專題五立體幾何中的向量方法_(一)__平行與垂直關系的向量證法(共8頁)

1、PAGE - PAGE - 8 - -立體幾何(j h)中的向量方法(fngf) (一) 平行與垂直關系(gun x)的向量證法知識點一：求平面的法向量例1.已知平面經過三點A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，試求平面的一個法向量解:A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，eq o(AC,sup6()(1，2，4)，設平面的法向量為n(x，y，z)依題意，應有n= 0， neq o(AC,sup6() = 0.即eq blcrc (avs4alco1(x2y4z0,2x4y3z0)，解得eq blcrc (avs4alco1(x2y,z0).令y

2、1，則x2.平面的一個法向量為n(2,1,0)【反思】用待定系數法求平面的法向量，關鍵是在平面內找兩個不共線向量，列出方程組，取其中一組解(非零向量)即可“用向量法”求法向量的解題步驟：（1）設平面的一個法向量為； （2）找出（或求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標；（3）根據法向量的定義列出方程組；（4）解方程組，取其中的一個解，即得法向量。練習：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，DC的中點，求證：是平面A1D1F的法向量.證明: 設正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則是平面A1D1F的法向量設正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0

3、,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)， eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2). D1(0,0,1)，Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，A1(1,0,1) eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，1)，eq o(A1D1,sup6()(1,0,0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，1)eq f(1,2)eq f(1,2)0，同理eq o(A1D1,sup6()0，且eq o(A1D1,sup6(

4、). 又A1D1D1FD1，AE平面A1D1F， 是平面A1D1F的法向量知識點二：利用向量方法證平行關系（1）線線平行：設直線、的方向向量分別為、，則（2）線面平行： 由線面平行的判定定理，只要證明已知直線的方向向量與平面內的某一向量平行即可；設直線的方向向量為，平面的法向量為，則；由共面向量定理知，只要證已知直線的方向向量能夠用平面內兩個(lin )不共線向量表示即可.（3）面面平行(pngxng)： 證明兩個(lin )平面的法向量平行，即兩個平面的法向量；證明一個平面內兩條相交直線的方向向量分別和另一個平面內的兩條相交直線的方向向量平行.例2在正方體中，是的中點，求證：.證方法一：=，

5、又,證法二： = +=+ =+.，共面.又B1C 面ODC1，B1C面ODC1.證法三: 如圖建系空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，C1(0,1,1)，(1,0，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0).設平面ODC1的法向量為n(x0，y0，z0)，則得eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x0f(1,2)y0z00,f(1,2)x0f(1,

6、2)y00 )令x01，得y01，z01，n(1,1，1)又 n1101(1)(1)0，n，B1C平面ODC1.【反思】證明線面平行問題，可以有三個途徑，一是在平面ODC1內找一向量與共線；二是說明能利用平面ODC1內的兩不共線向量線性表示，三是證明與平面的法向量垂直練習(linx)：如圖所示，矩形(jxng)和梯形(txng)所在平面互相垂直，.求證：平面.證明：如圖所示，以點C為坐標原點，以CB、CF和CD所在直線分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系Cxyz.設ABa，BEb，CFc，則C(0,0,0)，A(eq r(3)，0，a)，B(eq r(3)，0,0)，E(eq r(3)

7、，b,0)，F(0，c,0)eq o(AE,sup6()(0，b，a)， (eq r(3)，0,0)，(0，b,0)，所以eq o(AE,sup6() = 0， = 0，從而CBAE，CBBE.所以CB平面ABE.因為CB平面DCF，所以平面ABE平面DCF.故AE平面DCF.知識點三利用向量方法證明垂直關系（1）線線垂直：設直線、的方向向量分別為、，則（2）線面垂直： 設直線的方向向量為，平面的法向量為，則；由線面垂直的判定定理，只要證明已知直線的方向向量與平面內兩個不共線向量垂直。（3）面面垂直： 證明兩個平面的法向量垂直，即兩個平面的法向量；由面面垂直的判定定理可知：只要證明一個平面內的

8、一條直線的方向向量和一個平面內的兩條相交直線的方向向量垂直.例3在正方體中，分別是棱的中點，試在棱上找一點，使得平面.解：建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體的棱長為2，則E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)設M（2，2，m），則 =（1，1，0），eq o(B1E,sup6()=（0， 1， 2）， =（2，2，m2）. 平面EFB1， EF，B1E， = 0且eq o(B1E,sup6() = 0，于是(ysh)m1，故取B1B的中點(zhn din)為M就能滿足D1M平面(pngmin)EFB1.【反思感悟】證明直線與平面垂直有兩種方法：(1)用直線

