彈性力學(xué)之平面問題的極坐標(biāo)解答PPT

1、第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答第一節(jié) 極坐標(biāo)中的平衡微分方程第二節(jié) 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程第三節(jié) 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程第四節(jié) 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式第五節(jié) 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答第六節(jié) 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ诎斯?jié) 圓孔的孔口應(yīng)力集中第九節(jié) 半平面體在邊界上受集中力第十節(jié) 半平面體在邊界上受分布力例題第七節(jié) 壓力隧洞區(qū)別:直角坐標(biāo)中, x和y坐標(biāo)線都是直線,有 固定的方向, x 和y 的量綱均為L(zhǎng)。 極坐標(biāo)中, 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）和 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）在不同點(diǎn)有不同的方向;相同:兩者都是正交坐標(biāo)系。 直角坐標(biāo)(x,y)與極坐標(biāo) 比較： 坐標(biāo)線為直線, 坐標(biāo)線

2、為圓弧曲線; 的量綱為L(zhǎng), 的量綱為1。這些區(qū)別將引起彈性力學(xué)基本方程的區(qū)別。 對(duì)于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環(huán)向圍成的物體，宜用極坐標(biāo)求解。用極坐標(biāo)表示邊界簡(jiǎn)單，使邊界條件簡(jiǎn)化。應(yīng)用41 極坐標(biāo)中的平衡微分方程 在A內(nèi)任一點(diǎn)（ ， ）取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件。微分體-由夾角為 的兩徑向線和距離 為 的兩環(huán)向線圍成。兩 面不平行，夾角為 ；兩 面面積不等，分別為 ， 。 從原點(diǎn)出發(fā)為正， 從 x 軸向 y 軸方向 轉(zhuǎn)動(dòng)為正。注意：平衡條件：平衡條件考慮通過微分體形心 C 的 向及矩的平衡，列出3個(gè)平衡條件:注意： -通過形心C的力矩為0，當(dāng) 考慮到二階微量時(shí)，得-通過形心C的 向合力為

3、0，整理，略去三階微量，得同理，由 通過形心C的 向合力為0可得：極坐標(biāo)下的平衡微分方程： 幾何方程-表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。42 幾何方程及物理方程 極坐標(biāo)系中的幾何方程可以通過微元變形分析直接推得，也可以采用坐標(biāo)變換的方法得到。下面討論后一種方法。根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系，有注意：可求得根據(jù)張量的坐標(biāo)變換公式對(duì)平面問題：幾何方程由此可得比較可知 極坐標(biāo)中的物理方程 直角坐標(biāo)中的物理方程是代數(shù)方程，且 x 與 y 為正交， 故物理方程形式相似。物理方程 極坐標(biāo)中的物理方程也是代數(shù)方程,且與 為正交， 平面應(yīng)力問題的物理方程：物理方程 對(duì)于平面應(yīng)變問題，只須作如下同樣

4、變換， 邊界條件-應(yīng)用極坐標(biāo)時(shí)，彈性體的邊界面通常均為坐標(biāo)面，即：邊界條件故邊界條件形式簡(jiǎn)單。 以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于：43 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù) 與相容方程 1、 物理量的轉(zhuǎn)換; 2、從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo) 系中的方程。函數(shù)的變換：將式 或 代入，坐標(biāo)變量的變換：反之 1.從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換坐標(biāo)變換或矢量的變換：位移坐標(biāo)變換將對(duì) 的導(dǎo)數(shù)，變換為對(duì) 的導(dǎo)數(shù)： 可看成是 ，而 又是 的函數(shù)，即 是通過中間變量 ，為 的復(fù)合函數(shù)。有:坐標(biāo)變換導(dǎo)數(shù)的變換：而代入，即得一階導(dǎo)數(shù)的變換公式,一階導(dǎo)數(shù) ，。 展開即得： 二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從式(e) 導(dǎo)出。例如二

