大學(xué)物理矢量基礎(chǔ)

1、附錄11矢量基礎(chǔ)1標(biāo)量在物理學(xué)習(xí)中，經(jīng)常見到一類只具有數(shù)值大?。òㄓ嘘P(guān)單位），而不具有方向的一類 物理量，這些物理量之間遵循一般的代數(shù)法則，這樣的量叫物理標(biāo)量，簡稱標(biāo)量。例如路程、 速率、時間、溫度等。標(biāo)量有正負(fù)之分，例如溫度，+20r表示冰點以上20C，-20C表示 冰點以下20C，但它并不表示方向。2矢量2.1矢量的表示除了標(biāo)量，經(jīng)常見到一類既要由數(shù)值大小（包括有關(guān)單位），又要由方向才能完全確定 的物理量，它們之間遵循特殊的運算法則，這類物理量叫做物理矢量，簡稱矢量。例如位移、 力、速度、加速度、動量、電場強(qiáng)度等。矢量一般（印刷時）用黑體表示，如A，但在手寫時，為了方便，一般是在字母上加

2、、上矢量符號即可，如*.作圖時，用一個帶箭頭的的線段表示矢量，線段的長度表示矢量的 大小，線段的方向表示矢量的方向.矢量的大小也稱為矢量的模，用A或AI表示.在矢量中，有兩個特殊矢量，分別為：零矢量和單位矢量零矢量的模為0，方向任意； 單位矢量的模為1，方向與對應(yīng)矢量方向相同，例如可以用A0表示矢量A的單位矢量，則A = AA0 = |A|A0. 一些特殊的單位矢量的物理意義是約定俗成的，如i，j，k分別表示三 維直角坐標(biāo)系中n y，乙三個坐標(biāo)軸上正方向的單位矢量；n，t（t）分表表示自然坐標(biāo)系 中的法向和切向坐標(biāo)軸上正方向的單位矢量.如果兩個矢量大小相同，方向一致，則這兩個矢量相等，如圖1.

3、1所示.如果兩個矢量 大小相等，方向相反，則這兩個矢量互為負(fù)矢量，如圖1.2所示.圖1.1等矢量圖1.2負(fù)矢量在比較幾個矢量之間的關(guān)系時，或?qū)λ麄冞M(jìn)行運算時，這些矢量要按照相同的比例來繪 圖，且矢量可以在空間中平移，平移后的大小和方向仍保持不變，如圖1.3所示.圖1.3矢量的平移2.2矢量運算2.2.1矢量的加法矢量加法是矢量的幾何和，兩個矢量的幾何和服從平行四邊形規(guī)則，如圖1.4（。）所示， 則有C = A + B，矢量加法也可以用矢量三角形表示，如圖1.40）所示.矢量A的頭和矢量B 的尾相接，得矢量C。同理矢量B的頭和矢量A的尾相接，也得矢量C,可見，矢量加法和 矢量排列次序無關(guān)，即服從

4、交換律A + B = B + A（1.1）如果要求三個矢量A，B，C的和，可先求A + B，再與C相加即可.若以A與B + C 相加，會得同樣的結(jié)果，如圖1.5所示.由圖1.5可知，矢量加法也服從結(jié)合律.（A + B ）+ C = A +（B + C ）（1.2）(。)(b)圖1.5多個矢量的加法矢量加法是幾個矢量的合成問題，反之，一個矢量也可以分解為幾個矢量，一般為方便 計算，常采用正交分解法.例如把矢量A可以在三維直角坐標(biāo)系中分解，如圖1.6所示.圖1.6三維直角坐標(biāo)系中的矢量由圖1.6可知(1.3)則，矢量A的模與夾角余弦值為(1.4)A(1.5)A = %： A2 + A2 + A2c

