遼寧沈陽二中2015屆高三12月月考數(shù)學(xué)文試題版含解析人教A版

1、沈陽二中20142015學(xué)年度上學(xué)期12月份小班化學(xué)習(xí)成果階段驗收高三（15屆）數(shù)學(xué)（文科）試題【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎(chǔ)知識和基本技能為載體，以能力測試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：不等式、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解三角形、數(shù)列、平面向量、立體幾何、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)、充分、必要條件、集合、頻率分布直方圖與概率等；考查學(xué)生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷.第I卷（60分）【題文】一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。每

2、題只有一個正確答案，將正確答案的序號涂在答題卡上 .）3 3【題又】1 .已知R是實數(shù)集，集合M=1x|31b N=yy = x + vx 2則X x J,I N &M）=（）A.0,2B,2,二） C.（-二,2D,2,3【知識點】集合的運算 A1【答案】【解析】D3斛析：因為 M = 4 x 1 b = x x 3）,CrM =x0MxM3, I x JN= y =x +/x_2 = y|y 2）,所以 N Q（CRM 尸 12,3，則選 D.【思路點撥】遇到不等式的解構(gòu)成的集合，一般先對不等式求解，再進(jìn)行運算【題文】2.通過隨機(jī)詢問110性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表

3、：男女總計愛好402060不愛好203050總計60501102 一由 K2 =n(ad bC)，算得 K2 定7.8 附表:(a b)(c d)(a c)(b d)一 2 一P(K 之 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為愛好該項運動與性別有關(guān)B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為愛好該項運動與性別無關(guān)C.有99%以上的把握認(rèn)為愛好該項運動與性別有關(guān) ”D.有99%以上的把握認(rèn)為愛好該項運動與性別無關(guān) ”【知識點】獨立性檢驗的應(yīng)用 I4解析：因為k2定7.8 6.635, 有0.0

4、1=1%的機(jī)會錯誤，即有 99%以上的把握認(rèn)為愛好這項 運動與性別有關(guān)”，故選C.【思路點撥】題目的條件中已經(jīng)給出這組數(shù)據(jù)的觀測值，只要把所給的觀測值同節(jié)選的觀測值表進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它大于6.635,得到有99%以上的把握認(rèn)為 愛好這項運動與性別有關(guān)【題文】3.已知 口 w (0, n ), cos +) =_12 ,則 tan2ot =() TOC o 1-5 h z 32A.gB. %；3 或.C1D.【知識點】三角函數(shù)的求值 C7【答案】【解析】C2一 二3 二二5 二一 5 二，、11二斛析：因為 cos +)=-,所以 a + =或ot + =,得=或,則3234341212tan 2

5、 =-彳，所以選C.【思路點撥】抓住所給的三角函數(shù)值是特殊角的三角函數(shù)值是本題的關(guān)鍵【題文】4.已知兩個不同的平面 ot、P和兩個不重合的直線 m、n,有下列四個命題:若 m/n, m_La,則n_Lu；若 m_Lu, m_L 口,則口/B ;若 m_L % m/n,nu P,則久 _L P ；若 m/u,u c P = n,則m/n.其中正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【知識點】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D解析：若m/n,m，,則n，a；由線面垂直的性質(zhì)可知正確；若m_L%m_L B,則a/B ；由平行平面的性質(zhì)可知正確；若 m_La,m/n,則n, a ,又n

6、仁P,則a _L P ,所以正確；若 m/a,a c P = n,則m/n .因為m與n還可以異面,所以錯誤，綜上可知選D.【思路點撥】判斷平行于垂直位置關(guān)系，可用已有的定理或性質(zhì)直接判斷，或用反例法進(jìn)行排除.【題文】5.下列說法中，正確的是()A.命題 若am2 bm2,則a ”的否定是：任意xwR, x xW”C.命題“或q”為真命題，則命題 “6和命題 飛均為真命題D,已知xR,則x1是為 2 ”的充分不必要條件【知識點】命題充分條件、必要條件 A2【答案】【解析】B解析：對于A,當(dāng)m=0時逆命題不成立；對于 B,又特稱命題與全稱命題的關(guān)系知顯然成立； 因為只有一個選項正確，所以選B.【

