高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一二試及詳解高清審批稿

1、高中教學(xué)張賽一二試及詳解高清YKK standardization office YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK1810,設(shè)用,占,匕是非負(fù)實數(shù)，滿足馬+匕=1，求(內(nèi)+3占+5X3)(玉+自+11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足Re(ZI)0, Re(z2)0,且Re(z：) = Re(z；) = 2 (其中Re表示復(fù)數(shù)z的實部).(1)求Re(ZR2)的最小值；(2)求 + 2| + q + 2 -哥Z2的最小值.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試一.如圖，在AA8C中.AB = AC, /為A43C的內(nèi)心，以A為圓心，A3為半徑作圓口，以/為圓心，為半徑作圓口，過點8的圓心與分別交于點P

2、,Q （不同于點B） .設(shè)/P與8。交于點 證明：BRLCR二.設(shè)數(shù)列包定義為4=1, = 12-，求滿足巴32。|7的正整數(shù),的個 口一“4 ，數(shù).三.將33x33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相鄰連個小方格的顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊，試求分隔邊條數(shù)的最小值.四,設(shè)7,均是大于1的整數(shù)，在，4,如，是個不超過 ?的互不相同的正整數(shù)，且2叫，”互素證明：對任意實數(shù)x,均存在一個使得血M之前工卜|,這里帆表 示實數(shù)y到與它最近的整數(shù)的距離.4.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試答案1.答案解：由條件知，/(3+ 14) = . I?) =/=),

3、所以/(-100) = /(-100 +14 x 7) = /(-2)=-/ log/ 22.答案：解：由于廠一1 Zcos.rI 1. 3 放了 JL 6卜I /-rbI X1I 1f由 COS可矢口，X- COS V-.K一一 (f+l)-222a c(有最小值1(這時y可以取三)：當(dāng)丫 = 時，、 心】因此當(dāng).丫 = |時,cos 有最大值人.I(這時y可以取汽),由于:(工十lf-1的值域是-1,6 + 1,從而x-cosy的取 值范圍是-L 6+1.3.答案:手.解，易知工(3,0),尸(0, 1).設(shè)P的坐標(biāo)是(3cos伍 而疑沖，9W 0, 1卜Sw，F(xiàn) = Sw I 煙而sin

4、。I JlNos。2其中 p - accian ) 當(dāng)=arctail10.即 9 g,I S】nJ=-ySin伊十中)而時，四邊形0T尸尸面積的最大值為士.答案：75.解：考慮平穩(wěn)激贏.若/ = 0,則。=1, CWO,1有2個平穩(wěn)數(shù).若占=1,則aWE,2,cW02，有2x3 = 6個平穩(wěn)數(shù).若力08,則%cWT,b+l,有7x3x3 = 63個平穩(wěn)數(shù).若b = 9,則%c8,9,有2x2 = 4個平穩(wěn)數(shù).綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是2 + 6 + 63 + 4 = 75.5.答案:10解：設(shè)工區(qū)尸。的中點分別為則易證平而月就是平面a.由中線 長公式知Af | JC-I T )242所以 KM

5、 =J/-W =3v510At/h又易知直線夕C在平面。上的射影是直線MK,而CW = 1, KC=5，所以Kf 4- MC - K（ cosZAA/C -2KM - XfC故棱尸C與平而Q所成角的余弦值為些.106.f 4答案：.解：易知K中有9個點，故在A中隨機取出三個點的 方式數(shù)為C； = 84種.將火中的點按右圖標(biāo)記為4,4,4，。，其中有g(shù) 對點之間的距離為右.由對稱性，考慮取44兩點的情 況，則剩下的一個點有7種取法，這樣有7x8 = 56個三點 組（不計每組中三點的次序）.對每個4 = 1,2,8）, K中恰有4卬4=兩點與之距離為 （這里下標(biāo)按模8理解），因而怡有14,4-3，

6、4-5$ # = 1,2,8）這8個三點組被計了兩次.從而滿足條件的三點組個4.04數(shù)為56-8 = 48,進(jìn)而所求概率為竺=二，84 77.答案：-1-1.解：由條件知，Af -AB-V AC, AN - - AB一一AC,故 2,44而疝-+珂萍+ ：可-;仲可+同-4M.可.由于 JT = S，1tBe = AB|, |.,C| sin A =|j| , |/4C|,所以 AZ?| - J( | - 4,進(jìn)一步可得。./o 一卜44岡cos/l - 2, 從而7m / L i 2 0可 7? .4瓦.工LAli JC AB-AC 6 . 1.41當(dāng)網(wǎng)=指 國=2 乂打時，石下的最小值為6

7、I.438.答案：13, 20.解：由條件可知：，2，4均為正整數(shù)，且(mod34i.另一方而，注意到q小,有554 34n, + 21q512匕，故S ! ?r/,V155 1當(dāng)打一 1時，分別化為/ _ 26(niod34). 4當(dāng)，無解.當(dāng)2時，分別化為4 52(mod34k 4cH，得到唯一的正整數(shù) % 18,比時 & 十 九- 20.當(dāng)“一3時，分別化為 78(mod34)./ ,得到唯一的正整數(shù) 55q 10,比時 4 + - 13.綜上所述，/+的所有可能值為13, 20.9.證明：令/(.丫)=/一日一加，x E a, b,則/(x) W-l, 1,于是f (a) = az -

8、 ka - m f(b) = h2-kb-m 一2 一4分由十一2x知，(a) + f -2 d等)w 4, 故b-ag2016分10.）解：由柯西不等式(七 + 3x, + 5.x3)(.r, +申 + ) 2 (百百 +=(x + x2 + x3 r = H當(dāng)七=1,七=0,均=0時不等式等號成立，故欲求的最小值為1.因為區(qū)+ 3x, + 5w）區(qū)+申+5）=* + 3- ，H - = Re(z；) = 2 . 因此Re(zRz)= Rex1 +y 1)(受 +”i)=天三 一”=+2)( + 2) 一乂必 2 (|片J； I + 2 - y必2 2 .又當(dāng)z： = Z2=近時，Re(vJ