5、os aA x .A其中a , P和y分別為矢量A的方向角，即矢量A與三個坐標(biāo)軸方向的夾角，cos acos P和cosy稱為矢量A的方向余弦，且有cos2 a + cos2 P + cos2 y = 1.設(shè)有三個矢量A，B和C，在直角坐標(biāo)系中分別表示為A = Ax i + Ayj + A盧，B = B i + B j + B k，C = C i + C j + C k，則三個矢量相加為x y zxy zA + B + C=(A + B+ Z + (a+ B + Z )j +(A+ B + Z(1.6)在矢量的分解中，應(yīng)注意到分解的不唯一性.2.2.2矢量的減法矢量減法可視為矢量加法的逆運算，

6、即A - B = A +(- B)(1.7)通常(-B)稱為矢量B的逆矢量，它的大小和矢量B一樣，但方向相反，如圖1.7所示.圖1.7矢量減法圖1.8和矢量為零的幾何表示由矢量加減法運算規(guī)則可知，如果三個矢量A， B和C頭尾相連組成封閉三角形，其 矢量和為零，如圖1.8所示。A + B + C = 0(1.8)同理可推斷，若多個矢量頭尾相連組成封閉的多邊形，其矢量和必為零2.2.3矢量的數(shù)乘一個標(biāo)量m和矢量A相乘，則它們的乘積mA仍是一個矢量，該矢量的模等于矢量A的 模與數(shù)|m|的乘積，并且平行于矢量A .如果m 0，則它的指向與矢量A相同，如果m 0，則它為零矢量.記為-A .矢量與數(shù)量的乘

7、積有下列性質(zhì)：設(shè)A、則它的指向與矢量A相反，如果m = 0，特別地，當(dāng)m = -1時，mA = (-1)AB為任意矢量，m，n為任意數(shù)，則有(1) (m + n )A = mA + nA（2）m（nA）= n（mA）=（mn）A（3）m（A + B）= mA + mB2.2.4矢量的點積兩矢量的點積亦稱標(biāo)積，其結(jié)果是一個標(biāo)量 定義為：一個矢量在另一個矢量方向上的 投影與另一矢量模的乘積，可表示為（1.9）A - B = ABcos 6式中0為矢量A和矢量B的夾角，如圖1.9所示.圖1.9矢量點積的圖示由式(1.9)可知，當(dāng)0 =-時，點積結(jié)果為零2因此兩非零矢量A和B的正交條件為（1.10）矢

8、量的點乘服從以下運算規(guī)律（1）交換律 A - B = B - A，A - A = A2（2）分配律 A （B + C）= A - B + A - C（3）結(jié)合律 m（A -B）=（mA）-B = A - （mB）在直角坐標(biāo)系中， j，k三個單位矢量互相正交，根據(jù)點積定義得i - i = j - j = k - k = 1i - j = j - k = k - i = 0于是兩矢量的點積可表示為/)/)A - B = U i + A j + A z) B i + B j + B z，x y z x y z=A B + A B + A B說明兩矢量的點積等于其對應(yīng)的分量的乘積之和.（1.11）（1

9、.12）2.2.5矢量的叉積兩矢量A和B的叉積亦稱矢積，其結(jié)果是一個矢量，用矢量C表示，矢量C的大小為A和B組成的平行四邊形的面積，方向垂直于矢量A和B構(gòu)成的平面，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為C = A x B(1.13)式中，|C| = AB sin 0，0為矢量A和B的夾角，如圖1.10所示.矢量C的方向滿足右手螺旋法則，即伸出右手，使大拇指與其余四指垂直，并且都跟手掌在同一個平面內(nèi)，令四指方向指向矢量A，并沿0方向(小于180)握向矢量B，則大拇指方向即為矢量C的方向.由式(1.13)可以得到非零矢量A和B平行的條件為矢量的叉積符合以下運算規(guī)律A x A = 0AxB = -BxA這是因為按右手螺旋法則，從A握向B定出的方向恰好與從B握向A定出的方向相 反，它表明交換律對矢量的叉乘不成立.（3）分配律 A x （B + C）= A x B + A x C（4）結(jié)合律 m（A x B =（mA）x B = A x（mB ）對于直角坐標(biāo)系來說，由矢量積定義可得到單位矢量之間的關(guān)系(1.15)i x i = j x j = k x k = 01i x j = -j x i = k , j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j于