xiàng) 式令 X= X 時(shí)，u(x)二 U|X = Xj 時(shí)，u(x)二 U j式中Xj, Xj 節(jié)點(diǎn)i, j的坐標(biāo)ui,uj 節(jié)點(diǎn)i, j的位移 解方程(1.3),得UjXj 一 UjNXj - xia?Xj - Xj將式代入得到(1.6)Xj Xx - Xiu(x)uiu jXj 為xj - xi式(1.6)就是彈簧單元的位移模式：它表明單元

5、中任一點(diǎn)的位 移都是其坐標(biāo)的函數(shù)。同時(shí)也表明只要已知單元節(jié)點(diǎn)位移， 就可以通 過位移模式推算出單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移。平面問題的單兀形式有很多種，其中最基本的形式是二節(jié)點(diǎn)二角形單元，以下將以這種單元為典型，討論平面問題的單元分析及整體 分析。3、三角形單元的位移模式圖2示一個(gè)三角形單元，節(jié)點(diǎn)i,j,m的坐標(biāo)分別是Xj, yj ； x j, y j ； Xm, ym ；其沿x, y坐標(biāo)軸方向的位移分別 為Uj , j ；u j / j, um, m；顯然，此單元共有六個(gè)自由度，故其位 移模式可寫成具有六個(gè)待定系數(shù)的多項(xiàng)式：u =a2x a3y =ylVjJ1 1Mm iVm.Cxyirvi*! j*

6、Um*Vm設(shè)單元的節(jié)點(diǎn)虛位移及其相應(yīng)的單元內(nèi)虛應(yīng)變分別為:x* *= yI i y i xy則外力虛功W為* * * * *W =比 U jVj VUjU j VjVj umU mU Vi |u j jUm Vm JVjUmVm1-11(a)中的微小矩形作為分析對(duì)象。設(shè)* * * *uiviuj vj計(jì)算內(nèi)力虛功時(shí)，仍以圖單元厚度為t，則此微小矩形的應(yīng)力狀態(tài)如圖 變狀態(tài)如圖1-14(b)所示。功為當(dāng)略去三階微量后,*vmVm *eTFe1-14(a)所示，而其虛應(yīng)此微小矩形的內(nèi)力虛CTX* *CF + Yyy xy1xy )tdxdyxytdxdy=乞t tdxdy整個(gè)單元的內(nèi)力虛功為xyTQ

7、 = dQ = tdxdy根據(jù)虛功原理，外力虛功 W應(yīng)等于內(nèi)力虛功Q,得 r*eTFe由式(1.19)可知* T tdxdy* eBe珥*eTBT* - T代入上式，并因虛位移 *e是任意的，可以在等號(hào)兩邊同時(shí)消：F e 二keL e去，得FJ HBTWtdxdy對(duì)于常應(yīng)變?nèi)切螁卧狟和；都是常量，厚度t也是常量，所 以上式又可寫成：F產(chǎn)BTf t dxdy顯然11 dxdy是三角形單元的面積，用二表示之，得F = Bl% t這就是單元應(yīng)力二和單元節(jié)點(diǎn)力Fe的轉(zhuǎn)換式。 8單元?jiǎng)偠染仃嚽懊嫠龅亩啻无D(zhuǎn)換關(guān)系總括起來可用下圖表示：F6iBTt.：J31D3x 3 31B3x 6k 6 6 = BT

8、DBt：圖中注明了各矩陣的階數(shù). 由此圖得出(1)由節(jié)點(diǎn)位移J ?求應(yīng)力上！的公式：& = DF亠DB*e 由節(jié)點(diǎn)位移L?求節(jié)點(diǎn)力T ?的公式：滬飛=btt = BTDt=BTDBp ：et或?qū)懹移渲衚e 珥 BtD Btke稱為單元?jiǎng)偠染仃?。它就是由?jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力的轉(zhuǎn)換矩 陣。得到了單元?jiǎng)偠染仃?，單元分析就完成了。二?jié)點(diǎn)二角形單兀的ke是6X 6階矩陣，式(1.31)的完整形式是11kiik12k13 ki4k15k16”fui 1IIlUi Vi1 r】k21k22k23k24 A A A Ji J A Ak25k26i i|Vi 11- 1Ujk31k32k33k34k35k361 1

