桿系結(jié)構(gòu)單元PPT

1、第五章 桿系結(jié)構(gòu)單元5.1 概述桿系結(jié)構(gòu)主要有：梁、拱、框架、桁架等，它們常可離散成桿元和梁元。 梁拱框架桁架坐標系 有限元中的坐標系有結(jié)構(gòu)坐標系和單元坐標系。對于一個結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)坐標系一般只有一個；而單元坐標系有很多個，一個單元就有一個單元坐標，并且對每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元的單元剛度矩陣相同，給單元分析帶來方便。XYPxyxy 桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點i、j。 約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。 y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。 對于梁單元， y軸和z軸分別為橫截面

2、上的兩個慣性主軸。xyzij5.2 桿單元 下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長度為l，彈性模量為E，軸向分布載荷為px。單元有2個結(jié)點i，j，單元坐標為一維坐標軸x。ijxlLINKpxujui1、一維桿單元單元結(jié)點力向量：（1）位移模式和形函數(shù) 位移模式單元結(jié)點位移向量 因為只有2個結(jié)點，每個結(jié)點位移只有1個自由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：（5-3）式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點位移條件 x=xi 時， u=ui x=xj 時， u=uj確定。再將由此確定的a1、a2 其代入式（5-3），得 （5-4）a1a2 形函數(shù) 將式（5-4）改寫為下列形式 （5-5）式中形函數(shù)N為 （

3、5-6）（2）應(yīng)變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應(yīng)變 將式（5-5）、（5-6）代入上式，得 上式也可寫為 （5-7）式中B為應(yīng)變矩陣 （5-8）由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （3）應(yīng)力矩陣將式（5-7）代入上式，得 （5-9）式中S為應(yīng)力矩陣 （5-10）(4) 單元剛度矩陣單元剛度矩陣仍式（1-33）推出 （1-33）對于等截面鉸接桿單元（截面積為A ） ，v=Adx，故有：(5-11) (5) 等效節(jié)點力 單元上作用分布力px，則等效節(jié)點力計算公式仍為以下形式 當(dāng)分布力集度px為常數(shù)時，有 （5-13）（5-12）將式（5-8）代入上式，得例5-1 一維拉桿圖示階梯形直桿，各段長度均為，橫截面積分別為3A

4、，2A，A，材料重度為，彈性模量E。求結(jié)點位移和各段桿中內(nèi)力。離散化：將單元劃分為3個單元，4個結(jié)點。單元剛度矩陣： 1 22 33 4等效結(jié)點荷載：按靜力等效原則，有:對號入座，組成總剛，形成整體結(jié)構(gòu)平衡方程:設(shè)結(jié)點1的約束反力為F1，則有: 整體結(jié)構(gòu)平衡方程劃去節(jié)點1所對應(yīng)的第1行、行1列 。解得結(jié)點位移單元應(yīng)力單元應(yīng)變單元應(yīng)變：2、平面桁架桿單元（2D LINK1）1234ijxyl（1）單元坐標單元位移向量1234ijxy看成局部坐標下的拉壓桿（2）位移模式和形函數(shù) 位移模式 由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（5-3）、（5-4）。（y方向位移不引起單元力） 形函數(shù)（5-14

5、）應(yīng)變矩陣 B為（5-15） （4）應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 S為（5-16）（3）應(yīng)變矩陣（5-16）(6) 局部坐標單元剛度矩陣 對于等截面鉸接桿單元，（5-17）(5) 等效節(jié)點力 靜力等效ijxylz3、空間桿單元（3D LINK8）（1）單元坐標單元位移向量124536（5-18） （2）形函數(shù)（5-19） （3）應(yīng)變矩陣（5-20） （4）應(yīng)力矩陣（5-21） (5) 等價節(jié)點力 （5-22） (6) 單元坐標單元剛度矩陣 對于等截面鉸接桿單元，（5-23）5.4 梁單元1、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1）局部坐標下單元位移和單元力 單元位移

