人教A版高中數(shù)學(xué)高三一輪第八章平面解析幾何8.8曲線與方程考向歸納

1、第八章平面解析幾何8.8曲線與方程考向歸納考向1直接法求軌跡方程.已知點F(0,1),直線l：y=1,P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q,且QpQf=fpfQ,則動點p的軌跡c的方程為()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x【解析】設(shè)點P(x,y),則Q(x,1).QPQf=fPfQ,.(0,y+1)(-x,2)=(x,y1)(x,2),即2(y+1)=x22(y1),整理得x2=4y,，動點P的軌跡C的方程為x2=4y.故選A.【答案】A2.已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.求動圓圓心的軌跡C的方程.【解】如圖，設(shè)動圓圓心為Oi(x,

2、y),由題意，得|0iA|=|0iM|.當O1不在y軸上時，過Oi作OiHMN交MN于H,則H是MN的中點，|OiM|=.x2+42,又|OiA|=4x42+y2,7x-42+y2=、x2+42.化簡得y2=8x(xW0)當Oi在y軸上時，Oi與。重合，點Oi的坐標為(0,0)也滿足方程y2=8x,，動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.廠|規(guī)律方法|利用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵和注意點.利用直接法求解軌跡方程的關(guān)鍵是根據(jù)條件準確列出方程，然后進行化簡.運用直接法應(yīng)注意的問題(1)在用直接法求軌跡方程時，在化簡的過程中，有時破壞了方程的同解性，此時就要補上遺漏的點或刪除多余的點，這是不能忽視的.(

3、2)若方程的化簡過程是恒等變形，則最后的驗證可以省略.考向2定義法求軌跡方程(1)4ABC的頂點A(5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點C的軌跡方程是.(2)已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y2)2=1外切，圓C的圓心軌跡為L,設(shè)L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n.求圓C的圓心軌跡L的方程；求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程.【解析】(1)由題意知|CA|CB|=63).【答案】9A=1(x3)916(2)設(shè)圓x2+(y+4)2=1的圓心O(0,4),圓x2+(y2)2=1的圓心O(02)圓C的半徑為

4、r,由題意知，|CO|=r+1,|COMr+1,從而|CO|=|CO,I所以l為線段。的垂直平分線，l的方程為y=-1.由m=n知，動點M到定點F和定直線l的距離相等.由拋物線的定義知，動點M的軌跡Q是以點F(0,1)為焦點，以直線y=1為準線的拋物線，且p=2,從而軌跡Q的方程為x2=4y.廠I規(guī)律方法|定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵.適用條件動點與定點、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.關(guān)鍵定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義.提醒：弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.如圖所示，已知C為圓(x+我)2+y2=4的圓心，點A單

5、,0),P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在的直線上，且MQAP=0,aP=2AM.當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程.【解】圓(x+/)2+=4的圓心為C(-y2,0),半徑r=2,f-T一.T.MQAP=0,AP=2AM,.MQAP,點M為AP的中點，即QM垂直平分AP.連結(jié)AQ,則|AQ|=|QP|,|QC|-|QA|=|QC|-|QP|=|CP|=r=2.又|AC|=2位2,根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是以C(-V2,0),A(V2,0)為焦點,實軸長為2的雙曲線，由c=出，a=1,得b2=1,因此點Q的軌跡方程為x2-y2=1.考向3相關(guān)點(代入)法求軌跡方程(1)已知長為1+山

6、的線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點,且洋=岑前,則點P的軌跡方程為.(2)設(shè)直線xy=4a與拋物線y2=4ax交于兩點A,B(a為定值)，C為拋物線上任意一點，求ABC的重心的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)A(a,0),B(0,b),P(x,y),則AP=(xa, y),PB=(-x,b- y),由AP=(x-a, y)等(x,x a =,22xb-y，_2+V2所以2Wy,)b=r(2又a2+b2=3+2/2,所以x2+y2=1.22【答案】尹y2=1(2)設(shè) ABC的重心為G(x, y),點 C 的坐標為(xo, y), A(xi, yi), B(x2, y2).

7、由方程組x y = 4a, |y2= 4ax,消去y并整理得x212ax+16a2=0.x1 + x2= 12a,yi + y2= (x1 一 4a) 十 (x2 4a) = (x1 + x2) 8a = 4a. G(x, y)為 ABC 的重心，x=y=xo+ x1+ x23=yo+ y + y2 _3=xo+ 12a3，yo+ 4a 3xo=3x12a,yo=3y4a.又點C(xo,yo)在拋物線上，將點C的坐標代入拋物線的方程得2(3y-4a)=4a(3x-12a),即(一?)=9(x-4a1又點C與A,B不重合，.二xw(6班)a,.ABC的重心的軌跡方程為%4L2=43a(x4a)(xw(6班)a).T規(guī)律方法|相關(guān)點(代入)法的基本步驟1.設(shè)點：設(shè)被動點坐標為(x,y),主動點坐標為(x1，y1).2.求關(guān)系式：求出兩個動點坐標之間的關(guān)系式y(tǒng)1=g x, yx1=fx,3.代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程.變式訓(xùn)練1.P是橢圓x2+y2=1(ab0)上的任意一點，abF1,F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，有一動點Q滿足OQ=P?i+P?2,則動點Q的軌跡方程是.【解析】由題意知Fi(-c,0),F2(c,0),設(shè)P(xo,Yo),Q(x,v