(條件概率與乘法公式)課件

1、 1.4 條件概率與乘法公式 1.4.1 條件概率 在實際當(dāng)中，我們常常碰到這樣的問題，就是在已知一事件發(fā)生的條件下，求另一事件發(fā)生的概率 下面首先看一個例子:第1章 概率論基礎(chǔ) 將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.分析事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為1. 引例一、條件概率 定義1.6 設(shè)A與B是同一樣本空間中的兩事件， 若P(A) 0，則稱 (1.2)為在A發(fā)生下的B的條件概率 類似地，當(dāng)P(B) 0時，定義在B發(fā)生下事件A發(fā)生的條件概率為

2、(1.3)1.4.1 條件概率4 2005河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 不難看出，計算條件概率P(B|A)有兩種方法： 在原樣本空間 中分別求出P(A),P(AB),再 按定義公式計算； 在縮減樣本空間A中按一般概率P(B)計算。5 2005河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計解方法1在原樣本空間 中計算 【例1】一盒子裝有5只產(chǎn)品，其中3只一等品，2只二 等品。從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。 設(shè)事件A為“第一次取到一等品”，事件B為“第二次取到一 等品”，求條件概率P(B|A)。 因為“不放回依次取兩只”有序，排列的每種不同 結(jié)果就是一個樣本點,所以樣本點總數(shù)為 A

3、所含樣本點均為“第一次取一等品的兩產(chǎn)品”，故其 所含樣本點總數(shù)有利場合數(shù)為6 2005河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計而AB的樣本點均為“兩次均取一等品”，故其所含樣本點總數(shù)有利場合數(shù)為 由古典概率公式得:從而,由條件概率公式得: 方法2在縮減樣本空間A中計算7 2005河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 “第一次取一等品的兩只”均為A所含樣本點,共有 ,其中兩只均為一等品的為AB所含樣本點, 共有 故由古典概率公式得:SABA 注意（1）條件概率P(B|A)與無條件概率P(B)沒有必然關(guān)系.（2）當(dāng)B A時，有（3）當(dāng)AB = 時，有1.4.1 條件概率 （4）不難驗證，條件概率滿

4、足概率定義1.5中的三條公理： (1) 非負(fù)性：對任意事件B，P(B | A) 0； (2) 規(guī)范性：P( | A) = 1； (3) 可列可加性：設(shè) 事件兩兩互不相容，則 所以,條件概率P(| A)也滿足概率的所有其他性質(zhì)1.4.1 條件概率例如:1.4.1 條件概率【例1.11】設(shè)某種動物從出生起活20歲以上的概率為80%，活25歲以上的概率為40%如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物，求它能活25歲以上的概率 解：設(shè) A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有所求概率為由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1 條件概率1.4.2 乘法公式

5、由條件概率公式容易得到下面定理定理1.1 設(shè)A與B是同一樣本空間中的兩個事件，如果P(A) 0，則 (1.4) 如果P(B) 0，則 (1.5) 上面均稱為事件概率的乘法公式定理1.1容易推廣到求多個事件積事件概率的情況1.4 條件概率與乘法公式事實上可進(jìn)一步推廣如下:右側(cè)的條件概率均有意義,1.4.2 乘法公式1.4.2 乘法公式【例1.12】某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，試求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率 解：設(shè)A = “任取的一件是合格品”， B = 任取的一件是一等品因為且B A所以1.4.2 乘法公式【例1.13】某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，

6、因而他隨意地?fù)芴柷笏麚芴柌怀^三次而接通電話的概率若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？ 解：設(shè)Ai =“第i次接通電話”，i = 1，2，3， B =“撥號不超過3次接通電話”，則事件B的表達(dá)式為利用概率的加法公式和乘法公式 1.4.2 乘法公式 若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則1.4.2 乘法公式【例1.14】獵手在距獵物10米處開槍，擊中概率為0.6若擊不中，待開第二槍時獵物已逃至30米遠(yuǎn)處，此時擊中概率為0.25，若再擊不中，則獵物已逃至50米遠(yuǎn)處，此時只有0.1的擊中概率求獵手三槍內(nèi)擊中獵物的概率 解：以Ai =“第i槍擊中獵物”，i = 1，2，3，則所求概率1.4.2 乘法公式課堂練習(xí) 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解B “透鏡落下三次而