[教學(xué)設(shè)計(jì)]尺規(guī)作圖

1、初中幾何 第二冊(cè) 第三章第三單元 尺規(guī)作圖教法建議【拋磚引玉】本單元要向同學(xué)們介紹尺規(guī)作圖，何謂尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)來(lái)畫圖，稱為尺規(guī)作圖最基本，最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖在平面幾何的學(xué)習(xí)中和工程繪圖中，經(jīng)常應(yīng)用因而，在教學(xué)中，首先復(fù)習(xí)幾何第一章中學(xué)過的作一條線段等于已知線段，用尺規(guī)法畫圖十分方便，免去了度量，準(zhǔn)確度更高些，以激發(fā)他（她）們的興趣在此基礎(chǔ)上先后引入“作一個(gè)角等于已知角”和“平分已知角”首先分析標(biāo)題，通過分析命題，分清已知什么，求作什么，才能畫出已知條件，寫好已知、求作在講解作法時(shí)，最好邊畫圖邊敘述，然后讓學(xué)生說(shuō)明作法的正確性，再寫出作法，證明（

2、或引導(dǎo)學(xué)生寫證明），講完后要反復(fù)練習(xí)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，及時(shí)糾正，防患未然，在練中學(xué)，在學(xué)中練，以便切實(shí)掌握作圖方法，并且從課本中給出的銳角推廣到直角和鈍角，仍然能掌握它們的作圖方法并會(huì)證明通過前兩個(gè)基本作圖的學(xué)習(xí)，再繼續(xù)講授“經(jīng)過已知點(diǎn)作已知直線的垂線”和“作線段的垂直平分線”對(duì)于“經(jīng)過已知點(diǎn)作已知直線的垂線”應(yīng)分兩種情況：已知點(diǎn)在直線上或已知點(diǎn)在直線外，兩種情況缺一不可對(duì)于已知點(diǎn)在直線外的情況，證明略去，在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)證一下，這樣可使學(xué)生確信作圖的正確性，另一方面也可以復(fù)習(xí)鞏固證明三角形全等的方法，這樣新舊知識(shí)交叉，互相滲透，相輔相成，將收到較好的教學(xué)效果在學(xué)好練好，掌握好五種（初一學(xué)過的

3、一種）基本作圖的基礎(chǔ)上，再介紹其應(yīng)用即什么是幾何作圖以及幾何作圖的一般步驟在教學(xué)中，要說(shuō)明幾何作圖與一般畫圖不同，它嚴(yán)格規(guī)定只準(zhǔn)用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)為工具，而且每一步作圖都必須有根有據(jù)，不能隨便畫比較復(fù)雜的作圖，要經(jīng)過嚴(yán)格分析，才能找到作圖的依據(jù)和方法教學(xué)中對(duì)比較復(fù)雜的作圖不要涉及，只要求學(xué)生掌握經(jīng)過簡(jiǎn)單分析就可以作出的題目，如求作出三角形，會(huì)寫出最簡(jiǎn)單的幾何作圖的已知、求作、作法即可并通過實(shí)例、習(xí)題的教學(xué)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)幾何作圖的三個(gè)步驟在敘述作法中，不需要重述基本作圖過程【指點(diǎn)迷津】四種基本作圖是本單元學(xué)習(xí)主要內(nèi)容，尤其對(duì)前兩種更是重中之重因而，在學(xué)習(xí)中一定要準(zhǔn)確地使用作圖工具畫出符合要求

4、的正確圖形，每一步畫圖都要有根有據(jù)準(zhǔn)確精練的幾何語(yǔ)言，同學(xué)們敘述起來(lái)比較困難，為此，教學(xué)中可分步進(jìn)行一、教師邊作圖邊用語(yǔ)言敘述作法，讓學(xué)生聽懂；二、教師敘述作法，讓學(xué)生作圖；三、教師畫圖學(xué)生敘述作法、交錯(cuò)進(jìn)行，反復(fù)練習(xí)，最后再要求學(xué)生自己作圖，寫作法學(xué)過基本作圖后，遇有屬于基本作圖的地方，寫作法時(shí)，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只用一句話概括敘述就可以了與此同時(shí)，畫圖的方法更多了，如沒有特別指出，可以選用任何一種你認(rèn)為方便的方法畫圖二、學(xué)海導(dǎo)航【思維基礎(chǔ)】回答下列問題：1在幾何里把了限定用直尺和圖規(guī)來(lái)畫圖，稱為 ，最基本，最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖2基本作圖包括：（i）作一個(gè)角等于 ；（ii）