6、（5-24）其中， vy方向位移，即撓度。 角位移。 單元力（5-26）其中， Q剪力 M彎矩（5-27）（2）位移函數(shù)和形函數(shù)（5-28） 位移模式 設(shè)單元坐標位移模式為 形函數(shù) 由單元兩端點的節(jié)點位移條件，解出式（5-28）中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫為以下形式： ijxy1234l梁單元內(nèi)一點有2個位移： v、因為， =dv/dx；僅一個位移是獨立的，取 v 。（5-29）式中（5-30）（5-31） （3）應(yīng)變矩陣 單元彎曲應(yīng)變b與節(jié)點位移e的關(guān)系。 梁單元上任一點的應(yīng)變和該點撓度之間關(guān)系為： （5-32）11xyy將式（5-29）代入（5-32），得單元彎曲

7、應(yīng)變和單元位移之間關(guān)系（5-34）（5-33）（4）應(yīng)力矩陣（5-35）DB (5) 等效節(jié)點力 對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時可將其作用點取為結(jié)點，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點載荷處理。 這里僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價節(jié)點力問題。xyijlpy(x)（5-36） 將形函數(shù)矩陣N代入上式，積分可得分布荷載的等效結(jié)點力。表1給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力 表 1(6) 單元坐

8、標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為將式（5-34）代入上式進行積分，并注意到Iz梁截面對Z軸（主軸）的慣性矩得單元坐標單元剛度矩陣ke:（5-37） 單元剛度矩陣式(5-38)適合于連續(xù)梁分析。（5-38）整體坐標與局部坐標方向一致。例5-4 變截面梁有一變截面梁，一端固定，另一端鉸支。梁長為2l，固支端的截面盡寸為b1.6h，鉸支端的截面尺寸為bh。梁上作用均布載荷p0。求梁端的約束反力。xy離散化 將梁劃分成2個單元，3個結(jié)點。每個單元 長度為,截面取平均截面。， 單元剛度矩陣ij 1 2 2 3對號入座，組合整體剛度矩陣 1 2 3123荷載等效結(jié)點力向量約束反力向量 1 2 3總荷載

9、向量引入邊界條件 將整體平衡方程中對應(yīng)的1、2、5行和總剛中1、2、5列刪去 ，得解方程組，得結(jié)點位移值將結(jié)點位移值代入整體平衡方程，可得約束反力2、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元 （平面剛架，BEAM3) ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1）單元坐標單元位移和單元力 單元位移（5-39）其中， ux方向（軸向）位移。 vy方向位移，即撓度。 角位移。 單元力（5-40）其中， N軸向力 Q剪力 M彎矩 對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按5.3節(jié)一維拉壓桿單元和彎剪平面梁單元的結(jié)果（式5-3和式5-28）簡單集合

10、而成。（2）位移函數(shù)和形函數(shù) 位移模式ijxy2356l14（5-41） 形函數(shù)式中形函數(shù)N為：（5-42）（5-43）其中, （3）應(yīng)變矩陣 單元彎曲應(yīng)變與節(jié)點位移e的關(guān)系。 軸剪彎梁單元上任一點的應(yīng)變，應(yīng)為該點撓度（v）引起的應(yīng)變和軸向位移（u）引起的應(yīng)變之和。單元應(yīng)變矩陣為：（5-44）（5-45） (5) 等價節(jié)點力 xyijl圖4-9qy(x) （4）應(yīng)力矩陣（5-46）qx將式彎剪梁（5-36）、一維桿（5-11）膨脹成61矩陣后相加，并注意到式（5-43），有（5-36）（5-11）一維桿彎剪梁最后得等價節(jié)點力矩陣（5-47）荷載分布NiQiMiNjQjMj表 2 幾種橫向分布荷

11、載等價節(jié)點力ijqyqxqyijqxqyijqx (6) 單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為（5-48）5.5 坐標變換 在5.3、5.4節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元坐標系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于單元坐標單元剛度矩陣。 進行系統(tǒng)分析時，需要把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)坐標軸的分量表示出來，以便建立結(jié)點平衡方程。因此，在進行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標系中的單元力以及單元剛度矩陣都轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標系中去。此外，還需要把結(jié)構(gòu)坐標系中的節(jié)點位移轉(zhuǎn)換到單元坐標系中去，以計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。這一轉(zhuǎn)換過程稱為坐標變換。(一維桿和彎剪梁單元不需要坐標變換，因兩種坐標系統(tǒng)方向一致)結(jié)構(gòu)坐標符