9、|Uj 1卜= =1 kji；kjj；kjmw j11-l111I1【Fm ! kmi-kmjkmm式（1.34）中 Fi i節(jié)點(diǎn)上各節(jié)點(diǎn)力分量組成的向量 ii節(jié)點(diǎn)上各位移分量組成的向量Kjj節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移時(shí)在i節(jié)點(diǎn)上引起的節(jié)點(diǎn)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊將便利于整體剛度矩陣的建立。第二章 平面問題的整體分析 1整體剛度矩陣的集成在建立整體剛度矩陣之前，先得研究單元的節(jié)點(diǎn)力整體結(jié)構(gòu)的節(jié) 點(diǎn)力之差別。從式（1.34）中取出Fj行：Fj =kji i kji j kjm m（ 2.1）式（2.1）說明：某一單元中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力等于該單元三個(gè)節(jié)點(diǎn) i, j, m的節(jié) 點(diǎn)位移在節(jié)點(diǎn)j上引起的

10、節(jié)點(diǎn)力之迭加。這是一個(gè)單元對(duì)它的一個(gè)節(jié) 點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力。而在整體結(jié)構(gòu)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)往往為幾個(gè)單元所共有，則這個(gè)節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力就應(yīng)該是：共有這節(jié)點(diǎn)的幾個(gè)單元的所有節(jié)點(diǎn)位移 在該節(jié)點(diǎn)上引起的節(jié)點(diǎn)力之迭加。為了敘述方便，以下稱同一單元上的節(jié)點(diǎn)為相關(guān)節(jié)點(diǎn)，該單元為 相關(guān)單元?，F(xiàn)在通過下述例子，說明整體剛度矩陣的建立。圖2-1為一個(gè)四單元六節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)及單元都已編號(hào)。在節(jié) 點(diǎn)1, 4上有水平支承，在節(jié)點(diǎn)4, 6上有垂直支承，在節(jié)點(diǎn)1, 2, 3 上作用有節(jié)點(diǎn)載荷。若暫不考慮節(jié)點(diǎn)的支承及載荷，則每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)有 水平及垂直方向的兩個(gè)位移分量和兩個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量，整個(gè)結(jié)構(gòu)共有 12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量及12個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量，其轉(zhuǎn)

11、換關(guān)系可用下式表示：F1 r nK11K12K13K14K15F2K21K22K23K24K25F3K31 =K32K33K34K35F4K41K42K43K44K45F5K51K52K53K54K55F6-K61K62K63】K64K65Ki6 1K26 2K36 3K46 4K56 5K66 6式中用=I Vi J i= 5IV| JK2i-1,2jK2i,2jSj1Kij KIL K2i,2j -1式（2.2）可簡(jiǎn)寫成：F叮K式中F整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量 f整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量 K整體剛度矩陣K23】為例以說整體剛度矩陣是用剛度集成法求得的?，F(xiàn)以子塊明之。從式（2.2）中取出一行：FFH

12、Kdfy%貳 2 + 屜3竹 + 印滬創(chuàng)5+甸6可見子塊K23是節(jié)點(diǎn)3產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)2上產(chǎn)生的節(jié) 點(diǎn)力。由圖2-1可以看出，使節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3相關(guān)聯(lián)的單元有兩個(gè)， 即單元和單元，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，通過單元和單元 同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2上引起節(jié)點(diǎn)力，所以應(yīng)將相關(guān)單元作用在節(jié)點(diǎn)2上的節(jié) 點(diǎn)力相迭加，才能得到節(jié)點(diǎn)2上的節(jié)點(diǎn)力。由此可見，整體剛度矩陣中的子塊應(yīng)該是相關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃囍邢鄳?yīng)子塊的迭加。由此也可以知道，假如兩個(gè)節(jié)點(diǎn)并不直接相關(guān)，則他們?cè)谡w剛度矩陣中的 子塊應(yīng)為零。根據(jù)以上所述，整體剛度矩陣的集成規(guī)則可簡(jiǎn)述如下： 先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃噆e，然后將其中的每個(gè)子塊kj 送到整體剛

13、度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，在同一位置上若有幾個(gè)單元的 相應(yīng)子塊送到，則進(jìn)行迭加以得到整體剛度矩陣的子塊從而形成整體 剛度矩陣K?，F(xiàn)在按此方法集成出圖2-1的整體剛度矩陣。圖中四 個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)號(hào)以及其單元?jiǎng)偠染仃嚨姆謮K形式列于表2-1。表2-1單元 號(hào)節(jié)點(diǎn) 號(hào)1, 2, 32, 4, 52, 5, 33, 5, 6keknk12k13k22k24k25k22k25k23k33k35k36k21k22k23k42k44k45k52k55k53k53k55k56k31k32k33k52k54k55k32k35k33&3k65k66將每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚨淖訅K分別送到整體剛度矩陣的對(duì)應(yīng)位置中 去，例如：?jiǎn)卧?/p>

