高二數(shù)學教案第一單元：排列與組合

1、.*;高二數(shù)學教案第一單元：排列與組合一、知識網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點1、兩個計數(shù)原理的掌握與應用;2、關(guān)于排列與組合的定義的理解;關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握;關(guān)于組合數(shù)兩個性質(zhì)的掌握;3、運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應用問題多為排列與組合的混合問題三、知識要點一.分類計數(shù)原理與分步計算原理1 分類計算原理加法原理：完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，在第n類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1+ m2+ mn種不同的方法。2 分步計數(shù)原理乘法原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m

2、2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1 m2 mn種不同的方法。3、認知：上述兩個原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計數(shù)根據(jù)，它們的區(qū)別在于，加法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成假設(shè)干類，并且各類方法以及各類方法中的各種方法互相獨立，運用任何一類方法的任何一種方法均可獨立完成這件事;乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為假設(shè)干步驟進展，各個步驟不可缺少，只有當各個步驟依次完成后這件事才告完成在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個步驟，而不能獨立完成這件事。二.排列1 定義1從n個不同元素中取出m 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個

3、不同元素中取出m個元素的一排列。2從n個不同元素中取出m 個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記為 .2 排列數(shù)的公式與性質(zhì)1排列數(shù)的公式： =nn-1n-2n-m+1= 特例：當m=n時， =n!=nn-1n-2321規(guī)定：0!=12排列數(shù)的性質(zhì)： = 排列數(shù)上標、下標同時減1或加1后與原排列數(shù)的聯(lián)絡(luò) 排列數(shù)上標加1或下標減1后與原排列數(shù)的聯(lián)絡(luò) 分解或合并的根據(jù)三.組合1 定義 1從n個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2從n個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示。

4、2 組合數(shù)的公式與性質(zhì)1組合數(shù)公式： 乘積表示 階乘表示特例： 2組合數(shù)的主要性質(zhì)： 上標變換公式 楊輝恒等式認知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標一樣，而上標為相鄰自然數(shù);合二為一后的右邊組合數(shù)下標等于左邊組合數(shù)下標加1，而上標取左邊兩組合數(shù)上標的較大者。3 比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個排列需要取出元素和對取出元素按一定順序排成一列兩個過程，而獲得一個組合只需要取出元素，不管怎樣的順序并成一組這一個步驟。1 排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的

5、理論根據(jù)。2 注意到獲得一個排列歷經(jīng)獲得一個組合和對取出元素作全排列兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系： 四、經(jīng)典例題例1、某人方案使用不超過500元的資金購置單價分別為60、70元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，那么不同的選購方式是 A .5種 B.6種 C. 7種 D. 8種分析：依題意軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，而購得3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，只需討論剩下的180元如何使用的問題。解：注意到購置3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的180元如何使用，可從購置軟件的情形入手分類討論： 第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法

6、;第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法;第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有2種方法; 第四類，不買軟件，再買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有3種方法;于是由分類計數(shù)原理可知，共有N=1+1+2+3=7種不同購置方法，應選C。例2、集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，當xM時， 為奇數(shù)，那么這樣的映射 的個數(shù)是 A.20 B.18 C.32 D.24分析：由映射定義知，當xM時， 當xM時，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但 必須為奇數(shù)，因此，對M中x的對應情況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當x=-1時， ，此時 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素

7、-1與N中的元素有4種對應方法;第二步，考察x=0的象，當x=0時， 為奇數(shù)，故 只有2種取法 =3或 =5，即M中的元素0與N中的元素有2種對應方法;第三步，考察x=1的象，當x=1時， 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可為偶數(shù), 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對應方法，于是由分步計數(shù)原理可知，映射 共有424=32個。例3、在 中有4個編號為1，2，3，4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂法?解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但對角的兩個小三角形可以是一樣顏色，于是考慮以對角的小三角形1

8、、4同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分步計算。第一類：1與4同色，那么1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法， 故此時有N1=544=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，那么1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法，故此時有N2=5433=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。例4、將字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，那么每個方格的標號與所填數(shù)字均不一樣的填法有 A.6種 B.9種C.11種 D.23種解法一采用分步方法：完成這件事分三個步驟。第一步：任取一個數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法;第二