9、與平面垂直的判定定理；(2)證明該直線所在向量與平面的法向量平行練習：1在正方體中，是棱的中點，試在棱上求一點，使得平面平面.2在正三棱柱中，. 求證：.證明建立空間直角坐標系C1xyz，設ABa，CC1b.則A1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)a，f(a,2)，0)，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)a，f(1,2)a，b)，C1(0,0,0)于是 =eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)a，f(1,2)a，b) =（0， a，b），eq blc(rc)(av

10、s4alco1(f(r(3),2)a，f(a,2)，b).B1CA1B， eq f(a2,2)b20,而eq f(3,4)a2eq f(1,4)a2b2eq f(a2,2)b20 即AC1A1B.課堂小結：1用待定系數法求平面法向量的步驟：(1)建立適當的坐標系(2)設平面的法向量為n(x，y，z)(3)求出平面內兩個不共線向量的坐標a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)(4)根據法向量定義建立方程組eq blcrc (avs4alco1(an0,bn0).(5)解方程組，取其中一解，即得平面的法向量. 2平行關系的常用證法eq o(CD,sup6().證明線面平行可轉化為證直線的方向

11、向量和平面的法向量垂直，然后說明直線在平面外，證面面平行可轉化證兩面的法向量平行3垂直關系的常用證法要證線線垂直，可以轉化(zhunhu)為對應的向量垂直要證線面垂直(chuzh)，可以轉化為證明這條直線與平面內兩條相交直線垂直要證面面垂直，可以轉化為證明(zhngmng)兩個平面的法向量垂直一、選擇題1. 已知A（3，5，2），B（-1，2，1），把按向量a(2,1,1)平移后所得的向量是()A(4，3,0) B(4，3，1)C(2，1,0) D(2，2,0)答案B(4，3，1)平移后向量的模和方向是不改變的 2平面的一個法向量為(1,2,0)，平面的一個法向量為(2，1,0)，則平面與平面

12、的位置關系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能確定答案C解析(1,2,0)(2，1,0)0，兩法向量垂直，從而兩平面也垂直3從點A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取線段長AB34，則B點的坐標為()A(9，7,7) B(18,17，17)C(9,7，7) D(14，19,31)答案B解析 ，設B（x，y，z），=（x2，y+1，z7）=（8，9， 12），0.故x2=8,y+1=9,z7=12，又（x22+（y+12+（z72 = 342，得（17）2 = 342，0,=2.x = 18,y = 17,z =17,即B（18，17， 17）.4已知a(2,4,5)，b(3，x

13、，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1l2，則()Ax6，y15 Bx3，yeq f(15,2)Cx3，y15 Dx6，yeq f(15,2)答案D解析l1l2，ab，則有eq f(2,3)eq f(4,x)eq f(5,y)，解方程得x6，yeq f(15,2).5若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為u(2,0，4)，則()Al BlCl Dl與斜交(xi jio)答案(d n)B解析(ji x)u2a，au，l.二、填空題6已知A(1,1，1)，B(2,3,1)，則直線AB的模為1的方向向量是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，

14、f(2,3)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，f(2,3)解析， =（1，2，2），| | = 3 .模為1的方向向量是,7已知平面經過點O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的法向量，M(x，y，z)是平面內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是_答案xyz0解析 e=（x，y，z）（1，1，1）= x+y+z = 0.8若直線a和b是兩條異面直線，它們的方向向量分別是(1,1,1)和(2，3，2)，則直線a和b的公垂線(與兩異面直線垂直相交的直線)的一個方向向量是_答案(1,4，5)(答案不唯一)解析設直線a和b的公垂線的一個方向向量為n(x，y，z)，

15、a與b的方向向量分別為n1，n2，由題意得eq blcrc (avs4alco1(nn10，,nn20，)即：eq blcrc (avs4alco1(xyz0，,2x3y2z0.)解之得：y4x，z5x，令x1，則有n(1,4，5)三、解答題9已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.證明如圖所示建立空間直角坐標系Dxyz，則有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以 =（0，2，1）， =（2，0，0）， =（0，2，1）.（1）設n1=（x1 , y1 , z1）是平面ADE的法向量,則n1 ， n1，即 得令z12，則y11，所以(suy)n1(0，1,2)因為(yn wi)