7、思路點撥】判斷命題的真假可用反例法進(jìn)行排除，也可直接利用已知結(jié)論或性質(zhì)進(jìn)行判斷【題文】6.點(a,b四直線x+2y = 3上移動，則2a +4b的最小值是()A.8B. 6C.4 2D.3 2【知識點】基本不等式 E6【答案】【解析】C解析：因為2a +4b =2a +22b之2。尹 :2亞=42 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立，所以【思路點撥】利用指數(shù)的運算發(fā)現(xiàn)所求式子兩個加項之積為定值，直接利用基本不等式求最 值即可.【題文】7,直線l： y=k(xJ2)與曲線x2 y2 =1(x0 )相交于a、B兩點，則直線l傾斜角的取值范圍是()A. 10,二B.在I I（一2）（2力 TOC o 1-

8、5 h z 【知識點】直線與雙曲線的位置關(guān)系H8【答案】【解析】B解析：因為曲線x2 y2 =1(x 0)的漸近線方程為y=x,若直線l： y=k(xj2)與曲線22x -y =1(x0 )相交于A、B兩點，則kv-1或k1,而直線l的斜率存在，所以二 3 二,I- - I則選B.12, 4 J【思路點撥】一般遇到直線與雙曲線的位置關(guān)系時，注意結(jié)合其漸近線解答【題文】8.如圖所示是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A. 2二 8 B. 8二 8 C, 4二 8 D. 6二 8【知識點】三視圖 G2【答案】【解析】A解析：由三視圖可知該幾何體上面為兩個半圓柱，下面為一個長方體，所以其體積

9、為n 父12 M2+2M4M1 =2n +8 ,則選 A.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是正確分析原幾何體的特征，熟悉常見的幾何 體的三視圖特征是解題的關(guān)鍵 . TOC o 1-5 h z 【題文】9.若不等式2Wx22ax+aw 1有唯一解，則a的取值為（）A -1 -而b 1 -運 c 一1 土芯 D 1土通22.22【知識點】一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系E3【答案】【解析】D解析：若不等式2wx22ax+aw 1有唯一解，則 x22ax+a=1有相等實根，所以2154a2 -4（a+1 ）=0,解得 a=-,所以選 D.【思路點撥】遇到一元二次不等式的解集問題，可結(jié)合其對應(yīng)的

10、二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解答.uir uun【題 文】 10.已 知 向 量OA與OB的 夾 角 為uuruuuuuu uur uuuuuu uur仇OA =2, OB =1,OP=tOA,OQ = (1 -t JOB, PQ, 1在t0時取得最小值，當(dāng)0 t0 一時,5夾角e的取值范圍為（冗）r冗冗）A 10 B I ,33,2【知識點】向量的數(shù)量積【答案】【解析】C二 2 二2 二C. 2, 3 D. 0, 3F3解析：因為OA,OB =2cose ,亂亂二 1-t 君一tOA.TQ2 2=PQ= (5+4cos9 X2 (2 + 4cos9 )t +1,所以x 1 2cos 口八 1 2cos

11、 1 /曰 1八 二.2 二t0 =凸，則0凸 ，得cos80.若方程3f (x) =x恰有5個實數(shù)解，則 m的取值范圍為()A q訪8 B.公府/ ,W7I 33JI 3 J【知識點】函數(shù)與方程 B9【答案】【解析】BD.解析：因為當(dāng)xC (-1,1)時，將函數(shù)化為方程22 yx +J=1(y之0),為一個半橢圓，其圖像 m如圖所示，同時在坐標(biāo)系中作出當(dāng) x (1,3)的圖像，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖像,2 x 2 y22 yx-8 二 m由圖易知直線y=,與第二個橢圓(x-4)十今 =1(y至0)相交，而與第三個半橢圓x ,、= 1(y 0 )無公共點時，萬程恰有5個實數(shù)解，將y

