4h第四章-常用概率分布課件

1、第四章 常用概率分布 二項分布二項分布的概念與特征 一個袋子里有5個乒乓球，其中2個黃球，3個白球，我們進(jìn)行摸球游戲，每一次摸到黃球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，這個實驗有三個特點：一是各次摸球是彼此獨立的；二是每次摸球只有二種可能的結(jié)果，或黃球或白球；三是每次摸到黃球（或摸到白球）的概率是固定的。具備這三點， n次中有X次摸到黃球（或白球）的概率分布就是二項分布。 二項分布 例4-1 用針灸治療頭痛，假定結(jié)果不是有效就是無效，每一例有效的概率為，。某醫(yī)生用此方法治療頭痛患者5例，3例有效的概率是多少？ 因為每例有效的概率相同，且各例的治療結(jié)果彼此獨立，5例患者中可以是其中的任意3例

2、有效 二項分布 醫(yī)學(xué)研究中很多現(xiàn)象觀察結(jié)果是以兩分類變量來表示的，如陽性與陰性、治愈與未愈、生存與死亡等等。如果每個觀察對象陽性結(jié)果的發(fā)生概率均為，陰性結(jié)果的發(fā)生概率均為（1）；而且各個觀察對象的結(jié)果是相互獨立的，那么，重復(fù)觀察n個人，發(fā)生陽性結(jié)果的次人數(shù)X的概率分布為二項分布，記作B（X；n，）。 二項分布二項分布的概率函數(shù)P(X)可用公式（4-1）來計算。 二項分布例4-2 臨床上用針灸治療某型頭痛，有效的概率為60%，現(xiàn)以該法治療3例，其中兩例有效的概率是多大？二項分布表4-1 治療3例可能的有效例數(shù)及其概率 有效人數(shù)(x)x(1)n-x出現(xiàn)該結(jié)果概率P(x)010.60=10.40.4

3、0.40.064130.60.40.40.288230.60.60.40.432310.60.60.60.400.216二項分布由表4-1可知,各種可能結(jié)果出現(xiàn)的概率合計為1，即P(X)=1（X=0,1,n）。因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是P(x1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=1P（0）=10.064=0.936也可以是P(x1)=1P(0)=10.064=0.936二項分布二項分布的特征二項分布的圖形特征 接近0.5時，圖形是對稱的；圖4-1 離0.5愈遠(yuǎn)，對稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對稱。圖4-2 當(dāng)n時，只要不太靠近0或1， 當(dāng)nP

4、和n(1P)都大于5時，二項分布近似于正態(tài)分布。 二項分布圖形取決于與n，高峰=n處二項分布圖4-1 =0.5時,不同n值對應(yīng)的二項分布 二項分布圖4-2 =0.3時, 不同n值對應(yīng)的二項分布 二項分布二項分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 總體均數(shù)：方差：標(biāo)準(zhǔn)差： 二項分布如果將出現(xiàn)陽性結(jié)果的頻率記為總體均數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差： 二項分布例4-4 研究者隨機抽查某地150人，其中有10人感染了鉤蟲，鉤蟲感染率為6.7%，求此率的抽樣誤差。二項分布二項分布的應(yīng)用（一）概率估計 例4-5 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當(dāng)?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大？從n=150，=0.13的二項分布，由公式（4-1

5、）和（4-2）二項分布可以得出150人中有10人感染鉤蟲的概率為二項分布單側(cè)累積概率計算二項分布出現(xiàn)陽性的次數(shù)至多為k次的概率為出現(xiàn)陽性的次數(shù)至少為k次的概率為二項分布例4-6 例4-5中某地鉤蟲感染率為13%，隨機抽查當(dāng)?shù)?50人，其中至多有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有20名感染鉤蟲的概率有多大？二項分布根據(jù)公式（4-10）至多有2名感染鉤蟲的概率為至少有2名感染鉤蟲的概率為 二項分布至少有20名感染鉤蟲的概率為 Poisson分布Poisson分布的概念 Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。醫(yī)學(xué)上人群中出生缺陷、多胞

6、胎、染色體異常等事件等都是罕見的，可能發(fā)生這些事件的觀察例數(shù)n常常很大 ，但實際上發(fā)生類似事件的數(shù)目卻很小很小。 Poisson分布Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率（或未發(fā)生的概率1）很小，而觀察例數(shù)n很大時的二項分布。除二項分布的三個基本條以外，Poisson分布還要求或（1）接近于0或1（例如0.999）。 Poisson分布Poisson分布的特征Poisson分布的概率函數(shù)為 式中， 為Poisson分布的總體均數(shù)，X為觀察單位內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；e為自然對數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828。 Poisson分布由圖4-3可以看到Poisson分布當(dāng)總體均數(shù)值小于5時為偏峰