9、步：取與填入數(shù)字的格子編號一樣的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法;第三步：將剩下的兩個數(shù)字按規(guī)定填入兩個格子，只有1種填法;于是，由分步計數(shù)原理得，共有N=331=9種不同填法。解法二：采用列舉方法：從編號為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進展分類。第一類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法： 2413 2143 2341第二類：編號1的方格內(nèi)填數(shù)字3，也有3種不同填法： 3142 3412 3421第三類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，仍有3種不同填法： 4123 4312 4321于是由分類計數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應選B解法三間接法：將上述4個數(shù)字填入4個方格，每格填一個

10、數(shù)，共有N1=4321=24種不同填法，其中不合條件的是 14個數(shù)字與4個格子的編號均一樣的填法有1種; 2恰有兩個數(shù)字與格子編號一樣的填法有6種;3恰有1個數(shù)字與格子編號一樣的填法有8種; 因此，有數(shù)字與格子編號一樣的填法共有N2=1+6+8=15種當正面考慮頭緒較多時，可考慮運用間接法計算：不考慮限制條件的方法種數(shù)不符合條件的方法種數(shù)=符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的分析與間接法主體的分類，恰恰向人們展示了分步與分類互相依存、互相聯(lián)絡(luò)的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字2和3，并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個?解：注意到這里0的特殊性，故

11、分兩類來討論。第一類：不含0的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4，5這三個數(shù)字中任選兩個作排列有 種;進而將2和3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置，又有 種排法，于是由分步計數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有 =36個。第二類：含有0的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用間接法：首先從1，4，5這三個數(shù)字中任選一個，而后與0，2，3進展全排列，這樣的排列共有 個。其中，有如下三種情況不合題意，應當排險：10在首位的，有 個; 20在百位或十位，但2與3相鄰的，有 個30在個位的，但2與3相鄰的，有 個因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有 =30個例6、某人在打靶時射擊8

12、槍，命中4槍，假設(shè)命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8槍，按命中與不命中報告結(jié)果，不同的結(jié)果有 A.720種 B.480種 C.24種 D.20種分析：首先，對未命中的4槍進展排列，它們形成5個空擋，注意到未命中的4槍地位平等，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5個空格中選2個排進去，有 種排法，于是由乘法原理知，不同的報告結(jié)果菜有 種例7、1 ;2假設(shè) ，那么n=;3 ;4假設(shè) ，那么n的取值集合為 ;5方程 的解集為 ;解：1注意到n滿足的條件 原式= = 2運用楊輝恒等式，等式所求n=4。3根據(jù)楊輝恒等式 原式= = = = 4注意到這里

13、n滿足的條件n5且nN* 在之下，原不等式 由、得原不等式的解集為5，6，7，115由 注意到當y=0時， 無意義，原方程組可化為由此解得 經(jīng)檢驗知 是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了3套卡片，每套卡片有寫上A、B、C、D、E字母的卡片各一張，假設(shè)從這15張卡片中，每次取出5張，那么字母不同，且3種顏色齊全的取法有多少種?解：符合條件的取法可分為6類第一類：取出的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有 種取法;第二類：取出的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有 種取法;第三類：取出的5張卡片中，1張紅色，3張黃色，1張綠色，有 種取法;第四類：取出的5張卡片中，2

14、張紅色，1張黃色，2張綠色，有 種取法;第五類：取出的5張卡片中，2張紅色，2張黃色，1張綠色，有 種取法;第六類：取出的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有 種取法;例9、 1從5雙不同的襪子中任取4只，那么至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少?2設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個小球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，將五個小球放入五個盒子中每個盒子中放一個小球，那么至少有兩個小球和盒子編號一樣的放法有多少種?3將四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，那么恰有一個空盒的放法共多少種?4某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不一樣，如今每次取出一只產(chǎn)品測試，直