12、=一代入32 TOC o 1-5 h z 2 y_一_2.2222 .一(x-4 ) += 1y 0得(9m +1 )x -72m x+135m =0 ,令 t=9m (t 0),則 m222(t +1 )x -8tx+1 5t= 0 = (8t ) 4M15t(t+1 )0 ,得 t 15,所以 9m 15 ,又= 1(y之0 )無交點，0,得m ,同樣由y =與第二個橢圓(x -8 ) + 233mm-7,綜上可知m理3幣,所以選B.12 3 4I x6 7 8 9 Y通常利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)【思路點撥】一般遇到方程的根的個數(shù)或函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題, 行解答._ x a _f(x) =|e

13、, x |(a R) 、 01L【題文】12.函數(shù)e在區(qū)間01上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()1 -a - ，eA aw L1,1B.aw1,0C aw0,1 D e 【知識點】函數(shù)的單調(diào)性 B3【答案】【解析】A2x TOC o 1-5 h z x a x a e -ax a斛析： 令 y=e + , y =e -= 2, 所以當(dāng) a0 時，函數(shù) y = e+ x 在 ee ee1ln a 上單調(diào)遞減，在1111n a +餡1上單調(diào)遞增，若函數(shù)在所給區(qū)間上單調(diào)遞增，則.，2.2-1xx a ,-1n a 0 ,得0v aw 1,當(dāng)a=0時f （x ） = e顯然滿足題意，當(dāng) a0時，函數(shù)y

14、= e + 在2eR上單調(diào)遞增，由ex+弓=0得x =1n J二0則函數(shù)y = ex 十月 在（一笛,1n）上單調(diào)遞ee減，在（1nJ, ）上單調(diào)遞增，則有1n7a 0,得-1wav0,綜上可知實數(shù) a的范圍是a 二!1 1,11 【思路點撥】含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性，可考慮先分段討論去絕對值再判斷單調(diào)性，也可直接判斷絕對值內(nèi)部對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答第n卷 （90分）【題文】二.填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.【題文】13.已知F是拋物線y2=x的焦點，A,B為拋物線上的兩點，且|AF|+|BF|=3,則線段AB的 中點M到y(tǒng)軸的距離為【知識點】拋物線及其幾何性質(zhì)H7，一 5

15、【答案】【解析】54 1解析：因為拋物線的準(zhǔn)線為 x =,由拋物線的定義及梯形的中位線的性質(zhì)可得M到拋物線4的準(zhǔn)線的距離為 3,所以到y(tǒng)軸的距離為 31=5. 22 4 4【思路點撥】在圓錐曲線中遇到曲線上的點與焦點的距離時通常利用其定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化【題文】14.在數(shù)列Qn）中，a1 =1ae +（1）nan =1.記Sn是數(shù)列an的前n項和，則00 =【知識點】數(shù)列求和 D4【答案】【解析】1300解析：當(dāng)n為奇數(shù)時，有an七-an =1,當(dāng)n為偶數(shù)時有an七十a(chǎn)n =1,所以該數(shù)列奇數(shù)項城等差數(shù)列，偶數(shù)項為擺動數(shù)列，所以前100項中偶數(shù)項和為25 ,奇數(shù)項和為50 49_50 1 = 127,

16、5則 S100 =25 1275=1300.2【思路點撥】可通過觀察當(dāng)n取奇數(shù)與n取偶數(shù)時遞推公式特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列特征達(dá)到求和目標(biāo).【題文】15.已知正三棱錐 P-ABC,點P,A,B,C都在半徑為 J3的球面上，若PA,PB,PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為.【知識點】球的截面性質(zhì) G8【答案】【解析】3解析：由已知可把正三棱錐補(bǔ)形成球內(nèi)接正方體，因為球的直徑為2J3 ,所以正方體的棱長為 2,貝 U PA=PB=PC=2 AB=BC=AC=T2, S 四bc =叵八2 向=273 ,設(shè) P 至 U 截面 ABC 的距4 TOC o 1-5 h z 1 尸 1 12.3離為d,則有