7、，愈小分布愈偏，隨著增大，分布趨向?qū)ΨQ。Poisson分布有以下特性：（1）Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等,均為 （2）Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性 Poisson分布圖4-3 取不同值時的Poisson分布圖 Poisson分布Poisson分布的應(yīng)用（一）概率估計例4-7 如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率為8，那么該地120名新生兒中有4人患先天性心臟病的概率有多大？ =n=1200.008=0.96 Poisson分布單側(cè)累計概率計算如果稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體均數(shù)為，那么該稀有事件發(fā)生次數(shù)至多為k次的概率 發(fā)生次數(shù)至少為k次的概率 Poisson分布例4-8 例4

8、-7中，至多有4人患先天性心臟病的概率有多大？至少有人患先天性心臟病的概率有多大？至多有4人患先天性心臟病的概率至少有人患先天性心臟病的概率為 Poisson分布例4-9 實驗顯示某100cm2的培養(yǎng)皿平均菌落數(shù)為6個，試估計該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于3個的概率，大于1個的概率。該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于3個的概率菌落數(shù)大于1個的概率為 正態(tài)分布正態(tài)分布的概念正態(tài)曲線(normal curve)是一條高峰位于中央，兩側(cè)逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交的鐘型曲線該曲線表現(xiàn)為中間高，兩邊低，左右對稱，略顯鐘形，類似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線。因為頻率的總和等于1，故橫軸上曲線下的面積等于1。 正態(tài)分布圖4

9、-4 體模“骨密度”測量值的分布接近正態(tài)分布示意圖（頻率密度=頻率/組距）正態(tài)分布正態(tài)概率密度曲線的位置與形狀具有如下特點 （1）關(guān)于x= 對稱。（2）在x=處取得該概率密度函數(shù)的最大值，在 處有拐點，表現(xiàn)為鐘形曲線。 （3）曲線下面積為1。 （4）決定曲線在橫軸上的位置，增大，曲線沿橫軸向右移；反之,減小，曲線沿橫軸向左移。 （5）決定曲線的形狀，當(dāng)恒定時，越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越“矮胖；越小, 數(shù)據(jù)越集中，曲線越瘦高。見圖4-5。 正態(tài)分布 u1 u2 u3不同均數(shù)正態(tài)分布不同標(biāo)準(zhǔn)差正態(tài)分布對任意一個服從正態(tài)分布 的隨機變量，可作如下的標(biāo)準(zhǔn)化變換，也稱Z變換,Z服從總體均數(shù)為0、總體標(biāo)準(zhǔn)差

10、為1的正態(tài)分布。我們稱此正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)，用N(0.1)表示。 正態(tài)分布統(tǒng)計學(xué)家編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積分布表（附表1），因為正態(tài)分布兩邊對稱，所以只給出Z取負(fù)值的情況。 表內(nèi)所列數(shù)據(jù)表示Z取不同值時標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，此值大小相當(dāng)于Z值左側(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積，記作 。 正態(tài)分布例4-9 已知X服從均數(shù)為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，試估計：X取值在區(qū)間 上的概率： X取值在區(qū)間 上的概率。 正態(tài)分布查附表1， 。 因為曲線下兩側(cè)面積對稱，區(qū)間（1.96，）相應(yīng)面積也是0.025，故Z取值于（1.96，1.96）的概率為1-2

11、0.025=0.95，即取值在區(qū)間上的概率為0.95。 同理,我們可以求出X取值在 區(qū)間上的概率為0.99。 正態(tài)分布正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律 -3 -2 - - -2 -368.27%95.44%99.74%正態(tài)分布z(z)正態(tài)分布1.961.960.0250.025正態(tài)分布1.46-1.460.070.07圖4-9 例4-10示意圖正態(tài)分布例4-11 某地1986年120名8歲男孩身高均數(shù)為 =123.02cm ，標(biāo)準(zhǔn)差為S=4.79cm，試估計(1)該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比(2)身高在120cm128cm者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比;(3)該地80%的

12、男孩身高集中在哪個范圍？ 正態(tài)分布求Z值:查表:理論上該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的7.21%。 正態(tài)分布先計算120 和128所對應(yīng)的Z值:正態(tài)曲線下區(qū)間（0.63，1.04）上的面積等于 正態(tài)分布查附表1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為0.10所對應(yīng)的Z值為1.28，80%的8歲男孩身高集中在 區(qū)間內(nèi)，即116.9cm與129.2cm之間。 正態(tài)分布正態(tài)分布的應(yīng)用（一）確定醫(yī)學(xué)參考值范圍醫(yī)學(xué)參考值范圍(reference ranges):是指特定的“正?！比巳簲?shù)據(jù)中大多數(shù)個體的取值所在的范圍。人們習(xí)慣用該人群95%的個體某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)的取值范圍作為該指標(biāo)的醫(yī)學(xué)參考值范圍。 正態(tài)分布確定醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法有兩種：（1）百分位數(shù)法:適用于