狀態(tài)空間模型與卡爾曼濾波

1、11 狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波11.1 狀態(tài)空間模型 11.2 卡爾曼濾波 11.3 方法評(píng)價(jià) 回總目錄111.1 狀 態(tài) 空 間 模 型 一、狀態(tài)空間模型簡述 狀態(tài)空間模型是動(dòng)態(tài)時(shí)域模型，以隱含著的時(shí)間為自變量。狀態(tài)空間模型包括兩個(gè)模型：一是狀態(tài)方程模型，反映動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在輸入變量作用下在某時(shí)刻所轉(zhuǎn)移到的狀態(tài)；二是輸出或量測(cè)方程模型，它將系統(tǒng)在某時(shí)刻的輸出和系統(tǒng)的狀態(tài)及輸入變量聯(lián)系起來。 回總目錄回本章目錄2 狀態(tài)空間模型分類 狀態(tài)空間模型按所受影響因素的不同分為：（1）確定性狀態(tài)空間模型（2）隨機(jī)性狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型按數(shù)值形式分為：（1）離散空間狀態(tài)模型（2）連續(xù)空間狀態(tài)模型回總目錄回

2、本章目錄3狀態(tài)空間模型按所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以分為：（1）線性的與非線性的（2）時(shí)變的與時(shí)不變的回總目錄回本章目錄4 二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間 離散事件隨機(jī)性系統(tǒng)的概念是系統(tǒng)理論中最基本的概念。 離散事件隨機(jī)性系統(tǒng)的狀態(tài)，是指系統(tǒng)內(nèi)部的可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和可能儲(chǔ)能狀態(tài)。系統(tǒng)在k=k0時(shí)刻的狀態(tài)，是在kk0時(shí)的外部行為。回總目錄回本章目錄5 用隨機(jī)向量序列來描述系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)向量，稱為狀態(tài)向量法，也稱為狀態(tài)空間法。狀態(tài)向量表示為：其中 （k=1，2，1，n）為第i個(gè)狀態(tài)向量?；乜偰夸浕乇菊履夸? 三、系統(tǒng)的輸入輸出 輸入輸出狀態(tài)概念 引入狀態(tài)向量是為了對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行 數(shù)學(xué)描述，但在許多情況下，系統(tǒng)的

3、狀態(tài)是無 法直接量測(cè)到的，有時(shí)甚至全部不能量測(cè)到。 在實(shí)際工作中，能量測(cè)到的量之勢(shì)系統(tǒng)的輸入與輸出?；乜偰夸浕乇菊履夸? 輸入輸出變量表示 系統(tǒng)的輸入也是隨時(shí)間而變的一組變量，表示為： 稱為輸入向量，其分量 （i=1，2，r)稱為輸入變量?；乜偰夸浕乇菊履夸? 輸入輸出變量表示 系統(tǒng)所受的隨機(jī)干擾也是隨時(shí)間而變的一組變量，表示為： 稱為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型噪聲，它是系統(tǒng)的一種特殊輸入向量?；乜偰夸浕乇菊履夸? 輸入輸出變量表示 系統(tǒng)的輸出也是隨時(shí)間而變的一組變量，表示為： 稱為輸出向量，其分量 （i=1，2，m)稱為輸入變量?；乜偰夸浕乇菊履夸?0輸入輸出變量表示量測(cè)系統(tǒng)也會(huì)受到隨機(jī)噪聲的污染，表示

4、為：稱為系統(tǒng)的量測(cè)噪聲。回總目錄回本章目錄11 四、狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型定義 狀態(tài)空間模型是描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的完整模型，它表達(dá)了由于輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，并由此使輸出發(fā)生的變化。 狀態(tài)空間模型的不同形式 如，線性時(shí)不變模型的狀態(tài)方程可表示為：輸出方程為：回總目錄回本章目錄12 五、狀態(tài)空間模型的建立例 題 例 1 某養(yǎng)魚場(chǎng)為了反映池塘魚種的變化，請(qǐng)你幫助建立狀態(tài)空間模型。 解答：（1）取狀態(tài)向量X（k）為k時(shí)刻3個(gè)魚種的數(shù)量： 輸入向量為：回總目錄回本章目錄13（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣式中： p1，p2，p3為鯽魚、青魚和鯉魚的生長率，這里為p1=0.1，p2=0.13，p3=0.08。（3

5、）輸入矩陣仍定為常陣回總目錄回本章目錄14（4）輸出矩陣或預(yù)測(cè)矩陣C為33維單位陣， 這樣輸出向量或量測(cè)向量就等同于狀態(tài)向量，狀態(tài)空間模型： 即：回總目錄回本章目錄1511.2 卡 爾 曼 濾 波 一、卡爾曼濾波的意義 卡爾曼濾波的實(shí)質(zhì)是由量測(cè)值重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。它以“預(yù)測(cè)實(shí)測(cè)修正”的順序遞推，根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)值來消除隨機(jī)干擾，再現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)，或根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)值從被污染的系統(tǒng)中恢復(fù)系統(tǒng)的本來面目?；乜偰夸浕乇菊履夸?6 二、卡爾曼濾波的形式 模型要求 卡爾曼濾波要求模型已知。即模型的結(jié)構(gòu)與參數(shù)已知，且隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)特征已知。 卡爾曼濾波分類記 的向量函數(shù)： 為狀態(tài)X（k)的估計(jì)量，分三種情況：

6、 當(dāng)kj時(shí)，稱為預(yù)測(cè)； 當(dāng)k=j時(shí)，稱為濾波； 當(dāng)kj時(shí)，稱為平滑?；乜偰夸浕乇菊履夸?7 三、卡爾曼濾波特點(diǎn) 卡爾曼濾波是解決狀態(tài)空間模型估計(jì)與預(yù)測(cè)的有力工具之一，它不需存儲(chǔ)歷史數(shù)據(jù)，且可以同過計(jì)算機(jī)程序到達(dá)對(duì)狀態(tài)空間模型的優(yōu)化擬合。回總目錄回本章目錄1811.3 方 法 評(píng) 價(jià) 一、狀態(tài)空間的特點(diǎn)1、狀態(tài)空間模型不僅能反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)，而 且能揭示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)與外部的輸入和輸出 變量的聯(lián)系。2、狀態(tài)空間模型將多個(gè)變量時(shí)間序列處理為向 量時(shí)間序列，這種從變量到向量的轉(zhuǎn)變更適 合解決多輸入輸出變量情況下的建模問題。3、狀態(tài)空間模型能夠用現(xiàn)在和過去的最小信 息形式描述系統(tǒng)的狀態(tài)，因此，它不需要大 量的歷史數(shù)據(jù)資料，既省時(shí)又省力。 回總目錄回本章目錄19 二、狀