17、M2點Md = M M2 M2 M2 ,解得d =2,所以球心到截面 ABC的距離為、3 一”二 331 一【題又】16 .在 AABC 中,AC =6,BC =7,cosA = ,MBC 5的內(nèi)心，若OA OB為鄰邊【思路點撥】一般遇到幾何體的外接球問題，若直接解答不方便時，可通過補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為球 內(nèi)接正方體或長方體的關(guān)系進(jìn)行解答.I)OP=xOA+yOB其中0ExA+yOB X中0 E x E1,0 E y E1,動點P的軌跡為以 OA, OB為鄰邊的平行四邊形ADBO的內(nèi)部（含邊界），再求面積即可.【題文】三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

18、【題文】17.（本小題滿分10分）1在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a,b,c,且a2+c2 b2 = ac.2（I）求 sin2 A-C+cos2B 的值；2（II）若b = 2,求，ABC面積的最大值【知識點】三角函數(shù)的性質(zhì)解三角形C3 C8【答案】【解析】（I） - ； （II） 近 TOC o 1-5 h z 43解析：（I）在 ABC中，由余弦定理可知，a2 + c2 b2 = 2accos B ,由題意知2 2,2 11一，. 一， 一a +c -b =-ac ,，cosB =；又在 ABC中 a+b+C=tt ,24,2 A C .2 二- B c- 2 B -1

19、CoSB 八 2-,1sin cos2B = sin cos2B = cos 一 cos2B = 2cos B -1 二 一一22224 ,99912218b=2，由 a +c -b =- ac 可得 a +c 4 =一 ac 之 2ac 4 ,ac W223-1 .一后 _1. -1 8 .行.而cosB= , . sin B = ,. . S&bc = -acsin B W 一 父一父=,.ABC 面積4422 343的最大值為153【思路點撥】熟悉余弦定理特征是求角B的關(guān)鍵，當(dāng)已知三角形內(nèi)角時注意利用含夾角的面積公式進(jìn)行解答【題文】18.（本小題滿分12分）從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽

20、取 50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155 cm和195 cm之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組155,160，第二組160,165),第八組190 ,195 ,右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.(I)求第七組的頻率；(II)估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)；(II)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x, y ,事件 E = x -y| M5,事件 F = x _ y 15,求 p(e|J F).【知識點】頻率分布直方圖概率I

21、2 K2【答案】【解析】(D0.06;(甲44人；(力工15解析：(D第六組的頻率為 =0.08，所以第七組的頻率為501 -0.08 -5 (0.008 2 0.016 0.04 2 0.06) =0.06 ;(D身高在第一組155,160)的頻率為0.008X5 = 0.04,身高在第二組160,165)的頻率為0.016父5=0.08,身高在第三組165,170)的頻率為0.04x5=0.2,身高在第四組170,175)的頻率為0.04x5=0.2,由于 0.04 0.08 0.2 -0.32 :二 0.5,0.04 0.08 0.2 0.2-0.52 . 0.5估計這所學(xué)校的800名男

22、生的身高的中位數(shù)為 m,則170m15是不可能事件，P(F)=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(EUF) = P(E) + P(F)=.15【思路點撥】正確認(rèn)識頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是解題此類問題的關(guān)鍵，求概率問題一般用列舉法尋求所包含的基本事件的個數(shù) 【題文】19.（本小題滿分12分）如圖，PA垂直于矩形 ABCD所在的平面，AD = PA =2,CD =2 J2, E、F分別是AB、PD的中點.求證:AF平面PCE;（2）求證:平面PCE _L平面PCD;（3）求四面體PEFC勺體積.【知識點】平行關(guān)系 垂直關(guān)系，棱錐的體積 G4 G5 G72.2【答案】【解析】（1）略；（2）略；