9、 = 2.這表明，Re(z0)的最小值為2.5分(2)對k = I,2,將分對應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系xQy中的點弓(%,元),記g是 區(qū)關(guān)于x軸的對稱點，則尼耳均位于雙曲線。：-產(chǎn)=2的右支上.設(shè)席后分別是C的左、右焦點，易知”(一2,0),凡(2,0).根據(jù)雙曲線的定義，有憶月=忸月| + 2日,|繪| =.勾+ 20,進(jìn)而得|4+2| 一區(qū)+ 2卜區(qū)-2/=|4+ 2|+區(qū)+2卜卜司=|用|十|E司-忸司=4近十出國+ |次|-歸閭24歷， 15分 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)5位于線段8上(例如，當(dāng)4=Z2 = 2 + VIi時，片恰是 的中點).綜上可知，,+2|+ W + 2卜三一zj的最小值為4企

10、. 20分2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試答案證明：連接法 IC. J0+ PBPC.由于點。在腳匚上，故出=碌.所以/畋=/儂.乂&, / . P, 0 四點共圓，所以,N/QH = 1PBt 中是 IBQ = 1PB. 放 NRRsNRR.從而有N/R4N/5P.旦IB IP 7r7b1 注意到” 二 .“，且/為a46r的內(nèi)心故/6=/C.所以IC TP 7r7c 于是 3/C/s a/KC,故 ARC = 4cp.70分20分又點產(chǎn)缶隕IG的弧AC上.故尸c = ixcr-wZJ.因此乙BRC = 4RB 4 RC = ZAffF+Z/CP= 360 - N/C NAPC=36CT

11、( 00 +乙4)(1 KO* /SI=W.故 BRL CH .40分解；由數(shù)列的定義可知假設(shè)對某個整數(shù)廠22有q=一我們證明 對/ =1,r 有。.I =2r + f-l r + 2L 勺m =r-，r- alt2 =a, -(r + l) = 2r-(r-4-l) = r-1 + +21) =/-* + +2f = 2r + , r + 2z +1 r生力c =ri - (r + 2f+ 1) = 2r + /-(r + 2/ + l) = r-f-l r + 2/ + 2即結(jié)論對f + 1也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知.對所有，= 1.2.,廠-I成立，特別當(dāng) i = -1 時r 有=1 ,從而

12、= wSr_2 + (3/*-2) = 3r-1.若將所有滿足與 =廠的正整數(shù)，從小到大記為不小，則由上面的結(jié)論可知(=Lq = 2. 97=3與-,左=2,3,-“20 分由此可知.匚 1Jr I.h，從而由千公1* = 三4 人偶數(shù)均滿足與入其中的叫數(shù)比奇數(shù)少1個.因此滿足吃 r 33m 的正整數(shù)，的個數(shù)為l2017 -2018-1) =3刈 丁 201940分解：記分隔邊的條數(shù)為心.首先,將方格紙按如圖分成三個區(qū)域,分別染成三10分種顏色，粗線上均為分隔邊，此時共有56條分隔邊，即2 = 56.下面證明LN56.將方格紙的行從上至下依次記為.列從左至右 依次記為4,冬,，23.行4中方格

13、出現(xiàn)的顏色數(shù)記為“（4）列優(yōu)中方格出現(xiàn)的顏 色個數(shù)記為（耳）.三種顏色分別記為qgg.對于一種顏色匕，設(shè)）是含有c, 色方格的行數(shù)與列數(shù)之和.記 1ab A 2 J363 38 故/（c ）39, j = l,2,3.20分由于在行4中有（4）種顏色的方格,因此至少有（4）-1條分隔邊.同理在列 生中，至少有（耳）-1條分隔邊.于是/ 5-1) + 2 5(8 )-1) =| TOC o 1-5 h z = gs(4Hm8J)-66r=! 3=X (c, ) -66./ 30分下而分兩種情形討論.情形1：有一行或一列全部方格同色.不妨設(shè)有一行全為6色，從而方格紙的 33列中均含有q色的方格,由

14、于q色方格有363個,故至少有11行中含有q色方 格.于是(G)11 + 33 = 44.由，及即得L (。) + 力(6)+ n(cy) - 66 44 + 39 + 39 - 66 = 56 .40分情形2:沒有一行也沒有一列的全部方格同色.則對任意1433,均有“(492, n(B,)2.從而由知33L 22(4)+ (瓦)-66233x4-66=66)56.綜上所述，分隔條數(shù)的最小值等于56.50分證明：首先證明以下兩個結(jié)論.結(jié)論1 存在整數(shù)弓心,q ,滿足+仁4 += 1 ,并且|qKm，1 4 i 4 .由于,q） = l,由裴蜀定理，存在整數(shù)g，c?,q,滿足G4 +c2a2 + + c.a. = 1.下而證明.通過調(diào)整，存在一組G，q,滿足,且絕對值均不超過切.記Si（qg,。）=2，20,sgj，q）= 2 1,巨。如果S0,那么存在71,于是C1,又因為M均為正數(shù)，故由可知存在J0.令ci = q - a,，Cj =Cj + ,，ck k n k * i, j則c；q + c；/ + + can = 1 并且 0 4 /n 一 叫 V c： q, c, c； 5 & m .因為 G G 且 c； vm ,所以 SiG ,匕,c： ） cj 及c；o,故E（qq,qj4s2（G,q,、q）如