14、的子塊k23及單元的子塊k23都應(yīng)送到分 塊的整體剛度矩陣的第二行第三列中去，相迭加后得到 k23】。依此 類推，就可形成整體剛度矩陣K。1 234561匕1】%+k22+k23k24+k25k31+k32+k33+k35k36%k44k45十匕十k53k54十+%k56k63k65k6623K二 456為簡(jiǎn)潔起見，式（2.5）中相迭加的子塊寫成k23以代替k23 g。在這里應(yīng)該指出，整體剛度矩陣K中每個(gè)是2子塊X 2階矩陣， 所以假如整體結(jié)構(gòu)分為N個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整體剛度矩陣的階數(shù)是2NX 2N。 3載荷向量將式（2.5）代入式（2.2）,則式（2.4）可寫成：F2Fk21%十k2d訝+k23|冋

15、十如厲十k25l鈿式（2.7）說明，節(jié)點(diǎn)2在整體結(jié)構(gòu)中為，三個(gè)單元所共 有，這三個(gè)單元上的1, 2, 3, 4, 5五個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移都通過其相關(guān)聯(lián) 的單元，分別對(duì)節(jié)點(diǎn)2產(chǎn)生作用力，所以整體結(jié)構(gòu)上節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力 FJ就是這些作用力的迭加。根據(jù)靜力平衡原則，假如節(jié)點(diǎn)2上沒有外力載荷時(shí)，（2.7）式等號(hào)右邊各項(xiàng)迭加之和應(yīng)為零，而當(dāng)節(jié)點(diǎn)2上作用著已知的外加載荷時(shí)，則右邊各項(xiàng)之和就應(yīng)等于這外加載荷?，F(xiàn)在根據(jù)這個(gè)原則來分析圖2-1中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)力。按圖2-1上所示，有：fPx2Px3f01F2二帶2 =Y，F(xiàn)3（，F(xiàn)5二 cI 0 ilPy3j10J而節(jié)點(diǎn)4帶有水平和垂直支承，其節(jié)點(diǎn)力為未知量，所以暫設(shè)F4=

16、；Qj，節(jié)點(diǎn)1帶有水平支承，水平節(jié)點(diǎn)力為未知量，而垂直方 向有作用力Py1，故F1=QX1、，節(jié)點(diǎn)6帶有垂直支承，水平方向無約 束，故什6=，這樣方程（2.3）的左邊項(xiàng)節(jié)點(diǎn)力向量就處理成：Qy6Qx1Py1Px20Px3Py3Qx4Qy4000I IQy6此式等號(hào)右邊統(tǒng)稱為載荷向量，以P代表之，于是式（2.3）可 改寫成：K、 =P 4支承條件的處理結(jié)構(gòu)的支承條件可分為兩類：、節(jié)點(diǎn)上有支承，使節(jié)點(diǎn)在一定方向上的位移為零二、節(jié)點(diǎn)位移為已知非零值。這兩種支承條件都應(yīng)使整個(gè)結(jié)構(gòu)不能有剛體位移。先研究第一種 支承情況。為了便于說明，另舉一最簡(jiǎn)單的例子：設(shè)一結(jié)構(gòu)只有一個(gè) 單元，如圖2-4所示。在節(jié)點(diǎn)1上

17、作用有水平力Px1和垂直力Py1，而 在節(jié)點(diǎn)2，3上有鉸支承。對(duì)于這問題，整體的平衡方程式（2.8），就是單元的平衡式（1考慮到載荷狀況及支承條件,式（1.33)變成k11k12k13k14k15ki6UiPx1k26Vi中Tk21k22k23k24k25k311k32k33k34k35k36 0Qx2k46 0Qy21k41k42k43k44k45k51k52k53k54k55k60 Qx356x3k61k62k63k64k65k66 0Qy3其中需要求的基本未知量是Ui,Ui，為此只需在方程（2.9）中抽出 前兩行：kiiUi ki2Vi = Pxi k2lUik22W = Pyik11

18、k12 1卩加k21 k22 - v廠py或?qū)懗?由式（2.10）可解出ui,vi。將式（2.10）和式（2.9）相比較，可以看出，如果在式（2.9）中將剛度矩陣中和零位移相對(duì)應(yīng)的各行和同號(hào)的各列都劃去，同時(shí)將右邊載荷向量中的相應(yīng)元素，即未知的支承力也都劃去，就可以直接得 到式（2.10）。為了便于編寫計(jì)算程序，希望修改后的矩陣仍保留原 剛度矩陣的階數(shù)和排列順序，為此將式（2.10）擴(kuò)大成如下形式：k11k1200001UPx1III1P 1|k21k220000|V1 ,Pw I1 001000 u20 !1H 1 000100 I 1 v2 丨0 11 0100010訶Il 3t0.000