12、號約定： 結(jié)構(gòu)坐標單元位移 F結(jié)構(gòu)坐標單元力 k結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣 1、坐標變換矩陣定義 把單元位移從結(jié)構(gòu)坐標系轉(zhuǎn)換到單元坐標系的變換矩陣定義為坐標變換矩陣，用符號T表示。有單元坐標中的符號約定：e單元坐標單元位移Fe單元坐標單元力 ke單元坐標單元剛度矩陣 式（5-58）給出了結(jié)構(gòu)坐標單元位移轉(zhuǎn)換為單元坐標單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時是坐標變換矩陣T的定義式。 2、結(jié)構(gòu)坐標單元力 單元力在單元位移上作的功，不因其坐標系的改變而變。則有（5-58）將式（5-58）代入，對上式兩端進行轉(zhuǎn)置，注意到消去，得即得（5-59）式（5-59）表明：結(jié)構(gòu)坐標單元力等于單元坐標單元力前乘坐標變換矩陣的轉(zhuǎn)置。在單

13、元坐標系中，有 3、結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣上式兩端左乘TT，注意到式（5-58）、（5-59），有（5-58）（5-59） k結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣。得（5-60） 式（5-60）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換式。引入5.6 坐標變換矩陣 坐標變換矩陣因單元類型不同而異。1、平面鉸接桿單元（桁架元） 設(shè)OXY為結(jié)構(gòu)坐標，oxy為單元坐標。為從單元 i 端出發(fā)的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標系中的分量為X、Y；在單元坐標系中的分量為x、y。結(jié)構(gòu)坐標系中的分量X、Y 在單元坐標x軸上投影的代數(shù)和給出x 。同理， X、Y 在單元坐標y軸上投影的代數(shù)和給出y 。XYxyXYxy（5-

14、61）寫成矩陣形式，iim+mnbamnab-am取i節(jié)點在單元坐標系中的位移向量i節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量x對X、Y的方向余弦y對X、Y的方向余弦同理可得單元j節(jié)點在單元坐標系和結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量：有組合上述結(jié)果，得平面鉸接桿單元的單元坐標單元位移和結(jié)構(gòu)坐標單元位移之間關(guān)系： i、j兩節(jié)點間的位移變換關(guān)系互不耦合。上式可寫成坐標變換矩陣T的計算式：（5-62）（5-60）XYij(e)x（5-62a）式中，（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點i和節(jié)點j在結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標值。例5-2 兩根桁架兩根桿件的橫截面積為A，彈性模量為E，垂直桿長為，兩桿鉸接處受到水平方向的外力P。求結(jié)點

15、位移和桿中的內(nèi)力。XY（1）單元劃分單元：i=1，j=2，=45,單剛為：單元： i=2，j=3，=-90,單剛為：2 3(2)整體剛度矩陣 1 2 3123(3) 等價結(jié)點力：僅結(jié)點2的結(jié)點力可以確定 （4）結(jié)構(gòu)整體平衡方程（5）引入約束1、3結(jié)點約束，劃去1、2、5、6行與列，得（6）節(jié)點位移（7）單元內(nèi)力整體節(jié)點位移變換到單元節(jié)點位移。單元應(yīng)變?yōu)閱卧獞?yīng)力為單元力為（7）單元內(nèi)力對于單元，i=1,j=2,桿長對于單元，i=2,j=3,桿長l（8）支反力 根據(jù)單元平衡求支反力。F1xF1y（7）結(jié)點力量 （利用整體平衡方程）將結(jié)點位移分量代入整體平衡方程，得結(jié)點力量（8）單元內(nèi)力 2、彎剪平面梁單元 如果在連續(xù)梁中使用這類單元，通?？蓪卧鴺撕徒Y(jié)構(gòu)坐標方向取得一致。此時，無須進行坐標變換。ij(e)XYij(e)xyijxy2356l14于是得到：XY 由于1 、 2 、4、 5的性質(zhì)和平面鉸接桿相同，因而有相同的T矩陣。又因單元坐標系xy平面和結(jié)構(gòu)坐標系XY平面在同一平面上， 因而單元坐標系z軸和結(jié)構(gòu)坐標系的Z軸總有相同指向，所以恒有：3、軸剪彎平面梁單元（剛架）（5-63）2、建立起單元坐標系，推演出單元坐標單元特性 矩陣：應(yīng)力矩陣S、等價節(jié)點力列陣Fe、單 元剛度矩陣ke等。