5、階導(dǎo)數(shù)拉普拉斯算子的變換：由式（f）得二階導(dǎo)數(shù)3.極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù) 表示可考慮幾種導(dǎo)出方法：2.極坐標(biāo)中的相容方程 從平衡微分方程直接導(dǎo)出（類似于 直角坐標(biāo)系中方法）。相容方程應(yīng)力公式(2) 應(yīng)用特殊關(guān)系式，即當(dāng)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)到與 軸重合時(shí)，有:(3) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）應(yīng)力公式(4) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)），而代入式 ( f ) ，得出 的公式。比較兩式的 的系數(shù)，便得出 的公式。應(yīng)力公式當(dāng)不計(jì)體力時(shí)應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)表示的公式應(yīng)力公式4.極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù) 求解，應(yīng)滿足：(1) A 內(nèi)相容方程 (2) 上的應(yīng)力邊界條件（設(shè)全部為應(yīng) 力邊界條件）。(3) 多連體中的位移單值條件。 按

6、求解 應(yīng)力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系：44 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式1、已知 ，求 。（含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件。取出一個(gè)包含x、y面(含 )和 面得同理，由得 類似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，得 應(yīng)用相似的方法，可得到2、已知 ，求3、可以用前面得到的求一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的公式推出。 也可以用應(yīng)力坐標(biāo)變換公式得到 軸對(duì)稱，即繞軸對(duì)稱，凡通過此軸的任何面均為對(duì)稱面。軸對(duì)稱應(yīng)力問題：45 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對(duì)稱應(yīng)力問題應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱- 僅為 的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對(duì)稱- 展開為 相應(yīng)的

7、應(yīng)力函數(shù) ，所以 應(yīng)力公式為：（1）相容方程的通解 這是一個(gè)典型的歐拉方程，引入變量 ，則 。則原方程變?yōu)?此方程解的形式為代入整理得特征方程為 由此可得應(yīng)力函數(shù)的通解為 （4-10） (2) 應(yīng)力通解：（4-11） 將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分， 應(yīng)變通解：將應(yīng)力代入物理方程，得 對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變 也為軸對(duì)稱。(4)求對(duì)應(yīng)的位移：分開變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F,將 代入第三式，由兩個(gè)常微分方程，其中代入 ，得軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，I，K為x、y向的剛體平移，H 為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。位移通解（4-12）說明（2）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，形變也是軸對(duì)稱 的,但位移不

8、是軸對(duì)稱的。（3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。（1）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，(4-10、11、12),為應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解，適用于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問題。說明(4) 軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數(shù)A、B及C。說明(5) 軸對(duì)稱應(yīng)力及位移的通解，可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的任何軸對(duì)稱問題。(6) 對(duì)于平面應(yīng)變問題，只須將 換為 圓環(huán)(平面應(yīng)力問題)和圓筒(平面應(yīng)變問題)受內(nèi)外均布?jí)毫Γ瑢儆谳S對(duì)稱應(yīng)力問題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問題的通解。 46 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫栴}問題邊界條件是邊界

9、條件 考察多連體中的位移單值條件： 圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中， 式(b)中的 條件是自然滿足的，而其余兩個(gè)條件還不足以完全確定應(yīng)力解答(a) 。 單值條件是一個(gè)多值函數(shù)：對(duì)于 和 是同一點(diǎn)，但式(c)卻得出兩個(gè)位移值。由于同一點(diǎn)的位移只能為單值，因此 B = 0。單值條件由B=0 和邊界條件 (b) ，便可得出拉梅解答，單值條件 (4-13) 解答的應(yīng)用：（1）只有內(nèi)壓力（2）只有內(nèi)壓力 且 ，成為 具有圓孔的無(wú)限大薄板（彈性體）。 （3）只有外壓力單值條件 單值條件的說明：（1）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就 是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性 條件）。（2）在連

10、續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都 應(yīng)為單值。單值條件 按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。 按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。 所以，按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。單值條件 對(duì)于單連體，通過校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足； 對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。47 壓力隧洞 本題是兩個(gè)圓筒的接觸問題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問題（平面應(yīng)變問題）。1.壓力隧洞-圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為壓力隧洞 因?yàn)椴环暇鶆蛐约?/p>