19、001IV3J.0 節(jié)點(diǎn)號(hào)1231-+1000000K22K23K24K25K2620K33K34K35K360K44K45K4630對(duì)K55K560K664000000000000500稱60-0000004560000001lrU10、00K29K210K2110V1Py100K39K310K3110U2P200K49K410K4110V2000K59K510K5110U3Px300K69K610K6110*V3卜=陸100000U40010000V40K99K910K9110U50K1010K10110V50K11110U60000001一0顯然式（2.11）完全等效于（1.33）和支承

20、條件U2 =0,V2 =0,出=0,V3 =0。 所以當(dāng)支承條件是使節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，對(duì)方程（2.8）進(jìn)行修改的 辦法是：在剛度矩陣K中找出和零位移對(duì)應(yīng)的行和列，將其主對(duì)角 線元素改為1,其它元素改為0,在載荷向量P中，將和零位移相對(duì) 應(yīng)的元素改為0。經(jīng)過這樣修改，式（2.8）就可以解出了。根據(jù)上述方法，圖2-1的平衡方程（2.8）可寫成（2.式。方 程（2.12）是個(gè)線性方程，其求解有成熟的方法這里不詳述。顯然， 有支承限制的U1,U4,V4,V6的解將是零。以上解決了有第一種支承條件時(shí)方程（2.8）的解法?，F(xiàn)在研究第 二種支承條件。設(shè)節(jié)點(diǎn)n的水平位移un為已知非零值b,則為了滿足Un 的條件

21、， 應(yīng)對(duì)式（2.8）中的第2n-1個(gè)方程作如下修改：將主對(duì)角線元素K2n,2n_4 乘以一個(gè)大數(shù)A，（例如A=108），將右邊項(xiàng)換成AK2n4,2njb，其余各項(xiàng) 保持不變，則式（2.8）中的第2n-1個(gè)方程改成為：K 2n 4,1 U1 K 2n 4,2 V1AK 2n 4,2n 4U n K 2n J,2nVn_ AK 2n 4,2n 4b式中除包含大數(shù)A的兩項(xiàng)外，其余各項(xiàng)相對(duì)都比較小，可以忽略不計(jì)， 于是十分近似的滿足了山二b的條件。 5非節(jié)點(diǎn)載荷的移置在方程（2.8）中載荷向量P的每個(gè)元素都是作用在節(jié)點(diǎn)上的載 荷，所以，假如結(jié)構(gòu)上受有不直接作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷，則應(yīng)向節(jié)點(diǎn)移置，根據(jù)彈性力

22、學(xué)圣維南原理，這種移置若按靜力等效的原則進(jìn)行, 則因移置而引起的應(yīng)力差異只是局部的，不會(huì)影響整體的應(yīng)力分布。 所謂靜力等效是指原載荷和移置到節(jié)點(diǎn)的載荷在任何虛位移上所作 的虛功都相等。對(duì)于靜力等效原則的普遍應(yīng)用形式將在第四章討論， 而對(duì)于現(xiàn)在討論的三角形單元，由于是采用線性位移模式，此原則的 應(yīng)用是比較簡(jiǎn)單的。例如有一均質(zhì)等厚度的三角形單元ijm （圖2-5）， 其形心C上作用有垂直方向的重力載荷 W，顯然mb二bjbcJbi?，F(xiàn)3在來求出應(yīng)當(dāng)移置到各節(jié)點(diǎn)的載荷。先求應(yīng)當(dāng)移置到i節(jié)點(diǎn)的垂直載荷綣。假如節(jié)點(diǎn)i沿y方向作單位位移，而其余兩節(jié)點(diǎn)都不動(dòng)，由于 三角形單元是采用線性位移模式，所以當(dāng)m,

23、j兩節(jié)點(diǎn)的位移為零時(shí)，b點(diǎn)的位移必然也是零，又由于bcJbi，所以當(dāng)i點(diǎn)的位移為1時(shí)，3c點(diǎn)的位移為1/3。按靜力等效原則原載荷 W的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)扔赮i的虛 功，從而得到W，用同樣方法可得出Y -W和Yn =W，這333樣，就把不作用在節(jié)點(diǎn)的重力載荷移置到三個(gè)節(jié)點(diǎn)上去了。如果ij邊上受有水平方向的均布載荷 q,（圖2-6），ij邊長(zhǎng)為s,1則根據(jù)同樣原則，將載荷移置到i, j節(jié)點(diǎn)上去，得Xj = Xj qsi j 2l又例如設(shè)單元ijm的ij邊長(zhǎng)為，在ij邊上受有沿x方向的載荷 P ,（圖2-7）,其作用點(diǎn)距i, j分別為 及Ij，用和上述相同的方法， ljli可將載荷P移置到節(jié)點(diǎn)i, j上得X P，X i =丄P。i Ij I 7輸入數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備以上介紹了用平面三角形