3.2用數(shù)學歸納法證明不等式、貝努利不等式課件

1、新課導入回顧舊知數(shù)學歸納法的步驟：(1)證明當n=n0時命題成立；(2)假設當n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.3.2用數(shù)學歸納法證明不等式 貝努利不等式教學目標知識與能力 會運用數(shù)學歸納法證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努力不等式).過程與方法 通過例題的學習，能夠證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努力不等式).情感態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力和嚴謹?shù)膽B(tài)度.教學重難點重點難點 會運用數(shù)學歸納法證明含有任意正整數(shù)n的不等式(包括貝努利不等式).靈活運用數(shù)學歸納法例1 觀察下面兩個數(shù)列，從第幾項起an 始終小于bn？證明你的結論.an=n2:1,4,9,16,25,

2、36,;bn=2n:2,4,8,16,32,64,分析由數(shù)列的前幾項猜想，從第5項起，anbn即n22n(n N+,n5)，用數(shù)學歸納法證明上述猜想時，第(1)步應該證明n=5的情形.證 明(1)當n=5時，5225，命題成立.(2)假設n=k(k5)時，命題成立，即k22k.當n=k+1時，因為(k+1)2=k2+2k+1k2+3k2k22k+1由(1)(2)知，n22n(n N+,n5)所以(k+1)2-1,x 0 ,n為大于1的自然數(shù)，那么有(1+x)n1+nx分析 貝努利不等式中涉及兩個字母，x表示大于-1且不等于0的任意實數(shù),n是大于1的自然數(shù)，我們用數(shù)學歸納法只能對n進行歸納.證

3、明(1)當n=2時，由x 0得(1+x)21+2x,不等式成立.(2)假設當n=k(k2)時不等式成立，即有(1+x)k1+kx.當n=k+1時，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx） 1+(k+1)x所以當n=k+1時不等式成立.由(1)(2)可知，貝努利不等式成立. 在數(shù)學研究中，經常用貝努利不等式把二項式的乘方(1+x)n縮小為簡單的1+nx的形式.這在數(shù)值估計和放縮法證明不等式中可以發(fā)揮作用.事實上，貝努利不等式的一般形式是：當a是實數(shù)，并且滿足a1或者a-1);當a是實數(shù)，并且滿足a1或者0a-1).例4證明：如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1,a2,an的乘積a

4、1,a2,an，那么它們的和a1+a2+an=1.分析 這是與正整數(shù)密切相關的不等式，它的形式簡潔和諧.用數(shù)學歸納法證明它時，應注意利用n個正數(shù)的乘積為1的條件，并對什么時歸納假設和由它要遞推的目標心中有數(shù).證 明(1)當n=1時，有a1=1，命題成立.(2)假設當n=k時，命題成立，即若k個正數(shù)的乘積a1a2ak=1，則a1+a2+akk.當n=k+1時，已知k+1個正數(shù)a1,a2,ak滿足條件a1a2ak+1=1.若這k+1個正數(shù)a1,a2,ak+1都相等，則它們都是1.其和為k+1，命題成立.若這k+1個正數(shù)a1,a2,ak+1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)，也有小于1的數(shù).不妨設a11,a21,a21得(a1-1)(a2-1)1.于是目標得證，即：當n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知，原命題成立.課堂小結 本節(jié)用數(shù)學歸納法證明不等式通過4個例題由淺入深的討論如何通過“奠基”“假設和遞推”證明含有任意正整數(shù)n的不等式.隨堂練習1.對任意的n N+,試比較n!與2n-1的大小，證明你的結論.解;對任意的n N+,有n!2n-1可用數(shù)學歸納法證明此結論.(1)當n=1時，命題成立.(2)假設當n=k(k1)時，命題成立.即k! 2k-1.當n=k+1時，(k+1)!=k!(k+1) 2k-1(