11、定，必須分別采用兩個(gè)軸對(duì)稱解答：圓筒無(wú)限大彈性體壓力隧洞應(yīng)考慮的條件：（1）位移單值條件：（2）圓筒內(nèi)邊界條件：（3）無(wú)限遠(yuǎn)處條件，由圣維南原理,壓力隧洞由（1）（4）條件，解出解答（書中式（4 -16）。（4） 的接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體 保持連續(xù)時(shí)，有壓力隧洞2.一般的接觸問題。 (1) 完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為：在s上 當(dāng)兩個(gè)彈性體 ，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件可分為幾種情況：接觸問題 (2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸：變形后在S上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在S上的接觸條件為 其中C為凝聚力。接觸問題 (4) 局部脫離：變形

12、后某一部分邊界上兩彈性體脫開，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開的邊界上，有 (3) 光滑接觸：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無(wú)摩阻力的光滑移動(dòng)，則在s上的接觸條件為 接觸問題 在工程上，有許多接觸問題的實(shí)際例子。如機(jī)械中軸與軸承的接觸，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸，壩體分縫處的接觸等等。一般在接觸邊界的各部分，常常有不同的接觸條件，難以用理論解表示。我們可以應(yīng)用有限單元法進(jìn)行仔細(xì)和深入的分析。接觸問題3. 有限值條件圖（a） 設(shè)圖（a）中半徑為r的圓盤受法向均布?jí)毫作用，試求其解答。有限值條件 引用軸對(duì)稱問題的解答，并考慮邊界 上的條件，上述問題還是難以得出解答。這時(shí)，我們可以考慮所謂有限值條件，

13、即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。而書中式(4-11)的應(yīng)力表達(dá)式中，當(dāng) 時(shí)， 和 中的第一、二項(xiàng)均趨于無(wú)限大，這是不可能的。按照有限值條件， 當(dāng) 時(shí)，必須有A=B=0。有限值條件 在彈性力學(xué)問題中，我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理?xiàng)l件后，建立基本方程及其邊界條件來(lái)進(jìn)行求解的。一般地說，單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的，但是這些條件常常是自然滿足的。而在下列的情形下須要進(jìn)行校核： (1)按應(yīng)力求解時(shí)，多連體中的位移單值條件。有限值條件 在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù)，從而縮小求解函數(shù)的范圍，然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解

14、。 (2)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí)， 和 ，或 處的應(yīng)力的有限值條件(因?yàn)檎⒇?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無(wú)限大)。有限值條件 工程結(jié)構(gòu)中常開設(shè)孔口最簡(jiǎn)單的為圓孔。 本節(jié)研究小孔口問題，應(yīng)符合（1）孔口尺寸彈性體尺寸，孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。48 圓孔的孔口應(yīng)力集中小孔口問題（2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。 當(dāng)彈性體開孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。小孔口問題1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q， 圖(a)。雙向受拉內(nèi)邊界條件為，將外邊界改造成為圓邊界，作則有利用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答，取且Rr，得應(yīng)力解答：雙向受拉（4-17）2. 帶小圓孔的矩形板， x, y向

15、分別受拉壓力 ，圖(b)。所以應(yīng)力集中系數(shù)為2。內(nèi)邊界條件為最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊，作 圓，求出外邊界條件為雙向受拉壓 應(yīng)用半逆解法求解（非軸對(duì)稱問題）:由邊界條件， 假設(shè)代入相容方程，由 關(guān)系，假設(shè) ，所以設(shè)雙向受拉壓除去 ，為典型歐拉方程，通過與前面45相同的處理方式，可以得解然后代回式（d),即可求出應(yīng)力。雙向受拉壓校核邊界條件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D，得應(yīng)力解答：在孔邊 ， ，最大、最小應(yīng)力為 ，應(yīng)力集中系數(shù)為 。雙向受拉壓（4-18）3.帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。單向受拉應(yīng)用圖示疊加原理（此時(shí)令 ）得應(yīng)力解答:單向受拉（4-19） 討論：（1）孔邊應(yīng)力， 最大應(yīng)力 3q ，最小應(yīng)力-q。單向受拉（2) y軸 上應(yīng)力，可見，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)5%。單向受拉（3） x 軸 上應(yīng)力，同樣，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)遠(yuǎn)處的應(yīng)力，孔口附近應(yīng)力無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。（2）局部性-應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般 。410 半平面體在邊界 上受分布力當(dāng)半平面體表面有分布荷載 作用 時(shí)，其應(yīng)力和位移解