23、（3）公匕 3解析：（1）證明：設(shè) G為PC的中點，連接FG, EG,二下為PD的中點，E為AB的中點，F(xiàn)gJ=CD, AE - CD , .1.FG-LaE, .AF /GE, GEU 平面 PEC, ，AF/平面 PCE; 22（2）證明： PA=AD=2 , .AF PD,又PA，平面 ABCD , CD 仁 平面 ABCD , .-.PAX CD,. AD LCD, PA HAD=A ,，CD，平面 PAD,AFU 平面 PAD, /.AFI CD .PD ACD=D , ，AF，平面 PCD , ，GE，平面 PCD , GEU 平面 PEC,平面PCE,平面PCD;由（2）知 GE

24、L平面 PCD,所以 EG為四面體 PEFC的高，又 GF/ CD,所以 GF TOC o 1-5 h z PD, EG =AF =J2,GF =1cD 二衣,S#CF =-PD GF =2，所以四面體 PEFC 的體積 2212.2V -S.pcf *EG =-. 33【思路點撥】證明線面平行與面面垂直，通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求棱錐的體積抓住 其底面積和高進(jìn)行求值即可 .【題文】20.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列Qn 的各項都是正數(shù)，且對任意 n w N*,都有a； =2Sn - an,其中S為數(shù)列自的前n項和.（I）求數(shù)列 Ln的通項公式；(II)設(shè)bn =3n +(1尸.九，2an

25、(人為非零整數(shù)，nw N*),試確定九的值，使得對任意n都有bn書bn成立.【知識點】數(shù)列的通項公式 不等式D1 E1【答案】【解析】(I) an=n(nw N )； (II) 1 TOC o 1-5 h z 2.三解析：(I) n w N 時，an =2Sn an，當(dāng) n 之 2 時，a；=2Snj -anJL,由一得,an - an J =(2& -an) -(2Sn- an)即 a2a =an+an， an+an_L 0，an an=1(n 2 2) ,由已知得，當(dāng) n=1 時，a2 =2S) aL ,aL =1.*故數(shù)列an是首項為1,公差為1的等差數(shù)列. an =n(nw N ).,

26、、*nn 1 n(n) an =n(nw N ),bn =3 +(1)九 2 , TOC o 1-5 h z bn1-bn=3n 1-3n(-1)2n 1 -(-1寸，2n=2 3n 3(-1廣2n.3要使得bn書bn恒成立，只須(1)* (-)n .2 33 n(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，即九 (一) 恒成立又()的最小值為1,，九 -2222一由(1),(2)得 1 0 所以(F)2+()+1 1，所以 0 c九2 2，所以Z的取值范圍為 (a, 0)U(0, 22).【思路點撥】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)先結(jié)合焦點位置確定標(biāo)準(zhǔn)方程形式再進(jìn)行解答，遇到直線與橢圓位置關(guān)系問題，通常聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行解

27、答【題文】22.(本小題滿分12分)已知 awR,函數(shù) f(x) = x3x2+3ax 3a+3(I)求曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程；(n)當(dāng)xw 0, 2時，求|f(x)|的最大值.【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 B123-3a,a0一一,13【答案】【解析】(I) y= (3a-3) x-3a+4； (n) f(x|max =1+2(1-a )=1-a,0 a-c 、33a -1,a 4解析：(I )因為 f (x) =x3-3x 2+3ax-3a+3 ,所以 f ( x) =3x2-6x+3a，故 f (1) =3a-3 ,又f (1) =1,所以所求的切線方程為y= (3a-3) x-3a+4 ;(n)由于 f (x) =3 (x-1 ) 2+3 (a-1 ), 0 x2,故當(dāng)al時，有f (x) 0,此時f (