(條件概率與乘法公式)課件

1、 1.4 條件概率與乘法公式 1.4.1 條件概率 在實際當中，我們常常碰到這樣的問題，就是在已知一事件發(fā)生的條件下，求另一事件發(fā)生的概率 下面首先看一個例子:第1章 概率論基礎 將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.分析事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為1. 引例一、條件概率 定義1.6 設A與B是同一樣本空間中的兩事件， 若P(A) 0，則稱 (1.2)為在A發(fā)生下的B的條件概率 類似地，當P(B) 0時，定義在B發(fā)生下事件A發(fā)生的條件概率為

2、(1.3)1.4.1 條件概率4 2005河南理工大學精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 不難看出，計算條件概率P(B|A)有兩種方法： 在原樣本空間 中分別求出P(A),P(AB),再 按定義公式計算； 在縮減樣本空間A中按一般概率P(B)計算。5 2005河南理工大學精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計解方法1在原樣本空間 中計算 【例1】一盒子裝有5只產(chǎn)品，其中3只一等品，2只二 等品。從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。 設事件A為“第一次取到一等品”，事件B為“第二次取到一 等品”，求條件概率P(B|A)。 因為“不放回依次取兩只”有序，排列的每種不同 結(jié)果就是一個樣本點,所以樣本點總數(shù)為 A

3、所含樣本點均為“第一次取一等品的兩產(chǎn)品”，故其 所含樣本點總數(shù)有利場合數(shù)為6 2005河南理工大學精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計而AB的樣本點均為“兩次均取一等品”，故其所含樣本點總數(shù)有利場合數(shù)為 由古典概率公式得:從而,由條件概率公式得: 方法2在縮減樣本空間A中計算7 2005河南理工大學精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 “第一次取一等品的兩只”均為A所含樣本點,共有 ,其中兩只均為一等品的為AB所含樣本點, 共有 故由古典概率公式得:SABA 注意（1）條件概率P(B|A)與無條件概率P(B)沒有必然關(guān)系.（2）當B A時，有（3）當AB = 時，有1.4.1 條件概率 （4）不難驗證，條件概率滿

4、足概率定義1.5中的三條公理： (1) 非負性：對任意事件B，P(B | A) 0； (2) 規(guī)范性：P( | A) = 1； (3) 可列可加性：設 事件兩兩互不相容，則 所以,條件概率P(| A)也滿足概率的所有其他性質(zhì)1.4.1 條件概率例如:1.4.1 條件概率【例1.11】設某種動物從出生起活20歲以上的概率為80%，活25歲以上的概率為40%如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物，求它能活25歲以上的概率 解：設 A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有所求概率為由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1 條件概率1.4.2 乘法公式

5、由條件概率公式容易得到下面定理定理1.1 設A與B是同一樣本空間中的兩個事件，如果P(A) 0，則 (1.4) 如果P(B) 0，則 (1.5) 上面均稱為事件概率的乘法公式定理1.1容易推廣到求多個事件積事件概率的情況1.4 條件概率與乘法公式事實上可進一步推廣如下:右側(cè)的條件概率均有意義,1.4.2 乘法公式1.4.2 乘法公式【例1.12】某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，試求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率 解：設A = “任取的一件是合格品”， B = 任取的一件是一等品因為且B A所以1.4.2 乘法公式【例1.13】某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，

6、因而他隨意地撥號求他撥號不超過三次而接通電話的概率若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？ 解：設Ai =“第i次接通電話”，i = 1，2，3， B =“撥號不超過3次接通電話”，則事件B的表達式為利用概率的加法公式和乘法公式 1.4.2 乘法公式 若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則1.4.2 乘法公式【例1.14】獵手在距獵物10米處開槍，擊中概率為0.6若擊不中，待開第二槍時獵物已逃至30米遠處，此時擊中概率為0.25，若再擊不中，則獵物已逃至50米遠處，此時只有0.1的擊中概率求獵手三槍內(nèi)擊中獵物的概率 解：以Ai =“第i槍擊中獵物”，i = 1，2，3，則所求概率1.4.2 乘法公式課堂練習 設某光學儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解B “透鏡落下三次而