5、平分 ；（iii）經(jīng)過一點(diǎn) ；（iv）作線段的 第一章學(xué)過的作一條線段等于 3 于一條線段并且 這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，或中垂線【學(xué)法指要】 例1已知：直線AB及直線AB外一點(diǎn)C 求作：過點(diǎn)C作CDAB（畫出圖形，不寫作法，保留作圖痕跡） 思路分析：假設(shè)符合條件的圖形已作出（如左圖），那么直線CD過點(diǎn)C，且CDAB符合條件我們從左圖可知：FCD=FEBAEC=DCECDAB 反之，只要FCD=FEB或DCE=AEC，那么CDAB這時(shí)就將問題轉(zhuǎn)化為“作一個(gè)角等于已知角”的基本作圖上來(lái)因?yàn)橹本€AB和點(diǎn)C是固定的，所以FEB與AEC均是固定的另要作FCD=FEB或DCE=AEC即可

6、于是便得到如下兩種畫法：過C作ECF與AB交于點(diǎn)E，作FCD=FEB或DCE=AEC，得如下兩圖，均符合條件（作圖痕跡略） 例2如圖，已知平角AOB，試用直尺和圓規(guī)將平角AOB三等分（不寫已知，求作，畫法，保留作圖痕跡）思路分析1：已知角AOB為平角，AOB=180，要把AOB三等分，那么它三等分的每一個(gè)角是60，由60這一特殊角度，引起我們構(gòu)造兩個(gè)等邊三角形，即以O(shè)A，OB分邊作等邊三角形，問題就解決，也就找到作法，如左圖（作圖痕跡略）思路分析2：由思路1的分析，啟發(fā)我們又有多種思路可以找到如上作圖，當(dāng)作出等邊三角形AOC后，因BOC=120，再作BOC的平分線即可或作出等邊AOC后，再作C

7、OD=AOC（或COD=CAO或COA）即可或作出等邊AOC后，再作BOD=OAC即可于是又可找到三種作法，畫圖如下：（作圖痕跡略） （作COB的平分線） （作COD=AOC） （作BOD=OAC）這就是將求作的問題轉(zhuǎn)化為基本作圖平分已知角，而中圖與右圖又將問題轉(zhuǎn)化為基本作圖而作一個(gè)角等于已知角可見，必須熟悉基本作圖，才有利于打開作圖題的思路，望同學(xué)們一定要掌握好五種基本作圖，遇到有關(guān)作圖問題才能得心應(yīng)手例3已知：線段a，s，s2a 求作：等腰三角形，使它的底邊等于a，周長(zhǎng)等于s（作圖痕跡略）思路分析：本例要作的等腰三角形已知底邊a，周長(zhǎng)為s，關(guān)鍵是知道等腰三角形的腰長(zhǎng)因?yàn)榈妊切蝺裳嗟龋?/p>

8、現(xiàn)又知兩腰之和為(sa)所以將線段(sa)平分即可求出等腰三角形腰長(zhǎng)為 (sa)那么等腰三角形的三邊為a， (sa)， (sa)便知道，仿課本P38知道三邊畫三角形方法即可畫出符合要求的等腰三角形作法：（如前頁(yè)圖） （i）在線段AD(AD=s)上用圓規(guī)截取AB=a； （ii）作線段BD(BD=sa)的中垂線L與BD交于點(diǎn)O； （iii）以AB(AB=a)為底，BD(BD= (sa)為腰作等腰三角形ABC即為所求證明：由作圖可知：AB=a，AC=BC=BO= (sa)，AB+AC+BC=a+ (sa)+ (sa)=s故所求作的等腰三角形符合要求例4已知斜邊，求作一銳角為15的直角三角形 已知：線

9、段c求作：直角三角形，并使斜邊為c一銳角為15（作圖痕跡略）思路分析：本例要作Rt，知道斜邊及直角，是沒法作出這樣的三角形必須知道15的角才能作出符合條件的三角形如何作出15的角呢？我們可以發(fā)現(xiàn)15角是60角的四分之一由60角又啟發(fā)我們作等邊三角形，便出現(xiàn)60角再把60角四等分，便得出15角，問題便解決了得作法如下：i）作出15角（BAD=15），作AB=c；ii）作BAD=BAD=15；iii）過點(diǎn)B作AD的垂線BC交AD于C點(diǎn)則ABC為所求作的Rt本例在探索15角時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為“平分已知角(60)”問題，進(jìn)而又得出“作一個(gè)角等于已知角(15)”最后又用到“經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線”，使問