15、到4只次品全部測出為止，那么最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種?解：1滿足要求的取法有兩類，一類是取出的4只襪子中恰有2只配對，這只要從5雙襪子中任取1雙，再從其余4雙中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有 種選法;另一類是4只襪子恰好配成兩雙，共有 種選法，于是由加法原理知，符合要求的取法為 種。2符合條件的放法分為三類：第一類：恰有2個小球與盒子編號一樣，這只需先從5個中任取兩個放入編號一樣的盒子中，有 種放法，再從剩下的3個小球中取出1個放入與其編號不同的盒子中，有 種方法，那么最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有 種不同方法;第二類：恰有3個小

16、球與盒子編號一樣，這只需先從5個中任取三個放入編號一樣的盒子中，有 種放法，那么最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有 種不同方法;第三類：恰有5個小球與盒子編號一樣，這只有1種方法; 于是由分類計數(shù)原理得，共有N=20+10+1=31種不同方法。3設(shè)計分三步完成：第一步，取定三個空盒或取走一個空盒，有 種取法;第二步，將4個小球分為3堆，一堆2個，另外兩堆各一個，有 種分法;第三步，將分好的3堆小球放入取定的3個空盒中，有 種放法;于是由乘法原理得共有： 種不同方法。4分兩步完成：第一步，安排第五次測試，由于第五次測試測出的是次品，故有 種方法;第二步，安排前4次測試，

17、那么在前四次測試中測出3只次品和1只正品的方法種數(shù)為 。五、高考真題一選擇題1、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有 A、18對 B、24對 C、30對 D、36對分析：注意到任一四面體中異面直線的對數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對數(shù)，首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四面體個數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成 個四面體，而每一四面體有3對異面直線，故共有36對異面直線，應選D。2、不共面的四個定點到平面的間隔 都相等，這樣的平面共有 A、3個 B、4個 C、6個 D、7個分析：不共面的四點可構(gòu)成一個四面體，取四面體各棱中點，分別過有公共頂點的三棱中點可得到與相應底面平行的4個截面，這4

18、個截面到四個定點間隔 相等;又與三組對棱分別平行且等距的平面有3個，故符合條件的平面共7個，應選D。3、北京?財富?全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，假設(shè)每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，那么開幕式當天不同的排班種數(shù)為 A、 B、 C、 D、 分析：排班工作分三步完成：第一步，從14人中選出12人，有 種選法;第二步，將第一步選出的12人平均分成三組，有 種分法;第三步，對第二步分出的3組人員在三個位置上安排，有 種排法;于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為 ，應選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市各一人游覽，每人只游覽一個

19、城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，那么不同的選擇方案共有 A、300種 B、240種 C、114種 D、96種分析：注意到甲、乙兩人不去巴黎，應選人分三類情況1不選甲、乙，不同方案有 種;2甲、乙中選1人，不同方方案有 種;3甲、乙均入選，不同方案有 種;于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為24+144+72=240，應選B。5、4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)那么規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分;選乙題答對得90分，答錯得-90分，假設(shè)4位同學的總分為0，那么這四位同學不同的得分情況的種數(shù)是A、48 B、36 C、24 D、18分析：

20、注意到情況的復雜，故考慮從分類切入第一類：四人全選甲題，2人答對，2人答錯，有 種情況;第二類：2人選甲題一對一錯，2人選乙題一對一錯，有 種情況;第三類：四人全選乙題，2對2錯，有 種情況。于是由加法原理得不同得分情況共有 種，應選B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是平安的，現(xiàn)打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么平安存放的不同方法種數(shù)為 A、96 B、48 C、24 D、0 分析：此題的關(guān)鍵是找異面直線對的個數(shù)，設(shè)四棱錐為S-ABCD，沒有公共頂點的棱只能分成4組，每組兩條棱否那么三條棱必有公共點，每8條棱分成4組，每組兩條無公共點的棱僅有下面兩種情況：1SASBSCSDBC 本組中同一棱不重復出現(xiàn)2SASBSCSDAB本組中同一條棱不重復出現(xiàn)于是問題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個不同倉庫的排列問題，故不同的安排分法是 種，應選B。二填