10、題圓滿解決一道問題用到三種基本作圖，才把思路打開如果對(duì)基本作圖不十分熟悉，是很難找到思路的只有對(duì)基本作圖熟練駕馭，遇到陌生問題，才能借助基本作圖這位“向?qū)А闭业剿悸贰舅季S體操】例作已知銳角的平分線（不要求寫已知，求作，作法，以下各題要求相同，保留作圖痕跡）擴(kuò)散一：作已知直角的平分線擴(kuò)散二：作22.5的角擴(kuò)散四：作已知鈍角的平分線擴(kuò)散五：如圖，將已知角四等分?jǐn)U散六：作15的角擴(kuò)散七：如圖，作ABC的A，B，C的平分線擴(kuò)散八：如圖，已知公路AB和CD，準(zhǔn)備在兩公路間修一條高速公路，與兩公路始終保持等距，試畫出高速公路示意圖由擴(kuò)散一擴(kuò)散八，試題進(jìn)引各種變化，但歸根結(jié)底，卻又回歸到基本作圖平分已知角，

11、所以在學(xué)習(xí)中一定要抓住基本作圖的“精髓”，才能進(jìn)一步的深化與提高，才能把較復(fù)雜的作圖題轉(zhuǎn)化到基本作圖上來(lái)，從而打開思路三、智能顯示【心中有數(shù)】本單元向同學(xué)們介紹了什么是尺規(guī)作圖，并能夠用尺規(guī)完成下列基本作圖：（1）作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線，過已知點(diǎn)作已知直線的垂線能用五種基本作圖作三角形：已知三邊作三角形，已知兩邊及其夾角作三角形，已知兩角及其夾邊作三角形，已知底邊及底邊上的高作等腰三角形，已知一直角邊及斜邊作直角三角形等了解尺規(guī)作圖的一般步驟，會(huì)寫出已知，求作，作法通過基本作圖練習(xí)，并能解決生產(chǎn)、生活中的一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并能將一些較復(fù)雜

12、的作圖題轉(zhuǎn)化為基本作圖題去解決學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的方法，學(xué)會(huì)基本作圖的方法，以適應(yīng)社會(huì)的需求【動(dòng)腦動(dòng)手】1如圖l為一段直的河岸，A，B是河岸同側(cè)的兩個(gè)村莊，在河岸l上修建一個(gè)水泵站C，分別向A，B兩個(gè)村抽水，這個(gè)水泵站應(yīng)建在什么位置，可使水泵站到兩個(gè)村莊距離相等？請(qǐng)問圓規(guī)和直尺在圖中作出滿足條件的水泵站C的位置（不寫作法，證明，保留作圖痕跡）2如圖，某鐵路MN與公路PQ相交于點(diǎn)O，且交角為90某倉(cāng)庫(kù)G在A區(qū)，到鐵路，公路的距離相等（即G點(diǎn)在NOQ的平分線上），且到公路與鐵路的相交點(diǎn)O的距離為200m，（1）在圖上標(biāo)出倉(cāng)庫(kù)G的位置（比例R，1 : 10000）用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）；（2）求

13、出倉(cāng)庫(kù)G到鐵路的實(shí)際距離3如圖，A，B，C三點(diǎn)表示某平原的三個(gè)村莊，要建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播站，使它到三個(gè)村莊的距離相等，求作電視轉(zhuǎn)播站的位置P（要求：用尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不寫作法） 4已知：線段a 求作：ABC，使ACB=90，AB=a，并且A=30（要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡，不必寫作法與證明）5如圖，請(qǐng)作出由A地經(jīng)過B地去河邊l的最短路線（要求：用尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不寫作法）1參考答案：（作圖痕跡略）點(diǎn)C為水泵站位置2（1）200m=200cm圖距為：200002(cm)即OG2cm如圖，G為倉(cāng)庫(kù)位置（2）自G作GBMN，垂足為B點(diǎn)（這里不要求用尺規(guī)作）依題設(shè)知OBG為等腰直角

14、三角形OG200m2GB2=2002 GB200GB100 (m)答：倉(cāng)庫(kù)到鐵路的實(shí)際距離為100m4 以上三圖中的ABC均符合條件，都為所求作的三角形如圖，線段AB與BP即為所求【創(chuàng)新園地】1已知：線段a，c和角，用圓規(guī)和直尺作出ABC，使ABc，BCa，ABC（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）2已知：線段a和 求作：直角三角形ABC，使C90，BCa，B（要求：不寫作法，每步都要用尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡）3已知：線段m和 求作：等腰ABC，使頂角A2，腰ABm（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫出作法和證明）4已知：，和線段a 求作：ABC，使B =，C，BC=a（要求：不要寫作法及證明

15、，要用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）四、同 步 題 庫(kù)填空題1.（1）尺規(guī)作圖是指用 來(lái)畫圖.（2）基本作圖包括： ； ； ； ； ；它們是幾何作圖的 .（3）最基本的幾何作圖語(yǔ)句有：過點(diǎn) ，點(diǎn) ，作直線 或作直線 ；連結(jié)兩點(diǎn) ， 或連結(jié) .延長(zhǎng) 到點(diǎn) ，使 = .在 上截取 = ；以點(diǎn)為 為圓心， ，為半徑作弧，交 于點(diǎn) ；分別以點(diǎn) 點(diǎn) 為圓心；以 ， 為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) .一般幾何作圖應(yīng)有下面幾個(gè)步驟： ；目前我們只要求寫出 三個(gè)步驟.2.用尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）作出ABC的AB邊的中點(diǎn)D，再作出DEBC交AC于點(diǎn)E.（如圖1-3-17）3.已知斜邊，一銳角，作直角三角形.4

16、.已知ABC，求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB，AC的距離相等，且到邊AC的兩端點(diǎn)距離相等. 圖1-3-17 圖1-3-185.如圖1-3-18，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到OA，OB的距離相等.（注35尺為尺規(guī)作圖）6.已知：線段a、b，求作以a為底，以b為底邊上的高的等腰三角形（要求用圓規(guī)和直尺作圖，不必寫出作法和證明，但必須保留作圖痕跡.7.如圖1-3-19，A，B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A，B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A，B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最

17、省，并求出鋪設(shè)水管總費(fèi)用F. 圖1-3-198.已知：如圖1-3-20，直線MN和線段AB.求作：線段AB關(guān)于直線MN的對(duì)稱線段AB（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）.9.要求用尺規(guī)作圖，寫出作法，保留作圖痕跡，不證明.已知二邊和夾角作三角形.10.已知線段AB，求作以線段AB為斜邊的等腰直角三角形ABC（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.11.如圖1-3-21，一塊三角形ABC，陰影部分已破損.（1）只要從殘留的玻璃片中度量出哪些邊，角，就可以不帶殘留的玻璃片到店鋪加工一塊與原來(lái)玻璃片ABC的形狀和大小完全相同的玻璃片ABC，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.（2）用（1）中度量的邊，角作ABC（要求尺

18、規(guī)作圖，保留作圖痕跡）.12.用尺規(guī)作圖，已知兩邊及第三邊上的高求作三角形. 圖1-3-20 圖1-3-21參 考 答 案同步題庫(kù)1.（2）直尺和圓規(guī)；（2）作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角，作一條射線平分已知角；過一點(diǎn)作已知直線的垂線，作線段的垂直平分線；依據(jù)（3）A，A，AB，BA；A，B，AB；AB，E，AB，BE；OA，OM，a；O，OD，OA，D；D，E，OD，OE，C；尺規(guī)作圖，基本作圖.2.如圖1-3-273.已知：，線段m.求作：RtABC,使A=，斜邊AB=m.作法：（1）作線段AB=m （2）以A為頂點(diǎn)作BAO= （3）過點(diǎn)B過AO的垂線BC，BC交AO于C.ABC即為所求. 圖1-3-27 圖1-3-28 圖1-3-294.已知：ABC（如圖1-3-30）.求作：點(diǎn)P，使PA=PC，且點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等.作法：（1）作線段AC的垂直平分線MN；（2）作BAC的平分線AO，AO交MN于P.點(diǎn)P即為所求. 圖1-3-30 圖1-3-315.已知：AOB及直線MN（如圖1-3-31）.求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在直線MN上，且點(diǎn)P到OA，OB距離相等.作法：作AOB的平分線OE交